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Weil-Vermutung

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Weil-Vermutungen)

Die Weil-Vermutungen, die seit ihrem endgültigen Beweis 1974 Theoreme sind, waren seit ihrer Formulierung durch André Weil 1949 über lange Zeit eine treibende Kraft im Grenzgebiet zwischen Zahlentheorie und algebraischer Geometrie.

Sie machen Aussagen über die aus der Anzahl der Lösungen algebraischer Varietäten über endlichen Körpern gebildeten erzeugenden Funktionen, den so genannten lokalen Zetafunktionen. Weil vermutete, dass diese rationale Funktionen sind, sie einer Funktionalgleichung gehorchen, und dass die Nullstellen sich auf bestimmten geometrischen Örtern befinden (Analogon zur Riemannschen Vermutung), ähnlich wie bei der Riemannschen Zetafunktion als Trägerin von Informationen über die Verteilung der Primzahlen. Außerdem vermutete er, dass ihr Verhalten von bestimmten topologischen Invarianten der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten bestimmt wird.

Motivation und GeschichteBearbeiten

Der Fall algebraischer Kurven über endlichen Körpern wurde von Weil selbst bewiesen.[1] Davor hatte schon Helmut Hasse die Riemannhypothese für den Fall elliptischer Kurven (Geschlecht 1) bewiesen. In dieser Beziehung waren viele der Weil-Vermutungen auf natürliche Weise in die Hauptentwicklungen dieses Bereiches eingebettet und von Interesse z. B. für die Abschätzung exponentieller Summen der analytischen Zahlentheorie. Überraschend war nur das Auftauchen topologischer Konzepte (Bettizahlen der zugrundeliegenden Räume, Fixpunktsatz von Lefschetz u. a.), die die Geometrie über endlichen Körpern (also in der Zahlentheorie) bestimmen sollten. Weil selbst soll sich nie ernsthaft um die Beweise im allgemeinen Fall gekümmert haben, da seine Vermutungen die Notwendigkeit der Entwicklung neuer topologischer Konzepte in der algebraischen Geometrie nahelegten. Die Entwicklung dieser Konzepte durch die Grothendieck-Schule brauchte 20 Jahre (für die Riemannvermutung war die étale Kohomologie nötig). Zuerst wurde 1960 die Rationalität der Zetafunktion durch Bernard Dwork mit p-adischen Methoden bewiesen. 1964 gab Grothendieck dafür einen allgemeineren l-adischen Beweis und er bewies auch in den 1960er Jahren die zweite und vierte Weilvermutung (mit Michael Artin und Jean-Louis Verdier). Den schwierigsten und letzten Teil der Weil-Vermutungen, die Analoga zur Riemann-Hypothese, bewies der Grothendieck-Schüler Pierre Deligne 1974. Deligne bewies 1980 in einem zweiten Beweis (La conjecture de Weil II) eine Verallgemeinerung der Weil-Vermutungen, mit der er den harten Lefschetz-Satz, ein Teil der Standardvermutungen von Grothendieck, beweisen konnte. Sein zweiter Beweis benutzte ein Analogon des Beweises des Primzahlsatzes von Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin, der über die Nichtexistenz einer Nullstelle der Riemannschen Zetafunktion mit Realteil 1 geführt wurde (von Deligne auf L-Funktionen übertragen). Gérard Laumon[2] vereinfachte 1987 den Beweis, indem er die von Deligne eingeführte l-adische Fouriertransformation benutzte und ein Analogon zur klassischen Abschätzung von Gauß-Summen.

Grothendieck war mit dem Beweis von Deligne unzufrieden, da er nach seiner Meinung bei der Riemannvermutung eine „Trickserei“ mit Modulformen benutzte (ein klassisches Ergebnis von Robert Alexander Rankin). Seiner Meinung nach sollte der Beweis über die Theorie der Motive und seine Fundamentalvermutungen (Standard conjectures) über algebraische Zyklen erfolgen (noch heute weitgehend offen und sogar als schwer angreifbar geltend) und skizzierte eine Ableitung aus diesen, wie auch unabhängig zur gleichen Zeit Enrico Bombieri auf diese Vermutungen kam.[3] Grothendieck besuchte 1973 am IHES das Seminar, in dem Deligne seinen Beweis vorstellte und diskutierte mit Deligne, war aber am Beweis der Riemannvermutung aus besagten Gründen nicht interessiert.

Formulierung der Weil-VermutungenBearbeiten

  sei eine nicht-singuläre  -dimensionale projektive algebraische Varietät über dem endlichen Körper   mit   Elementen. Dann ist die Zetafunktion   von   definiert als Funktion einer komplexen Zahl   durch:

 

mit   der Zahl der Punkte von   über dem Körper der Ordnung  .

Die Weil-Vermutungen lauten:

  1. (Rationalität)   ist eine rationale Funktion von  . Genauer,  , wobei jedes   ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, das über den komplexen Zahlen in der Form   faktorisiert. Weiterhin ist  ,  .
  2. (Funktionalgleichung und Poincaré-Dualität)  , wobei   die Euler-Charakteristik von   ist. Dabei werden die Zahlen   auf die Zahlen   abgebildet.
  3. (Riemann-Vermutung)   für alle   und alle  . Das ist das Analogon der Riemannhypothese und der schwierigste Teil der Vermutungen. Sie kann auch so formuliert werden, dass alle Nullstellen von   auf der kritischen Geraden in der Zahlenebene der   liegen mit Realteil  .
  4. (Betti-Zahlen) Falls   eine gute Reduktion mod   einer nicht-singulären komplex projektiven Varietät   ist, ist der Grad von   die  -te Betti-Zahl von  .

BeispieleBearbeiten

Die projektive GeradeBearbeiten

Das außer dem Punkt einfachste Beispiel ist der Fall der projektiven Geraden  . Die Anzahl der Punkte von   über einem Körper mit   Elementen ist   (wobei die „ “ vom „Punkt im Unendlichen“ stammt). Die Zetafunktion ist  . Die weitere Überprüfung der Weil-Vermutungen ist einfach.

Projektiver RaumBearbeiten

Der Fall des n-dimensionalen projektiven Raumes ist nicht viel schwieriger. Die Zahl der Punkte von   über einem Körper mit   Elementen ist  . Die Zetafunktion ist

 .

Wieder lassen sich die Weil-Vermutungen leicht überprüfen.

Der Grund, warum projektive Gerade und Raum so einfach sind, liegt darin, dass sie als disjunkte Kopien einer endlichen Zahl affiner Räume geschrieben werden können. Für ähnlich strukturierte Räume wie Grassmann-Varietäten ist der Beweis ebenso einfach.

Elliptische KurvenBearbeiten

Der erste nicht-triviale Fall der Weilvermutungen sind elliptische Kurven. Diese wurden bereits in den 1930er Jahren von Helmut Hasse behandelt. Sei   eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit   Elementen. Dann gilt für die Anzahl   der Punkte von   über einer Körpererweiterung mit   Elementen die Formel[4]

 ,

wobei   und   zueinander komplex konjugiert sind und jeweils Absolutwert   haben (Riemannsche Vermutung). Die Zetafunktion der elliptischen Kurve ist

 .

Weil-KohomologieBearbeiten

Weil schlug vor, dass die Vermutungen aus der Existenz einer geeigneten „Weil-Kohomologietheorie“ für Varietäten über endlichen Körpern folgen würden, ähnlich der üblichen Kohomologie mit rationalen Koeffizienten für komplexe Varietäten. Nach seinem Beweisplan sind die Punkte der Varietät   über einem Körper der Ordnung   Fixpunkte des Frobenius-Automorphismus   dieses Körpers. In der algebraischen Topologie wird die Anzahl der Fixpunkte eines Automorphismus über den Fixpunktsatz von Lefschetz als alternierende Summe der Spuren der Wirkung dieses Automorphismus in den Kohomologiegruppen ausgedrückt. Würden für Varietäten über endlichen Körpern ähnliche Kohomologiegruppen definiert, könnte die Zetafunktion durch diese ausgedrückt werden.

Das erste Problem war nur, dass der Koeffizientenkörper der Weil-Kohomologien nicht der der rationalen Zahlen sein konnte. Man betrachte beispielsweise eine supersinguläre elliptische Kurve über einem Körper der Charakteristik  . Der Endomorphismenring dieser Kurve ist eine Quaternionenalgebra über den rationalen Zahlen. Sie sollte entsprechend auf der ersten Kohomologiegruppe wirken, einem 2-dimensionalen Vektorraum. Das ist aber für eine Quaternionalgebra über den rationalen Zahlen unmöglich, falls der Vektorraum über den rationalen Zahlen erklärt ist. Auch die reellen und  -adischen Zahlen scheiden aus. In Frage kämen allerdings  -adische Zahlen für eine Primzahl  , da die Divisionsalgebra der Quaternionen sich dann aufspaltet und eine Matrix-Algebra wird, die auf 2-dimensionalen Vektorräumen operieren kann. Diese Konstruktion wurde durch Grothendieck und Michael Artin ausgeführt (l-adische Kohomologie).

Für den Beweis der Riemannvermutung war die Étale Kohomologie nötig, die von Grothendieck und Michael Artin eingeführt wurde und deren Entwicklung im IHES-Seminar (SGA) erfolgte.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

VerweiseBearbeiten

  1. einen elementaren Beweis für algebraische Kurven über endlichen Körpern gab 1969 Sergei Alexandrowitsch Stepanow, dargestellt in Enrico Bombieri Counting points on curves over finite fields (d’apres Stepanov), Seminaire Bourbaki Nr. 431, 1972/73 (Memento des Originals vom 4. April 2010 im Internet Archive)   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.numdam.org, Stepanow: On the number of points of a hyperelliptic curve over a prime field, Izvestija Akad.Nauka Bd. 33, 1969, S. 1103, Stepanow Arithmetic of Algebraic Curves 1994
  2. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publications Mathématiques de l'IHÉS, Band 65, 1987, S. 131–210
  3. Allyn Jackson, Comme Appelé du Néant, Notices AMS, Oktober 2004, S. 1203
  4. Kapitel V, Theorem 2.3.1 in Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-09493-9.