Schema (algebraische Geometrie)

Begriff der algebraischen Geometrie
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Die klassische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Teilmengen des affinen oder projektiven Raumes, die als Nullstellenmengen von endlich vielen Polynomen entstehen (algebraische Varietäten). Die geometrischen Objekte sind also Lösungsmengen von algebraischen Gleichungssystemen. Der Begriff Schema motiviert sich daraus, nicht nur Lösungen in einem festen algebraisch abgeschlossenen Körper zu betrachten, sondern Lösungen in beliebigen Ringen, und zwar gleichzeitig. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung . Sie hat über oder keine Lösungen, in oder dagegen jeweils zwei; dabei sind die Lösungen in natürlich die Bilder der Lösungen in . Diese Daten ergeben zusammen einen Funktor (Ringe) → (Mengen), der einem Ring die Menge

der Lösungen oder Punkte zuordnet. Dieser Funktor ist darstellbar, d. h., es gibt einen Ring , so dass

gilt. bezeichnet dabei die Menge der Ringhomomorphismen ; in unserem Beispiel ist Es stellt sich heraus, dass die Punktfunktoren zu klassischen algebraischen Varietäten genau dann darstellbar (über der Kategorie der Ringe bzw. k-Algebren) sind, wenn die Varietäten affin sind. Wenn nun der Begriff Schema eine möglichst weitreichende Verallgemeinerung des Begriffs Varietät sein soll, so ist ein affines Schema nichts anderes als ein Ring (zumindest aus kategorieller Sicht), und der allgemeine Begriff „Schema“ sollte so gefasst sein, dass alle Varietäten darstellbar in der Kategorie der Schemata sind.

Da es nicht ohne weiteres möglich ist, den Begriff des Ringes geeignet zu verallgemeinern, basiert der Begriff Schema stattdessen auf dem Spektrum eines Ringes. Die Konstruktion des Spektrums ist eine (kontravariante) treue Einbettung der Kategorie der Ringe in die Kategorie der geringten Räume, also der topologischen Räume zusammen mit einer Garbe von Ringen, und der wesentliche Teil der Definition eines Schemas besteht nur noch darin, die „richtige“ Unterkategorie zu wählen.

DefinitionBearbeiten

Ein Schema ist ein lokal geringter Raum, der lokal isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ist ein Schema global isomorph zum Spektrum eines Ringes, so heißt es affin.

Ausführlicher:
Das Spektrum eines Ringes   ist die Menge   aller Primideale in  , in Zeichen

 .

Die abgeschlossenen Mengen von   sind per Definition die Mengen der Form

 

für ein Ideal  . Die so definierte Topologie des Raumes   wird aus historischen Gründen auch Zariski-Topologie genannt.
Die Strukturgarbe   von   ordnet per Definition jeder Zariski-offenen Menge   den Ring   der rationalen Funktionen auf   zu.
Ein geringter Raum ist per Definition ein Paar   aus einem topologischen Raum   und einer Garbe von Ringen auf  . Ein lokal geringter Raum ist ein geringter Raum  , für den die Halme von   lokale Ringe sind, d. h. ein eindeutiges Maximalideal haben. Insbesondere ist das Spektrum eines Ringes mit seiner Strukturgarbe ein lokal geringter Raum.
Ein affines Schema ist per Definition ein lokal geringter Raum, der isomorph zum Spektrum eines Ringes ist.
Ein Schema ist ein lokal geringter Raum, der sich durch offene Mengen   überdecken lässt, so dass für alle   die Einschränkung   ein affines Schema ist.

Eigenschaften von SchemataBearbeiten

Schemata können zahlreiche spezielle Eigenschaften besitzen, auf einige wird im Folgenden eingegangen.

Zusammenhängende Schemata. Ein Schema heißt zusammenhängend, falls der zugrunde liegende topologische Raum zusammenhängend ist.

Quasi-kompakte Schemata. Ein Schema heißt quasi-kompakt, falls der zugrunde liegende topologische Raum quasi-kompakt ist.

Irreduzible Schemata. Ein Schema heißt irreduzibel, falls der zugrunde liegende topologische Raum irreduzibel ist, das heißt, es ist nichtleer und nicht die Vereinigung zweier verschiedener abgeschlossener Teilmengen.

Noethersche Schemata. Ein Schema   heißt lokal noethersch, falls es eine offene affine Überdeckung   besitzt, so dass die (affinen) Ringe   sämtlich noethersch sind. Falls   zusätzlich quasi-kompakt ist, heißt es noethersch.

Reduzierte Schemata. Ein Schema   heißt reduziert, falls für alle   die lokalen Ringe   reduziert sind.

Ganze Schemata. Ein Schema heißt ganz, falls es reduziert und irreduzibel ist. Man kann zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass für jede offene Teilmenge   der Ring   nullteilerfrei ist. Ferner sind in einem ganzen Schema alle Halme nullteilerfrei, die Umkehrung muss im Allgemeinen jedoch nicht zutreffen.

Normale Schemata. Sei   ein Schema. Dann ist   normal in einem Punkt  , fall der Halm   ganzabgeschlossen über seinem Quotientenkörper ist. Ein Schema heißt normal, falls es normal in jedem Punkt ist, vergleiche auch normale Varietät.

Reguläre Schemata. Sei   ein noethersches Schema. Ein Punkt   heißt dann regulär, falls der Halm   regulär ist. Das Schema   heißt regulär, falls jeder Punkt in   regulär ist.

SchemamorphismenBearbeiten

Schemata bilden eine Kategorie. Ein Schemamorphismus ist ein Morphismus lokal geringter Räume zwischen Schemata.

Genauer: Seien   und   lokal geringte Räume. Ein Morphismus zwischen ihnen ist ein Paar   bestehend aus einer stetigen Abbildung   und einem Ringgarbenhomomorphismus  , der folgende Eigenschaft besitzt: für jeden Punkt   ist der von   induzierte Homomorphismus   zwischen lokalen Ringen lokal, d. h. führt das maximale Ideal von   in das maximale Ideal von   über.

Anmerkung: Ist allgemein   eine Garbe auf  , so wird mit   das sogenannte direkte Bild unter   bezeichnet. Es ist gegeben durch die Datenkollektion   und definiert eine Garbe auf  .

Separierte SchemataBearbeiten

Wie man zeigen kann, ist ein topologischer Raum genau dann separiert im topologischen Sinne (d. h. hausdorffsch), falls die Diagonale   abgeschlossen in   ist (bezüglich der Produkttopologie). Aus dieser Tatsache motiviert sich der Begriff der Separiertheit von Schemata.

Ein Schemamorphismus   heißt separiert, falls der zu   gehörige Diagonalen-Morphismus   eine abgeschlossene Immersion ist. Ein Schema heißt separiert, falls der kanonische Schemamorphismus   separiert ist.

BegriffsvariantenBearbeiten

In der ursprünglichen Fassung nannte Alexander Grothendieck die oben definierten Objekte Präschemata und setzte für die Bezeichnung Schema noch Separiertheit voraus. In der zweiten Auflage des ersten Kapitels der Éléments de géométrie algébrique änderte er jedoch die Terminologie zu der heute allgemein verwendeten.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Schemata wurde 2012 von Shinichi Mochizuki in seiner Arbeit über die abc-Vermutung vorgeschlagen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten