Treuer Funktor

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Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften.

DefinitionenBearbeiten

Sei   ein Funktor zwischen zwei Kategorien   und  . Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt   und jedem Morphismus   aus  , wobei   und   Objekte aus   seien, ein Objekt   beziehungsweise einen Morphismus   zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Zu jedem Paar   von Objekten aus   hat man (im Falle von lokal kleinen Kategorien) eine Abbildung

 

Man nennt den Funktor   treu (bzw. voll bzw. volltreu), wenn die Abbildungen   für jedes Paar   von Objekten aus   injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv) sind. An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung völlig treu.

EinbettungenBearbeiten

Ist   ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe treu, voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors   nicht notwendigerweise aus, dass eine der Abbildungen

 
 

injektiv ist. Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:

  • Wenn der Funktor   treu ist, so ist   genau dann injektiv, wenn   injektiv ist.

Ist   injektiv und sind   mit  , so folgt  , also nach Voraussetzung   und damit  . Daher ist   injektiv.

Sei nun umgekehrt   injektiv, und seien   mit  . Es ist   zu zeigen. Zu den Morphismen   und   gehören Objekte   aus der Kategorie   mit   und  . Aus   folgt   und  . Weil   nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir   und  . Daher ist   und die Treue von   liefert, wie gewünscht,  .

Man nennt einen Funktor   eine Einbettung, wenn   injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von  .

Ist der Funktor   eine Einbettung, so bilden die Objekte   mit den Morphismen  , eine Unterkategorie von  , die mit   bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.

Volltreue FunktorenBearbeiten

Ist der Funktor   eine Einbettung, und ist   ein voller Funktor, so ist   eine volle Unterkategorie von  . Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen. Ist also   ein volltreuer Funktor, so dass   injektiv ist, so definiert   eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.

Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:

  • Seien   ein volltreuer Funktor und   ein Morphismus der Kategorie  . Dann gilt:   ist Isomorphismus     ist Isomorphismus.

Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich   Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus   mit   und  . Da   Funktor ist, folgt   und genauso  , das heißt,   ist ein Isomorphismus.

Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich   ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus   mit   und  . Da   voll ist, gibt es einen Morphismus   mit  . Dann folgt   und genauso  . Wegen der Treue von   folgt nun   und  , das heißt,   ist ein Isomorphismus.

LiteraturBearbeiten