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Flächenformel von Pappus

mathematischer Satz

Die Flächenformel von Pappus, auch Satz des Pappus genannt, ist ein Lehrsatz der euklidischen Dreiecksgeometrie, der auf den spätantiken Mathematiker Pappus Alexandrinus zurückgeht und welcher von diesem in Buch IV der Mathematischen Sammlungen etwa im Jahr 320 vorgestellt wurde. Die Formel behandelt eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras und gilt für beliebige Dreiecke, wobei Parallelogramme anstelle der pythagoreischen Quadrate treten.[1][2][3]

Inhaltsverzeichnis

FormulierungBearbeiten

 
Satz von Pappos für Dreiecke: gestreifte Fläche = karierte Fläche

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck   der euklidischen Ebene  . Als Grundseite des Dreiecks sei die dem Eckpunkt   gegenüberliegenden Dreiecksseite   gewählt.

Über den beiden anderen Dreiecksseiten   und  , jeweils gegenüber den Eckpunkten   bzw.  , seien zwei beliebige Parallelogramme   und   gelegen und dabei sei   der Schnittpunkt der beiden Geraden   und   [4][5]

Über der Grundseite   liege das Parallelogramm  , und dafür sei vorausgesetzt:

(1) Die Seiten   und   seien parallel zur Geraden   [6]
(2) Die Seiten  ,   und   seien von gleicher Länge:
 .

Dann gilt:

Der Flächeninhalt des Parallelogramms   ist gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Parallelogramme   und  .
In Formeln:
 

Zum BeweisgangBearbeiten

 
Beweis durch Scherung und Verschiebung

Der Beweisgang lässt sich so darstellen:[1][3][2][7]

Ausgangspunkt ist Tatsache, dass durch die Gerade   eine Aufteilung der euklidische Ebene   in zwei abgeschlossene Halbebenen gegeben ist.[8]

Die Schnittmengen dieser beiden Halbebenen mit dem Parallelogramm   bilden wiederum zwei Parallelogramme   und  , welche   aufteilen, wobei   der Schnittpunkt der Geraden   mit der Seite   ist und   der Schnittpunkt der Geraden   mit der Seite  .

Mittels Scherung und Parallelverschiebung – in der jeweiligen Halbebene! – sieht man nun, dass   flächengleich ist mit   und ebenso   flächengleich mit  .

Dies lässt sich in drei Teilschritten (s. u.) nachvollziehen, wobei die Behandlung der beiden Parallelogramme   und   vollkommen gleichartig ist.

Auf diesem Wege erhält man dann die gewünschte Identität:

 .

Darstellung der TeilschritteBearbeiten

Anhand des Parallelogramms   lassen sich die Teilschritte wie folgt beschreiben:

Teilschritt 1

Innerhalb des von den Geraden   und   berandeten – also dazwischen liegenden! – abgeschlossenen Streifens[9]   wird das Parallelogramm   in ein flächengleiches Parallelogramm geschert, und zwar derart, dass die Punkte der Seite   festbleiben, während der Punkt   in den Punkt  , der Punkt   in den Punkt  , die Seite   in die Seite   und die Seite   in die Seite   übergehen.

Teilschritt 2

Längs der Geraden     und dabei stets innerhalb des von den Geraden     sowie   berandeten abgeschlossenen Streifens   wird das in Teilschritt 1 entstandene Parallelogramm so verschoben, dass ein neues Zwischenparallelogramm entsteht, wobei   in   und   in   übergehen.

Teilschritt 3

Innerhalb   wird das in Teilschritt 2 entstandene Zwischenparallelogramm in das Parallelogramm   geschert, und zwar derart, dass alle Punkte der Seite   festbleiben.

Zusammenhang mit dem Satz des PythagorasBearbeiten

Der Satz des Pythagoras ergibt sich, wenn man annimmt, dass erstens das Dreieck   rechtwinklig ist mit rechtem Winkel bei  , mit Katheten   bzw.   sowie Hypotenuse   und dass zweitens die Parallelogramme   und   Quadrate sind.

Wie sich dann zeigt, sind die Dreiecke   und   beide rechtwinklig sowie zum Ausgangsdreieck   kongruent und die Gerade   fällt mit der Höhengeraden durch   auf   zusammen. Das Parallelogramm   ist daher ein Rechteck und wegen   sogar ein Quadrat. Die Flächenformel fällt folglich in diesem Falle mit der pythagoreischen Formel

 

zusammen. Weiterhin zeigt sich, dass mit dem obigen Beweisgang zugleich auch ein Beweis des euklidischen Kathetensatzes gegeben ist.[3]

AbgrenzungBearbeiten

Der hiesige Lehrsatz ist nicht identisch mit dem Großen Satz von Pappus, welcher allerdings ebenfalls auf Pappus Alexandrinus zurückgeht.

LiteraturBearbeiten

  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America, 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 77–78 (Auszug (Google))
    • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4.
  • Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1.
  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E, 13. Auflage. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.
  • Howard Eves: Pappus’s Extension of the Pythagorean Theorem. In: The Mathematics Teacher, Vol. 51, No. 7 (November 1958), S. 544–546, JSTOR 27955752

WeblinksBearbeiten

  Commons: Satz von Pappos – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. a b Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 91–92.
  2. a b Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E, 13. Auflage. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 102.
  3. a b c Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1, S. 88–89.
  4. Die Formulierung Über … bedeutet, dass das jeweilige Parallelogramm mit dem Dreieck nur eine Seite gemeinsam hat, also – ;in diesem Sinne! ;– außerhalb des Dreiecks liegt.
  5. Die Reihenfolge der Punkte ist für die Darstellung der Geraden und Strecken unwesentlich. Es ist also für zwei Punkte   stets   und  .
  6. Eine Strecke ist parallel zu einer gegebenen Geraden genau dann, wenn die Gerade, auf der die Strecke liegt, und die gegebene Gerade parallel sind.
  7. Die Darstellung folgt im Wesentlichen der von Alsina und Nelsen (S. 92). Alsina und Nelsen geben an, ihre Darstellung sei wiederum von dem amerikanischen Mathematiker Howard Whitley Eves übernommen. Der Beweisansatz ähnelt dem des Scherungsbeweises des Pythagoreischen Lehrsatzes. Die im Lambacher-Schweizer auf S. 102 zu findende Skizze legt nahe, dass dieser Ansatz zum Beweis der Flächenformel schon früher bekannt war.
  8.   ist also in die beiden zugehörigen offenen Halbebenen zerlegt.
  9. Geht man von einer festgelegten Links-Rechts-Orientierung der euklidischen Ebene   aus und bezeichnet man für zwei verschiedene parallele Geraden   die abgeschlossenen Halbebenen auf der linken Seite mit   bzw.  , die auf der rechten Seite mit   bzw.   und nimmt man weiter o. B. d. A.   an, so hat der dazwischen liegende Streifen die Darstellung  .