Dreißigeck

Polygon mit 30 Seiten

Das Dreißigeck oder Triakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch dreißig Eckpunkte und deren dreißig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges Dreißigeck

VariationenBearbeiten

Das Dreißigeck ist darstellbar als:

  • konkaves Dreißigeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • konvexes Dreißigeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Dreißigeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnendreißigeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Dreißigeck: Es ist bestimmt durch dreißig Punkte, die auf einem virtuellen oder realen Kreis liegen. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Dreißigeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der dreißig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur drei regelmäßige Dreißigstrahlsterne.
Die „Sterne“ mit den Symbolen {30/2} und {30/28} sind regelmäßige Fünfzehnecke, {30/3} und {30/27} regelmäßige Zehnecke, {30/5} und {30/25} regelmäßige Sechsecke, {30/6} und {30/24} regelmäßige Fünfecke, {30/10} und {30/20} gleichseitige Dreiecke. Die Sterne mit den Symbolen {30/4} und {30/26}, {30/8} und {30/22} sowie {30/14} und {30/16} sind regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne, {30/9} und {30/21} regelmäßige Zehnstrahlsterne und schließlich {30/12} und {30/18} regelmäßige Pentagramme.

Regelmäßiges DreißigeckBearbeiten

Das regelmäßige Dreißigeck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ( ) darstellbar ist.

GrößenBearbeiten

Die Größen und deren allgemeine Formeln sind in Fünfzehneck, Mathematische Zusammenhänge ausführlich beschrieben.

Größen eines regelmäßigen Dreißigecks[1]
Innenwinkel  

 

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt  

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem UmkreisBearbeiten

 
Bild 1: Dreißigeck, ohne Konstruktion des Fünfzehnecks

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eine Seitenlänge des Fünfzehnecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschließend den Zentriwinkel   zu halbieren, um die Seitenlänge des Dreißigecks zu erhalten. Sieht man jedoch auf die Zeichnung des Fünfzehnecks, ist gut erkennbar, die Mittelachse   ist bereits eine Winkelhalbierende zwischen den Eckpunkten   und   Folglich wären die Strecken   sowie   bereits Seitenlängen und der Winkel   der Zentriwinkel eines Dreißigecks. Es bedarf also stattdessen nur der Seitenlänge des Fünfecks um den Zentriwinkel sowie die erste Seitenlänge des Dreißigecks zu finden. Die nun folgende Konstruktion (siehe Bild 1) nutzt diese Möglichkeit.

Es beginnt mit dem Ziehen des Kreises   um den Mittelpunkt   dem Einzeichnen der Mittelachse   und der Orthogonalen   Es folgt die Halbierung der Strecke   in   dabei ergeben sich die ersten Eckpunkte   und   des entstehenden Dreißigecks. Der Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius   schließt sich an; der Schnittpunkt auf   ist   Nun schlägt man einen kurzen Kreisbogen um den Eckpunkt   mit dem Radius  , bis er den Umkreis in   schneidet. Die Strecke   ist die gesuchte Seitenlänge   des Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel   Nun die Seitenlänge   in den Zirkel nehmen, die restlichen Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Das regelmäßige Dreißigeck ist somit fertiggestellt.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

 
Bild 2: Regelmäßiges Dreißigeck bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion im Bild 2 ist nahezu gleich der des Fünfzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge   mit den ersten Eckpunkten   (links) bzw.   bezeichnet, anschließend verlängert man die Strecke   über   hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag. Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius   um den Punkt   die Orthogonale   und der Kreisbogen um   ebenfalls mit dem Radius   dabei entstehen die Schnittpunkte   und   Nun wird eine Halbgerade ab   durch   gezeichnet; sie halbiert die Seitenlänge   in   Der nächste Kreisbogen mit dem Radius   wird um   gezogen, dabei ergibt sich der Schnittpunkt   auf der Verlängerung. Die Strecke   ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt.

Jetzt wird um   ein Kreisbogen mit dem Radius   geschlagen, der die Halbgerade in   schneidet. Die damit erzeugte Strecke   entspricht dem Umkreisradius eines Fünfzehnecks. Die Berechnung des Umkreisradius   ist im Artikel Fünfzehneck ausführlich beschrieben. Die Strecke   in den Zirkel genommen und um   einen kurzen Kreisbogen durch die Halbgerade gezogen, ergibt den Mittelpunkt   des Umkreises eines nicht eingezeichneten Fünfzehnecks mit dessen Zentriwinkel  

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius   der die Halbgerade in   schneidet. Wegen   ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel   am Winkelscheitel   halb so groß, als der Zentriwinkel   eines Fünfzehnecks. Aufgrund dessen ist   der Mittelpunkt des gesuchten Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel   Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt   ziehen, die Seitenlänge   29-mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Dreißigeck konstruiert.

DiagonalenBearbeiten

 
Bild 3: Dreißigeck,
Diagonalen   bis   (Durchmesser)

Jedes Dreißigeck besitzt 405 Diagonalen. Für jede der 30 Ecken, an der eine Diagonale anfangen kann, gibt es 27 mögliche Endpunkte. Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden, damit keine Diagonale doppelt gezählt wird. So ergeben sich die genannten   Diagonalen. Davon sind aber nur   verschieden lang. Allgemein wird mit   diejenige Diagonale bezeichnet, die über   Seiten des Polygons verläuft, demzufolge verläuft z. B. die Diagonale   über vierzehn Seiten.

Goldener SchnittBearbeiten

Da 5 der Ecken des regelmäßigen Dreißigecks ein regelmäßiges Fünfeck bilden, stehen die Diagonale über 12 Seiten   und die Diagonale   im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander.

Außerdem findet sich dieses Verhältnis bei   mit  , diese Diagonalen sind Teil eines regelmäßigen Zehnecks, und bei   mit  .   ist eine Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks und hat somit die gleiche Länge wie der Umkreisradius   des Dreißigecks. Also bildet   auch mit   den Goldenen Schnitt als Verhältnis.

Andere VerhältnisseBearbeiten

Die Diagonale   steht zu   im Verhältnis  .

VorkommenBearbeiten

 
Wiener Riesenrad im Minimundus
mit 30 Ecken und 15 Waggons
  • Das Wiener Riesenrad besitzt die Form eines regelmäßigen Dreißigecks. Obwohl seit 1945 nur 15 Waggons eingehängt sind, wurde es ursprünglich für 30 Waggons gebaut.
  • Der Grundriss des Zirkus Sarrasani ist ein regelmäßiges Dreißigeck.[2]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Dreißigeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Triacontagon. In: WolframMathWorld. Abgerufen am 13. März 2018.
  2. Ing. Ludw. Fischer: Moderner Zirkus. Mitteilungen aus verschiedenen Fachgebieten. In: kobv.de – Kooperativer Bibliotheksverbund Berlin-Brandenburg. Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins Nr. 23, 1913, S. 410–411, PDF-Datei: Seite 58–59, abgerufen am 11. März 2018.