Corioliskraft

Schein- oder Trägheitskraft
Ein Hurrikan, der unter Beteiligung der Corioliskraft entsteht

Die Corioliskraft [kɔrjoˈliːskraft][1] ist eine Trägheitskraft. In einem rotierenden Bezugssystem, zum Beispiel auf einer sich drehenden Scheibe, kann festgestellt werden, dass sich ein Körper nicht entsprechend dem zweiten Newtonschen Gesetz bewegt, sondern senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt wird. Diese Ablenkung wird durch die Coriolisbeschleunigung verursacht und als Wirkung einer seitlich einwirkenden Kraft, der Corioliskraft gedeutet. Im Unterschied zu den beiden anderen Trägheitskräften in rotierenden Bezugssystemen, der Zentrifugalkraft und der Eulerkraft, wirkt die Corioliskraft nur auf Körper, die sich im rotierenden Bezugssystem bewegen.

Da die Coriolisbeschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ändert sich nicht der Betrag der Geschwindigkeit, sondern deren Richtung. Als Corioliseffekt wird jede Erscheinung bezeichnet, die durch die Corioliskraft entsteht.

Deutlich erkennbar wird der Einfluss der Corioliskraft bei großräumigen Phänomenen, wie z. B. in der Meteorologie bei der Drehrichtung der Windfelder um Hoch- und Tiefdruckgebiete und bei der Ausbildung erdumspannender Windsysteme wie der Passatwinde und des Jetstreams. In der Ozeanographie beeinflusst die Corioliskraft maßgeblich die Meeresströmungen. Die verbreitete These, dass sie auch für die Drehrichtung des Strudels in der Badewanne und im Spülbecken verantwortlich sei, trifft hingegen nicht zu.

Diese Trägheitskraft wurde erstmals 1775 von Pierre-Simon Laplace abgeleitet. Sie wird aber nach Gaspard Gustave de Coriolis benannt, der sie in einer 1835 erschienenen Publikation ausführlich behandelte.[2]

EinführungBearbeiten

 
Bewegung eines Körpers vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen; oben: im ruhenden Bezugssystem bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig; unten: im mitrotierenden Bezugssystem (Scheibe) bewegt sich der Körper auf einer spiralförmig gekrümmten Bahn.

In einem bekannten Demonstrationsexperiment zum Corioliseffekt lässt man eine Kugel vom Mittelpunkt aus über eine rotierende Scheibe rollen. Nach dem Anstoßen rollt die Kugel, wenn man sie von außerhalb der Scheibe beobachtet, geradlinig; sie bewegt sich gleichförmig. Im realen Experiment wird sie von der Scheibe etwas in Drehrichtung mitgenommen.[3] Wird die Kugel geworfen statt gerollt lässt sich dieser Effekt vermeiden. Auf der Scheibe hingegen, also im rotierenden Bezugssystem, wird die Kugel im zur Scheibendrehung entgegengesetzten Sinn abgelenkt und beschreibt eine deutlich gekrümmte Bahn. Die seitliche Abweichung, von außen betrachtet der Weg des roten Punkts in der Animation, wird im rotierenden Bezugsystem mit der Coriolisbeschleunigung erklärt.

Die Coriolisbeschleunigung   wird nach der Formel

 

berechnet. Der vorliegende Artikel folgt dieser heute in der Physik gebräuchlichen Definition des Vorzeichens. In der Formel bezeichnen   die vektorielle Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Bezugssystems, deren Betrag angibt, wie schnell das Bezugssystem rotiert, und deren Richtung die Drehachse ist. Die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper im rotierenden Bezugssystem bewegt, wird mit   bezeichnet. Abweichend davon wird in der Technischen Mechanik der Begriff „Coriolisbeschleunigung“ in einem anderen Sinne gebraucht, und zwar als diejenige Beschleunigung, die dem bewegten Körper senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung erteilt werden muss, um seine Ablenkung gerade zu verhindern; dafür erhält sie das entgegengesetzte Vorzeichen.[4]

In Analogie zum zweiten Newtonschen Gesetz wird in der Physik für die Beschleunigung eine dazu proportionale Kraft angenommen, die Corioliskraft, die das Produkt aus der Masse   des Körpers und der Coriolisbeschleunigung ist:[5]

 

Diese Kraft ist eine Trägheitskraft und tritt nur im rotierenden Bezugssystem auf.

Die Richtung des resultierenden Vektors   ist sowohl senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung als auch zur Drehachse des Systems. Deshalb kann die Verknüpfung beider Größen durch das Kreuzprodukt mit dem Symbol   ausgedrückt werden. Die drei Vektoren bilden dabei ein Rechtssystem. Zu seiner didaktischen Veranschaulichung kann man die sogenannte „Drei-Finger-Regel“ benutzen: Bei größtmöglicher Spreizung der Finger der rechten Hand stellt der Daumen die Bewegungsrichtung   dar, der Zeigefinger die Winkelgeschwindigkeit   und der Mittelfinger die Richtung der Corioliskraft  .

Der Betrag dieses Vektors, gewissermaßen die „Stärke“ der Corioliskraft, berechnet sich durch:

 

wobei   der Winkel zwischen Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektor ist. Diese Formel ist hilfreich, wenn die Richtung der Corioliskraft durch vorherige Überlegungen bereits bekannt ist. Bewegt sich der Körper wie im angenommenen Beispiel in einer Ebene senkrecht zur Drehachse ( ), liegt die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Körper verlässt die Ebene nicht; die Corioliskraft erreicht in diesem Fall wegen   ihren höchsten Wert. Schaut man im rotierenden Bezugssystem entgegen der Richtung der Winkelgeschwindigkeit, d. h. senkrecht, auf die Ebene, wird der Körper immer nach rechts abgelenkt.

 
Zentrifugal- und Corioliskraft beeinflussen die Bewegungsabläufe

Einen weiteren Versuch gibt es vereinzelt auf Fahrgeschäften zu sehen, bei dem das erste Newtonsche Gesetz erfahrbar gemacht wird. Personen sollen auf einer sich drehenden Scheibe laufen. Bewegen sie sich z. B. geradlinig radial zum Zentrum, sind dafür Kräfte erforderlich, da die Bewegung von außen betrachtet kein Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung ist. Äußere Kraft und Trägheitskräfte sind entgegengesetzt gleich groß; sie bilden ein dynamisches Gleichgewicht. Die Kraft die der Läufer quer zu seiner Bewegungsrichtung aufbringen muss, ist entgegengesetzt gleich groß wie die Corioliskraft. Da die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft bei diesen Bedingungen senkrecht aufeinander stehen, könnten sie von den Personen unterschieden werden. Die Corioliskraft kann hier auch als Trägheitswiderstand in Bezug auf die in der Technischen Mechanik definierte Coriolisbeschleunigung interpretiert werden.

Anschauliche HerleitungBearbeiten

Die folgenden Überlegungen, die das Phänomen anhand endlicher Intervalle in Zeit und Raum näherungsweise verständlich machen, ergeben im Grenzfall infinitesimal kleiner Intervalle eine exakte Begründung der Corioliskraft.[6][7][8]

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Drehachse wegBearbeiten

 
Ablenkung durch die Corioliskraft bei radialer Bewegung

Wenn dem mit der Scheibe rotierenden Körper (unnummerierter roter Punkt in der nebenstehenden Abbildung) zusätzlich eine Radialgeschwindigkeit   erteilt wird, wächst sein Abstand zur Achse in der Zeit   um  . Im Bezugsystem der Scheibe würde er bei geradliniger Bewegung (also ohne Corioliskraft) am Ende des durchgezogenen roten Pfeils an der Position 1 ankommen. Im erdfesten, inertialen Bezugssystem bewegt sich der Körper entlang des Pfeils, der die Vektorsumme der Radialbewegung und der Tangentialbewegung um die Strecken   (roter Pfeil) bzw.   (blauer durchgezogener Pfeil) darstellt, zum blauroten Punkt mit der Markierung 2. Jedoch dreht sich in dieser Zeit die Scheibe um den Winkel  , und dabei hat der auf der Scheibe erwartete Endpunkt (Markierung 1) eine größere Strecke zurückgelegt, nämlich insgesamt   bis zum roten Punkt mit der Markierung 3. Demnach ist der Körper für einen Beobachter auf der Scheibe in tangentialer Richtung von der geradlinigen radialen Bahn nach rechts abgewichen. Die mit   bezeichnete Abweichung ergibt sich aus der Skizze zu  . Wegen

 

wächst   quadratisch mit der Zeit  , so dass man das Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung erhält. Diese Beschleunigung wird Coriolisbeschleunigung genannt:

  .

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herumBearbeiten

 
Kreisbewegung, Zentripetalbeschleunigung geometrisch hergeleitet

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass ganz allgemein zur Beibehaltung einer Kreisbewegung (rot) mit der (beliebigen) Geschwindigkeit   eine Beschleunigung   quer zur geradlinigen Trägheitsbewegung erfolgen muss. Während des Zeitintervalls   muss sie eine radiale Bewegung um die Strecke   bewirken (grün). Diese ergibt sich, wenn man die Strecke   in dem gezeigten rechtwinkligen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras berechnet und dabei im Grenzfall infinitesimaler Intervalle die Länge der kleinen Kathete ( ) mit der des roten Kreisbogens gleichsetzt. Ergebnis:

  .

Die quadratische Abhängigkeit von der Zeitspanne zeigt (wie beim freien Fall), dass eine konstante Beschleunigung vorliegt:

 

Aus der Sicht eines äußeren Beobachters im ruhenden Inertialsystem hat ein rotierender Körper die Geschwindigkeit   . Es ergibt sich   als die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Wenn sich auf der Scheibe, die mit der Winkelgeschwindigkeit   rotiert, ein Körper auf der Scheibe mit der Relativgeschwindigkeit   bewegt, dann ist seine Geschwindigkeit im Inertialsystem die Summe aus Umlaufgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit:  . Dann ergibt sich aus der obigen Formel für die Zentripetalbeschleunigung:

  .

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Die Formel zeigt, dass diese radial gerichtete Beschleunigung nicht einfach die Summe aus den beiden Beschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat, der den Betrag der Coriolisbeschleunigung hat.

Zusätzlich zeigt dies Beispiel, dass die Aufteilung der radialen Komponente einer Trägheitskraft in Zentrifugal- und Corioliskraft vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.[9]

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur DrehachseBearbeiten

Eine Bewegung parallel zur Rotationsachse, also senkrecht zur Drehscheibe, ruft keine Corioliskraft hervor wegen  . Beim senkrechten Hochhüpfen oder beim Hochschießen eines Gegenstandes parallel zur Drehachse ist jedoch zu beachten, dass er dann im Allgemeinen den mechanischen Kontakt zur Drehscheibe verliert, sodass diese keine Zentripetalkraft mehr auf ihn ausüben kann. Der Körper wird, wenn er die Scheibe nicht in ihrem Drehzentrum verlassen hat, dann im Bezugssystem der Scheibe durch die horizontal wirkende Zentrifugalkraft beschleunigt und beginnt sich nach außen zu bewegen. Dadurch erhält er eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Drehachse und somit auch eine Corioliskraft. Der Körper wird dann (in Bezug auf die Drehscheibe) durch die vektorielle Summe aus Zentrifugalkraft und Corioliskraft weiter beschleunigt. Wenn der Körper wieder landet, weil die Gravitationskraft (parallel zur Rotationsachse) ihn wieder herunter zieht, kommt er nicht mehr am Ausgangspunkt an.

Herleitung aus den kinematischen GrundgleichungenBearbeiten

Herleitung durch Transformation aus einem InertialsystemBearbeiten

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem  , das sich in einem Inertialsystem   befindet und mit der Winkelgeschwindigkeit   rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems   sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse   und Beschleunigung   im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft   :

 

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem   zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor  , die Geschwindigkeit   und die Beschleunigung  . Ein Körper, der sich im rotierenden Bezugssystem mit der Geschwindigkeit   bewegt, hat im Inertialsystem die Geschwindigkeit   und die Bahngeschwindigkeit   aus der Rotationsbewegung. Daher gilt:

 

Die Beschleunigung   erhält man in gleicher Weise als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit. Dabei ist die Produktregel zu beachten.

 

Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Beschleunigung im rotierenden System   ergibt:

 

Durch Multiplikation mit der Masse erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

 

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ist   gleich der äußeren Kraft  . Es ergibt sich:

 

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft und alle Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem wieder. Der letzte Term ist hierbei die Corioliskraft  :

 

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirkenden Kraft   zusammen, erhält man die Newtonsche Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:[10]

 

Formal sind im beschleunigten Bezugssystem äußere Kräfte und Trägheitskräfte nicht mehr unterscheidbar.

Herleitung mit dem Lagrange-FormalismusBearbeiten

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion   die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Unter Vernachlässigung eines Potentials ist

 

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

 

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter einer Koordinatentransformation sind, ist irrelevant, ob nach den Größen im bewegten Bezugssystem   oder nach den Größen im Inertialsystem   abgeleitet wird. Es folgt also im bewegten Bezugssystem für die beiden Terme

 

und

 

In die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt und umgestellt nach   ist

 

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten.[11]

Wie in der kinematischen Herleitung ist der erste Term die Eulerkraft, der zweite die Zentrifugalkraft und der letzte Term die Corioliskraft,  . Die Gleichung zeigt, dass die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft im rotierenden System nur vom Ort des Körpers abhängen, der durch den Ortsvektor   angegeben wird, und auch auf einen ruhenden Körper wirken. Die Corioliskraft hingegen wirkt nur auf sich bewegende Körper (Geschwindigkeitsvektor  ) und ist vom Ort unabhängig, die Ablenkung erfolgt auf jedem Ort des rotierenden Systems in gleicher Weise.

Da die Corioliskraft die Bedingung für actio und reactio nicht erfüllt und nur im rotierenden Bezugssystem angenommen werden muss, wird sie als eine Scheinkraft bezeichnet. Formal gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung   also auch im rotierenden Bezugssystem, wenn Scheinkräfte berücksichtigt werden. Im Gegensatz zur Zentrifugalkraft besteht die Wirkung die Corioliskraft dahingehend, dass der bewegte Körper tendenziell zum Ausgangspunkt der Bewegung zurückgebracht wird.[12]

Da die Corioliskraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Körpers steht, verrichtet sie an dem Körper keine Arbeit.[13]

SpezialfälleBearbeiten

Die folgenden Spezialfälle gehen von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit aus ( ) aus. In der Bewegungsgleichung müssen noch die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft berücksichtigt werden.

 

Bewegung durch Coriolisbeschleunigung erklärbarBearbeiten

Ist die Bewegung z. B. durch Zwangsbedingungen auf die Oberfläche eines Körpers beschränkt und kompensieren sich äußere Kraft   und die Zentrifugalkraft  , so erhält man:

 

Die Relativbewegung kann ausschließlich mit der Coriolisbeschleunigung erklärt werden. Diese Bedingungen sind beim Experiment mit einem rotierenden Paraboloid zu erreichen (siehe Visualisierung des Corioliseffekts), treten aber auch auf der Erde näherungsweise bei Meeresströmungen auf.

Die Bewegungsgleichung gilt auch beim freien Fall in Erdnähe. Bereits um das Jahr 1800 wurden Versuche unternommen, welche die theoretisch erwarteten Abweichungen nach Osten durch Experimente bestätigten.

ScheibenexperimentBearbeiten

Die Relativgeschwindigkeit ist die Differenz zwischen der Geschwindigkeit im Inertialsystem und der Umlaufgeschwindigkeit:   Die nach innen gerichtete Corioliskraft auf Grund der Umlaufgeschwindigkeit ist doppelt so groß wie die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft. Beide Scheinkräfte addieren sich zur Kraft  :

 

Sie ist genauso groß wie diejenige Kraft, die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre. Wenn der Körper wie beim Experiment auf der ebenen Scheibe keiner äußeren Kraft   ausgesetzt ist, macht er die Drehung der Scheibe nicht mit. Die Relativgeschwindigkeit in tangentialer Richtung   ist entgegengesetzt gleich groß wie die Umlaufgeschwindigkeit. Die nach innen gerichtete Scheinkraft ergibt sich damit zu:

 .

Sie ist halb so groß wie die Corioliskraft auf Grund der tangentialen Geschwindigkeit  .

Die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem ergibt sich zu:

 

Da   beim Experiment auf der Scheibe stets in Richtung des Ortsvektors   zeigt, also radial gerichtet ist, erhält man schließlich:

 

Dabei ist   die radiale Komponente der Relativgeschwindigkeit.

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der zweite Term ist die Corioliskraft auf Grund der radialen Geschwindigkeit und beinhaltet einerseits die Beschleunigung, die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist, andererseits die Beschleunigung, die für die konstante Richtung der Geschwindigkeit im Inertialsystem sorgt. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

Da die Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Scheibe steht, kann mit den Beträgen der Vektoren gerechnet werden. Die seitliche Abweichung   an der Stelle mit dem Radius   berechnet sich zu:

 

Corioliskraft aufgrund der ErdrotationBearbeiten

Bewegung auf der Erdoberfläche und CoriolisparameterBearbeiten

 
Aufteilung der Winkelgeschwindigkeit der Erde in Horizontal- und Vertikalkomponente auf der geographischen Breite  
 
Der Coriolisparameter auf der Erde in Abhängigkeit vom Breitengrad

Auf jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wirkt die Corioliskraft, da die Erde ein rotierendes System darstellt. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die vertikalen Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die horizontalen Bewegungen genau nach Norden oder nach Süden. Die Beeinflussung der Bewegungsrichtung durch die Corioliskraft kann man sich am leichtesten an einer kugelförmigen Erdfigur klarmachen; für das Studium von Bewegungsabläufen unter dem Einfluss der Corioliskraft ist ein genaueres Modell der Erdform heranzuziehen (vgl. Visualisierung des Corioliseffekts auf der Erde).

Für die Betrachtung von Bewegungen in beliebiger geographischer Breite   ist es sinnvoll, den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde   in eine horizontale Komponente in Süd/Nordrichtung   und eine vertikale Komponente   zu zerlegen. Es gilt dann:

  und  

Zur Berechnung der Corioliskraft bei horizontalen Bewegungen für einen Ort in einer bestimmten geographischen Breite   ist es vorteilhaft, die Variablen mit konstanten Werten zu einem Coriolisparameter zusammenzufassen:

 

Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4 Sekunden = 1 Sterntag = 86164 s) erfolgt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit[14] von

  .

In mittleren Breiten liegt der Coriolisparameter damit in der typischen Größenordnung von  .

Körper die sich horizontal mit der Geschwindigkeit   bewegen – also parallel zur Oberfläche der Erde – werden durch die Coriolisbeschleunigung   seitlich und die Coriolisbeschleunigung   senkrecht zur Erdoberfläche abgelenkt:

 
 

Die horizontale Beschleunigung   spielt in den höheren geographischen Breite eine wichtigere Rolle, während äquatornah hauptsächlich nur die vertikale Beschleunigung   bei Bewegungen in Ost/Westrichtung wirksam ist.

Horizontale BewegungenBearbeiten

 
Corioliskraft bei Bewegungen horizontal zur Erdoberfläche (Vorzeichen beachten)

Mit dem Coriolisparameter   hat die Coriolisbeschleunigung   bei Bewegungen mit der Geschwindigkeit   den Betrag:

 

Diese Beschleunigung zieht den bewegten Körper auf der Nordhalbkugel aus der Bewegungsrichtung nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links, und verschwindet am Äquator. Sie wirkt umso stärker, je schneller der Körper sich bewegt, und je näher er dem Nord- oder Südpol ist. Ihre Stärke ist aber unabhängig von der Richtung, in der der Körper sich bewegt.

Die Beschleunigungen, die sich bei einem Coriolisparameter von   ergeben sind sehr gering. Selbst bei einem Geschütz, dessen Projektil eine horizontale Geschwindigkeit von 1000 m/s besitzt, ergibt sich:   . Bei einer Entfernung von 40 km ergibt sich mit den angenommenen Werten eine Abweichung von lediglich 80 m. Wesentlich größere Effekte treten bei meteorologischen Phänomenen auf, bei denen eine äußerst geringe Beschleunigung sehr lang andauert.

Bei horizontalen Bewegungen außerhalb der engeren Polargebiete bewirkt der Einfluss der vertikalen Komponente   der Coriolisbeschleunigung theoretisch bei Bewegungen in Drehrichtung der Erde, d. h. nach Osten, eine leichte Anhebung, bei Bewegungen in die andere Himmelsrichtung eine leichte Absenkung; dieser Effekt wird als Eötvös-Effekt bezeichnet.[2] Nord-Süd-gerichtete Bewegungen werden nicht vertikal beeinflusst. Dieser Effekt ist aber meist vernachlässigbar, da sich die gleichgerichtete Schwerebeschleunigung wesentlich stärker bemerkbar macht. Die Vertikalkomponente der Corioliskraft spielt in der Praxis nur als Korrekturglied bei Präzisionsmessungen des Erdschwerefeldes eine Rolle. Sie verschwindet an den Polen und ist maximal am Äquator. Sie macht z. B. ein Flugzeug, das dort mit einer Geschwindigkeit von ca. 1000 km/h nach Osten fliegt, um annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter – fliegt es nach Westen, wird es entsprechend schwerer. Daher bezeichnet man bei der Beschreibung der rein horizontalen Ozean- oder Luftströmungen als „Corioliskraft“ oft nur deren horizontale Komponente. Für sie gilt, wie für das oben erläuterte Beispiel der horizontalen Drehscheibe, dass die Corioliskraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt und dass ihre Stärke nicht von der Bewegungsrichtung abhängt.

Corioliskraft und Foucaultsches PendelBearbeiten

Die Corioliskraft bewirkt auf der Nordhalbkugel die Drehung des Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels im Uhrzeigersinn, da das Pendel durch die Corioliskraft ständig nach rechts gezogen wird. Die geringfügigen Ablenkungen der einzelnen Schwingungen addieren sich auf zu einer täglichen Gesamtabweichung von   für ein Foucault-Pendel in der geographischen Breite   , so dass bereits die Ablenkung der Einzelschwingung einen experimentellen Beweis für die Rotation der Erde darstellt.[15] Am Pol dreht sich die Schwingungsebene pro Tag einmal um 360 Grad und nimmt mit dem Sinus der geografischen Breite zum Äquator hin auf Null ab. Auf der Südhalbkugel ändert sich das Vorzeichen des Sinus und das Pendel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Allgemein gilt für die Zeit einer vollständige Drehung der Schwingungsebene:

 .

Einfluss der Corioliskraft auf die atmosphärische ZirkulationBearbeiten

 
Geostrophisches Gleichgewicht (gelb = Windrichtung) von Gradientkraft F(g) und Corioliskraft F(c)
 
Auswirkung der Corioliskraft auf ein großskaliges Windsystem, hier Tiefdruckgebiet bei Island (Nordhalbkugel)
 
Entstehungsgebiete und Zugbahnen von tropischen Wirbelstürmen

Die Corioliskraft hat einen großen Einfluss auf die Richtung großräumiger Luftströmungen. In der freien Atmosphäre wirkt zwischen den Gebieten mit hohem und niedrigen Luftdruck eine Gradientkraft, die den Druckausgleich anstrebt. Die Luftmassen streben aber nicht direkt vom Hoch zum Tief, sondern werden auf ihrem Weg von der Corioliskraft abgelenkt. Im Falle eines annähernd geradlinigen Verlaufs der Isobaren wird die Strömung zu einer isobarenparallelen Strömung abgelenkt, dem geostrophischen Wind, bei dem sich die zum Tief gerichtete Gradientkraft und die zum Hoch gerichtete Corioliskraft entgegengesetzt die Waage halten. Der Druckausgleich wird dadurch verhindert, und die Druckgebiete bleiben stabil. Ein eindrucksvolles Beispiel geostrophischer Winde stellen die Jetstreams in einigen Kilometern Höhe dar.

In der bodennahen atmosphärischen Grundschicht wirkt jedoch eine beträchtliche Reibungskraft auf die Luftströmung ein, ihr Vektor ist dem Strömungsvektor entgegengerichtet. Diese Reibung, deren Wirkung sich vertikal bis in einige Höhe fortpflanzt, verlangsamt die Strömung und vermindert damit die Größe der Corioliskraft. Für die Strömung ist nunmehr einerseits die ins Tief gerichtete Gradientkraft, andererseits die ins Hoch gerichtete Kraftkomponente, die sich aus der vektoriellen Addition von Reibungskraft und Corioliskraft ergibt, bestimmend. Die ageostrophisch genannte Strömung (Reibungswind) verläuft infolgedessen nicht mehr isobarenparallel, sondern quer zu den Isobaren vom Hoch- ins Tiefdruckgebiet hinein, wie man es auf Bodenwetterkarten erkennen kann.[16][17]

Aus dem Zusammenwirken dieser Kräfte erklärt sich auch der Verlauf der Passatwinde, die aus dem Subtropischen Hochdruckgürtel zum äquatorialen Tiefdruckgebiet wehen. Die Corioliskraft lenkt diese Strömung auf beiden Hemisphären zu einer nach Westen gerichteten Ostströmung („Urpassat“) ab; durch den Reibungseinfluss wird daraus in der bodennahen Schicht der Nordhemisphäre der Nord-Ost-Passat und der Südhemisphäre der Süd-Ost-Passat.

Allgemein dreht sich die Luft auf der Nordhalbkugel in Hochdruckgebieten im Uhrzeigersinn, in Tiefdruckgebieten gegen den Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel ist der Drehsinn umgekehrt. In Bodennähe verlässt die Luft das Hochdruckgebiet in Form eines rechts drehenden Wirbels, also im Uhrzeigersinn, und strömt gegen den Uhrzeigersinn in das Tiefdruckgebiet ein. Dort wird diese Wirbelbewegung im Allgemeinen durch Wolkenbildung sichtbar. Da am Äquator der Vektor der Winkelgeschwindigkeit parallel zur Erdoberfläche liegt, ist dort die horizontale Komponente der Corioliskraft nicht wirksam, dynamische Hoch- und Tiefdruckgebiete können in Äquatornähe nicht existieren. Dies gilt insbesondere für die tropischen Wirbelstürme, die – obwohl am Äquator die thermischen Voraussetzungen vorliegen – erst in einer Distanz von mindestens circa fünf Breitengraden nach Nord bzw. Süd entstehen.

Strahlungsbedingt besteht auf der Erde von den Tropen zu den Polargebieten ein Temperatur- und ein Druckgefälle, wobei der horizontale Gradient jeweils in der oberen Troposphäre besonders ausgeprägt ist. Die Druckabnahme verläuft zum Pol hin nicht gleichmäßig, sondern konzentriert sich am oberen Rand der Troposphäre auf ein relativ schmales Band mit starkem Luftdruckabfall, der auf Höhenwetterkarten durch eine dichte Scharung der Isobaren sichtbar wird. In diesem Bereich stellt sich eine kräftige geostrophische Strömung ein, die sich regional zu den Jetstreams verstärkt. Diese Zone des starken Luftdruckgradienten verläuft nicht breitenkreisparallel, sondern als mehr oder weniger mäandrierende Struktur (Rossby-Wellen) mit Wellenlängen und Amplituden bis zu einigen Tausend Kilometern. Die Wellen bewegen sich, analog zur Richtung der geostrophischen Strömung, langsam von West nach Ost fort, können aber auch längere Zeit stationär bleiben. Durch Massenverlagerungen im Bereich der Rossby-Wellen entstehen auf der Polseite Tiefdruckgebiete (Zyklonen), auf der Äquatorseite Hochdruckgebiete (Antizyklonen), die meist bis zur Erdoberfläche herunterreichen. In diesen dynamischen, zirkulären Druckgebilden herrscht jeweils ein Gleichgewicht aus Gradient-, Zentrifugal- und Corioliskraft. Während die ersten beiden Kräfte für ein Druckgebiet jeweils als konstant angesehen werden können, ist die Corioliskraft in diesen räumlich ausgedehnten (≥ 1000 km) Druckgebieten auf der Polarseite größer als auf der Äquatorseite. Infolgedessen scheren die Zyklonen im statistischen Mittel tendenziell in polarer Richtung aus, die Antizyklonen in äquatorialer Richtung. Dadurch bildet sich nördlich der polaren Frontalzone die subpolare Tiefdruckzone und südlich davon der subtropische Hochdruckgürtel. Insoweit bestimmt die Corioliskraft nicht nur den Verlauf der atmosphärischen Luftströmungen, sondern auch die Verteilung der großräumigen Druckgebiete auf der Erde.[18][19]

Das geostrophische Gleichgewicht formt nur die großskaligen Wettermuster. Auf die Drehrichtung von kleinräumigen Tiefdruckgebieten, beispielsweise von Tornados, hat die Corioliskraft keinen wesentlichen Einfluss, da in diesen die anderen wirksamen Kräfte größenmäßig die Corioliskraft weit überwiegen.[20] Das wird schon daran deutlich, dass in Tornados auf der Nordhemisphäre auch Drehungen mit dem Uhrzeigersinn möglich sind.

Einfluss der Corioliskraft auf die WasserströmungenBearbeiten

 
„Trägheitskreise“ auf Grund der Corioliskraft, spiralförmig verzerrt durch deren Breitenabhängigkeit

Die Corioliskraft hat wesentlichen Einfluss auf die Richtungen der großräumigen Bewegungen in den Ozeanen, sowohl direkt als auch durch den Einfluss des ebenfalls corioliskraftgesteuerten Windes. Da die Corioliskraft von der Himmelsrichtung einer horizontalen Bewegung unabhängig ist, beschreibt eine Luft- oder Wassermasse, die sich im Bezugssystem der Erde mit der Geschwindigkeit   bewegt, ohne Einfluss anderer Kräfte „Trägheitskreise“ mit Radien von:

 

In mittleren Breiten mit Werten des Coriolisparameters von   und einer typischen Meeres-Strömungsgeschwindigkeit von   ergibt sich ein Radius von   Die Bewegung erfolgt auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Periode der Umlaufbewegung ist:

 

Bei 60 Grad geographischer Breite beträgt   rund 14 Stunden. An den Polen liegt das Minimum mit 11 Stunden 58 Minuten 2 Sekunden (die halbe siderische Tageslänge), während die Periode zum Äquator hin gegen unendlich geht, d. h., dass in den inneren Tropen keine Trägheitskreise vorkommen. Die Corioliskraft bestimmt auch den Umlaufsinn der Gezeitenwelle im tiefen Ozean, was entlang einer Küste zu unterschiedlichen Hoch- und Niedrigwasserzeiten führt.[21]

Wegen der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters sind die „Trägheitskreise“ keine Kreise im mathematischen Sinn, sondern nur in erster Näherung, da sie polseitig einen kleineren Radius haben als äquatorseitig. Daraus ergibt sich eine leichte Spiralform, als deren Resultat die bewegte Masse nicht genau zum Ausgangspunkt zurückgeführt, sondern etwas nach Westen versetzt wird. Dieser Effekt konnte durch die Beobachtung der Strömungsversetzung von schwimmenden Bojen in der Ostsee verifiziert werden.[12]

An der Grenzfläche von Atmosphäre und Ozean tritt sowohl in der Luft wie auch im Wasser eine turbulente Grenzschicht auf. Im Ozean sorgt die turbulente Grenzschicht in ihrer gesamten Ausdehnung für eine Durchmischung des Mediums. An der Grenzschicht übt ein vorwiegend gerichteter Wind durch Reibung eine bestimmte Schubspannung aus, die eine Wasserströmung in gleicher Richtung in Gang setzt (Ekman-Transport). Diese wird jedoch durch die Corioliskraft auf der Nordhemisphäre nach rechts, auf der Südhemisphäre nach links abgelenkt.

Die derart erzeugte Strömung des Oberflächenwassers wird zusätzlich durch die darunter liegende Wasserschicht gebremst, wobei sich die Geschwindigkeit wie auch die von ihr abhängende Corioliskraft vermindern. Dieser Bremseffekt pflanzt sich so weit bis zu einer bestimmten Tiefe (Ekman-Tiefe) nach unten fort, bis die Strömung völlig abgebremst ist. Bis dorthin wirkt ebenfalls – zunehmend abgeschwächt – die Corioliskraft, so dass sich insgesamt eine spiralartige Struktur ausbildet (Korkenzieherströmung). Auch die großräumigen Bewegungen im Ozean (Sverdrup-Relation) werden wesentlich durch die Corioliskraft beeinflusst.

Allgemein wird der Einfluss der Corioliskraft auf bestimmte Bewegungen im Meer und in der Atmosphäre durch die dimensionslose Rossby-Zahl charakterisiert. Je kleiner diese ist, umso stärker ist die Bewegung durch Corioliskraft geprägt.

Die Drehrichtung kleinräumiger Wasserströmungen wie zum Beispiel des Strudels einer ablaufenden Badewanne werden entgegen einer verbreiteten Behauptung nicht durch die Corioliskraft bestimmt.[22][23][24]

Erosion von FlussufernBearbeiten

Die Corioliskraft führt auch dazu, dass auf der Nordhalbkugel diejenigen Flussufer, die in Fließrichtung rechts liegen, im Mittel stärker erodiert werden als die linken. Dieses Phänomen wurde erstmals im Jahre 1763 von Michail Wassiljewitsch Lomonossow beschrieben. Erste Erklärungen stammten von Pjotr Andrejewitsch Slowzow (1827) und Karl Ernst von Baer (1856).[25] Obwohl diese Forscher glaubten, der Effekt trete nur bei Flüssen auf, die von Süden nach Norden fließen, wird der Effekt bis heute als Baersches Gesetz bezeichnet. Dass der Effekt tatsächlich von der Fließrichtung unabhängig ist, formulierte 1859 erstmals Jacques Babinet und später Albert Einstein (1926).[26][27][28][29][30]

Corioliskraft und EisenbahnBearbeiten

Im Schienenverkehr führt die Corioliskraft dazu, dass bei gerader Strecke die in Fahrtrichtung rechts liegende Schiene auf der Nordhalbkugel geringfügig stärker belastet wird als die linke. Der Effekt ist jedoch so klein, dass er gegenüber geringfügigen Krümmungen und Höhenunterschieden beider Schienen, die ebenfalls eine ungleichmäßige Belastung zur Folge haben, keine technische Relevanz hat.

Ein Zug (z. B. ein ICE 3 mit 400 t Masse), der bei einer geografischen Breite von 51 Grad (Köln) mit einer Geschwindigkeit von 250 km/h fährt, erfährt eine Corioliskraft von 3.200 N nach rechts. Dies ist weniger als ein Promille der Gewichtskraft. Hat der Zug acht Wagen mit je vier Achsen, wird jedes rechte Rad mit einer Corioliskraft von ca. 100 N nach rechts gegen die Schiene gedrückt. Im Vergleich dazu ergibt sich bei dieser Geschwindigkeit und bei einem Kurvenradius von 3.000 m die zur Kurvenfahrt erforderliche Zentripetalkraft auf jedes Rad zu 20.000 N, also 200-mal so viel wie die Corioliskraft.

Vertikale BewegungenBearbeiten

Bei Fallexperimenten in Äquatornähe kann festgestellt werden, dass ein Körper nicht exakt in Lotrichtung fällt. Dies ist die Folge der Coriolisbeschleunigung.

 

Diese Beschleunigung erzeugt eine Ablenkung von der Lotrichtung, die bei einer Abwärtsbewegung nach Osten, bei einer Aufwärtsbewegung nach Westen gerichtet ist. Die Größe dieser Ablenkung ist am Äquator maximal, an den Polen Null.

Historische VersucheBearbeiten

Lässt man einen Gegenstand fallen, wird er durch die Coriolisbeschleunigung nach Osten, d. h. in Drehrichtung der Erde, abgelenkt. Frühe Messungen dieses Effektes stammen von Giovanni Battista Guglielmini (1791) in Bologna, Johann Friedrich Benzenberg (1802) in der Hamburger Michaeliskirche und in einem Bergbau-Schacht im Ruhrgebiet sowie Ferdinand Reich (1832), ebenfalls in einem Bergwerk in Freiberg. Trotz starker Streuung stimmten die Resultate von Benzenbergs Versuchen im Mittel mit den Werten, die Laplace und Gauß berechnet hatten, in etwa überein.[2][31]

Das Gedankenexperiment von MersenneBearbeiten

 
Historische Karikatur zum Experiment von Mersenne

Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand. Durch die Corioliskraft wird die Kugel während der Aufwärtsbewegung nach Westen und während der Abwärtsbewegung nach Osten beschleunigt. Dadurch entsteht beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente, die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht, und beim Abstieg wegen der ostwärts gerichteten Corioliskraft gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null. So hat während des gesamten Fluges die Geschwindigkeit eine nach Westen gerichtete Komponente. Im Ergebnis wird die Kugel daher nach Westen abgelenkt. Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westablenkung theoretisch 65 cm.

Bei reinen Aufwärtsbewegungen auf der rotierenden Erde wirkt die Corioliskraft nach Westen, beim senkrechten freien Fall wirkt sie nach Osten. Ihr Betrag ist:

 

Eine mit der Anfangsgeschwindigkeit   senkrecht nach oben geschossene Kugel wird zunächst nach Westen abgelenkt um den Betrag (g ist dabei jeweils die Erdbeschleunigung):

  .

Hat sie die Steighöhe   erreicht, so besitzt sie eine Westgeschwindigkeit von   .

Ein über die Länge   frei fallender Körper erfährt aufgrund der Corioliskraft eine Ostablenkung von:

  .

Beim Herunterfallen der Kugel muss zusätzlich noch der Beitrag   zur Ostablenkung berücksichtigt werden:

  .

Der gesamte Versatz ergibt sich aus der Differenz der beiden Ausdrücke nach Vereinfachungen zufolge der Gesetze für die Steig- und Fallzeiten zu einer effektiven Abweichung nach Westen um

  .

Am Äquator ist der Versatz am größten ( ). Wegen   ergibt sich kein Unterschied zwischen Nord- und Südhalbkugel.

Visualisierung des Corioliseffekts auf der ErdeBearbeiten

 
links: Elliptische Bewegung in Drehrichtung des Systems aus der Sicht eines feststehenden Beobachters rechts: Kreisförmige Bewegung gegen den Drehsinn des Systems aus der Sicht eines mitrotierenden Beobachters
Objekt, das sich reibungsfrei über die Oberfläche eines Paraboloids bewegt. Blick von oben auf das Paraboloid.[32]

Im Experiment sind die Wirkungen von Zentrifugalkraft und Corioliskraft auf einen bewegten Körper nur schwer voneinander zu trennen. Die isolierte Wirkung der Corioliskraft lässt sich näherungsweise bei einem Körper beobachten, die sich in einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden flachen Schale von der Form eines Rotationsparaboloids reibungsfrei bewegt. Wenn die Resultierende aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche steht, ist die Bewegung auf der Oberfläche eine Folge der Corioliskraft die im rotierenden Bezugssystem auftritt.[33] Für jedes Paraboloid gibt es genau eine Drehzahl, bei der die Resultierende aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft an jedem Punkt senkrecht zur Oberfläche steht. Das ist der Fall, wenn eine mit derselben Drehzahl rotierende Wasseroberfläche die Form der Schale annimmt. Die beobachteten Kreise sind dann ausschließlich die Folge der Coriolisbeschleunigung.[34]

Die Bedingung, dass die Resultierende aus Gewichts- und Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche stehen, ist bei einem Koordinatensystem mit dem Ursprung im Mittelpunkt einer Erde von sphäroidischer Gestalt näherungsweise überall gegeben.[35] Die Bewegung eines Körpers, der sich im Inertialsystem nur unter dem Einfluss der Gravitation auf der Erdoberfläche bewegt, kann daher im rotierenden Bezugssystem der Erde mit der Corioliskraft erklärt werden.[36] Das Experiment mit dem Paraboloid ist daher ein Modell, mit dem sich im kleinen Maßstab Trägheitsbewegungen auf der Erde veranschaulichen lassen.

KoordinatensystemeBearbeiten

Die Coriolisbeschleunigung   erfährt ein Körper, der sich in einem rotierenden Bezugssystem bewegt. Dafür gilt allgemein die Formel:   . In einigen typischen Koordinatendarstellungen bei rotierenden Systemen stellen sich die Formeln so dar:

Kugelkoordinaten geografische Koordinaten
   

Dabei ist

  •   der Betrag der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und
  •   der Geschwindigkeitsvektor der Bewegung des Körpers, relativ zum rotierenden Bezugssystem, und dabei bezeichnen
    • bei den Kugelkoordinaten der Index   den Abstand zum Ursprung und die Indizes   und   den Azimut- und Polarwinkel,
    • bei den geografischen Koordinaten der Index   den Abstand zur Kugeloberfläche und die Indizes   und   die geografische Breite und Länge.

Wenn die Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse stattfindet, wirkt die Corioliskraft   ebenfalls in dieser Ebene, und der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor   (parallel zur Drehachse) und dem Winkelgeschwindigkeitsvektor   bleibt konstant bei 90°. Anstatt einer Berechnung des Kreuzprodukts der Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren kann zur Bestimmung der Stärke der Corioliskraft mit deren Beträgen gerechnet werden, und es gilt:

 

Corioliskraft in der TechnikBearbeiten

 
Prinzip eines Drehratensensors. Bei einer rotierten Stimmgabel bewegen sich die Zinken zusätzlich zur normalen Bewegung seitlich aneinander vorbei. Diese Bewegung beruht auf der Corioliskraft.

Corioliskräfte sind in der Technik dann von Bedeutung, wenn eine Drehbewegung von einer zweiten Bewegung „überlagert“ wird. Dies ist beispielsweise bei einem Roboter der Fall, der sich dreht und gleichzeitig seinen Greifarm ausfährt.

  • Wenn eine Last am Ausleger eines Krans nach innen oder außen fährt, während der Kran sich dreht, hängt sie aufgrund der Corioliskraft nicht senkrecht nach unten, sondern wird seitlich ausgelenkt. Wird die Last längs des Auslegers nach innen eingefahren, eilt sie der Drehung des Krans voraus.
  • In der Getriebetechnik (Koppelgetriebe) und in der Robotik spielen die Corioliskräfte eine Rolle, da auch hier gleichzeitige Bewegungen entlang mehrerer Freiheitsgrade erfolgen. Benutzt man zur Vereinfachung der Beschreibung rotierende Bezugssysteme, treten für Bewegungen in diesen Bezugssystemen Corioliskräfte auf.
  • Zur Messung des Massenstromes durchströmender Flüssigkeiten oder Gase verwendet man den Coriolis-Massendurchflussmesser. Das Messrohr wird in Schwingungen versetzt. Diese werden im Ein- und Auslauf gemessen und verglichen. Bei der Corioliswaage wird vor allem Schüttgut durch die Messung der Änderung des benötigten Drehmoments eines Rotortellers vermessen.
  • Bei Kreiselpumpen wird das Medium vom meist axial gelegenen Ansaugkanal durch das Pumpenrad in Rotation versetzt und durch die Zentrifugalkraft nach außen zum Ausgang geschleudert. Dabei übt das Medium Corioliskräfte auf das Pumpenrad aus, wodurch sich ein Bremsmoment für den Antrieb ergibt. Die effektiv aufgewendete Energie der Pumpe ist also etwa proportional zum radial verlaufenden Massenstrom, dem Radius des Pumpenrades und der Drehzahl (Verwirbelungen, Rückströmungen und Reibung außer Acht gelassen).
  • Einige Drehratensensoren zur Messung von Winkelgeschwindigkeiten nutzen die Corioliskraft in Form des sogenannten „Stimmgabelprinzips“,[37] das im nebenstehenden Bild erläutert wird. Aufgrund der Drehbewegung bewegen sich die Zinken der Stimmgabel nicht nur aufeinander zu, sondern sie führen zusätzlich seitliche Bewegungen zueinander aus, die durch die Corioliskraft verursacht werden. Die seitliche Auslenkung ist näherungsweise proportional zur Winkelgeschwindigkeit und kann beispielsweise durch eine kapazitive oder induktive Messung erfasst werden.[38]

GeschichtlichesBearbeiten

Schon lange vor der theoretischen Ableitung wurde im Rahmen der Diskussion über die Realität des kopernikanischen Weltbildes über die mögliche Ablenkung von Bewegungen spekuliert. Es waren dessen Kritiker, die die Nichtfeststellbarkeit einer postulierten Westablenkung beim Freien Fall auf einer rotierenden Erde als Gegenargument gegen die Annahme einer rotierenden Erde ansahen.

Galilei erkannte zutreffend, dass beim Freien Fall eigentlich eine Ostablenkung erscheinen müsste, aber auch diese war seinerzeit experimentell nicht belegbar. Robert Hooke und Isaac Newton erkannten 1679, dass der Freie Fall nicht auf einer geradlinigen Bahn stattfinden kann, sie nahmen dafür eine elliptische Bahn an.[39]

George Hadley formulierte 1735 eine Hypothese für die Entstehung der tropischen Passatwinde auf Grund der Differenz der Umdrehungsgeschwindigkeit der Erde in unterschiedlichen geographischen Breiten.[40]

Leonhard Euler versuchte die Bewegungsgleichungen mathematisch abzuleiten, der Term für die Ablenkung einer gleichförmigen Bewegung war aber noch fehlerhaft.[41][42]

Als eigentlicher „Entdecker“ des Coriolis-Effekts wird zumeist Pierre Simon Laplace genannt, der 1775 das System der Bewegungsgleichungen für die Oberfläche rotierender Planeten ableitete und damit erstmals einen mathematisch korrekten Ausdruck für die ablenkende Kraft fand; jedoch ging er in der physikalischen Interpretation nicht über das Hadley-Modell hinaus.[43][44] Laplace berechnete ebenso wie Gauß das Maß der Ablenkung für fallende Körper; diese Werte konnte Anfang des 19. Jahrhunderts experimentell annähernd bestätigt werden.

Gustave Coriolis analysierte 1835 mathematisch die Bewegung von Maschinenteilen, die sich relativ zu einer Rotation bewegen. Dabei fand er, dass sich die gesamte Trägheitskraft aus der Zentrifugalkraft und einer weiteren, „zusammengesetzten“ Zentrifugalkraft, die eine Ablenkung bewirkt, zusammensetzt.[45] Letztere wurde erst im 20. Jahrhundert als „Corioliskraft“ bezeichnet. Siméon Denis Poisson berechnete daraufhin 1838 die Ablenkung von Artilleriegeschossen. Joseph Bertrand legte 1847 der Pariser Akademie der Wissenschaften eine vereinfachte kinematische Ableitung vor, die später Eingang in zahlreiche Lehrbücher fand. Die Ableitung enthielt zwei entscheidende Fehler, die sich aber rechnerisch genau kompensierten.[46] Als erste zuverlässige experimentelle Bestätigung wurde die Ablenkung des Foucault-Pendels (1851) angesehen.

Adolf Sprung begründete 1879 die Ablenkung von breitenkreisparallelen Bewegungen. Er übertrug die für eine rotierende ebene Scheibe geltenden mathematischen Ableitungen auf das System einer parabolisch geformten Fläche, bei welcher der Einfluss der Zentrifugalkraft kompensiert werden kann, sodass der Coriolis-Effekt einer isolierten Betrachtung zugänglich wird. Persson vertritt die Ansicht, dass auch Newton diese Lösung mit seinen Möglichkeiten hätte finden können.[47]

Historische AufsätzeBearbeiten

  • Karl Ernst von Baer: Über ein allgemeines Gesetz in der Gestaltung der Flußbetten. In: Kaspische Studien. Nr. VIII, 1860, S. 1–6.
  • Johann Friedrich Benzenberg: Versuche über das Gesetz des Falles, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde, nebst der Geschichte aller früheren Versuche von Galiläi bis auf Guglielmi. Dortmund 1804, 2. Auflage, Hamburg 1824.
  • G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. Nr. 15, 1835, S. 142–154 (online [PDF]).
  • Pierre Simon Laplace: Recherches sur plusieurs points du système du monde. In: Mémoires de l’Académie Royale des Sciences. Band 88, 1775, S. 75–182 (online).
    Zu dieser Quelle sollte man die Fußnote 12 in „The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics[2]
  • Ferdinand Reich: Fallversuche über die Umdrehung der Erde: angestellt in dem Brüderschachte bei Freiberge. Freiberg 1832.

LiteraturBearbeiten

  • Adrian Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics (International Geophysics). Academic Pr Inc, 1982, ISBN 0-12-283522-0.
  • A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24.
  • Henry M. Stommel, Dennis W. Moore: An introduction to the Coriolis force. Columbia University Press, New York 1989, ISBN 0-231-06637-6.
  • Halliday-Resnick-Walker: Halliday Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2009, S. 154 ff.

WeblinksBearbeiten

 Commons: Coriolis force – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Corioliskraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Corioliskraft – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Corioliskraft, die. Duden online, abgerufen am 30. November 2013. Anstelle der Betonung auf dem zweiten i wird oft auch das erste i oder das zweite o betont.
  2. a b c d A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24 (meteohistory.org [PDF]). meteohistory.org (Memento vom 11. April 2014 im Internet Archive)
  3. Coriolis- und Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem: Video von 3:00 bis 3:30 und ab 5:00.
  4. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6.
  5. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-25465-9, S. 83.
  6. Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, Heidelberg 2017, S. 43 ff.
  7. Richard Feynman u. a.: Vorlesungen über Physik. Bd. 1, Seite 19–2, die letzten beiden Sätze des Kapitels.
  8. Jürgen Dankert und Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 6. Auflage, 2011, S. 497.
  9. Richard Feynman: The Feynman Lectures on Physics. 3. Auflage. Band 1. Basic Books, 2010, ISBN 978-0-465-02414-8, S. 19-15–19-16 (englisch).
  10. Brigitte Klose: Meteorologie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, S. 207.
  11. Lew Landau und Jewgeni Lifschitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth Heinemann, 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S. 126–129 (englisch).
  12. a b Persson 2005, S. 2–3.
  13. E. Becker: Technische Thermodynamik: Eine Einführung in die Thermo- und Gasdynamik. B. G. Teubner, 1985, ISBN 978-3-519-03065-2, S. 185.
  14. Geringfügige Schwankungen und sehr langfristige Änderungen der Winkelgeschwindigkeit können für die meisten Fälle unberücksichtigt bleiben.
  15. Robert Wichard Pohl: Mechanik, Akustik und Wärmelehre. 17. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 1969, S. 94.
  16. Vektorielle Größen zum ageostrophischen Wind
  17. Ernst Heyer: Witterung und Klima. 3. Auflage, BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1975, S. 130–131.
  18. Rossby-Wellen
  19. Hermann Flohn: Zur Dididaktik der allgemeinen Zirkulation der Erde. In: Geographische Rundschau 1960, S.  online (auf S. 7 (in dortiger Nummerierung) Skizze zum Ausscheren der Zyklonen)
  20. Brigitte Klose: Meteorologie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, S. 220.
  21. Robert Stewart: Introduction to Physical Oceanography. Orange Grove Texts Plus, 2009, S. 311 (online [PDF; abgerufen am 19. Oktober 2019]).
  22. Christoph Drösser: Stimmt’s? Seltsamer Strudel. Auf: zeit.de. 12. Mai 1997, abgerufen am 14. Dezember 2014.
  23. Jearl Walker: Der fliegende Zirkus der Physik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007, ISBN 978-3-486-58067-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  24. Norbert Lossau: Fünf Minuten Physik: Badewannen und Tiefdruckgebiete. In: Die Welt. 6. Juni 2007.
  25. L. S. Berg: P. A. Slowzow und das Baersche Gesetz. In: Geschichte der russischen geographischen Entdeckungen. Gesammelte Aufsätze. VEB. Bibliographisches Institut, Leipzig. 1954.
  26. Albert Einstein: Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes. In: Die Naturwissenschaften. Band 14, Nr. 11, 1926, S. 223–224 (Der handschriftliche Entwurf dieser Veröffentlichung von Einstein).
  27. Peeter Müürsepp: Über die Bildung der Flußbetten. Das Baer-Babinetsche Gesetz. Wissenschaftshistorische Abhandlung.
  28. Ernst Peter Fischer: Ein Genie und sein überfordertes Publikum. „Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes“ (Einstein, 1926). 1996, S. 140.
  29. Karl-Heinz Bernhardt: Teetassen-Zyklonen und Flußmäander – Einstein klassisch. (PDF), 2005, S. 81–95.
  30. Florian Freistetter: ScienceBlogs Albert Einstein, die Zahl Pi und die Mäanderbildung bei Flüssen. 2011.
  31. Jürgen Teichmann: Wandel des Weltbildes (= Kulturgeschichte der Naturwissenschaften und Technik, hrsg. vom Deutschen Museum München). 2. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1983, S. 157–159.
  32. Anders Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. Norrköping 2005, S. 13
  33. John Marshall: Inertial circles - visualizing the Coriolis force: GFD VI. 2003.
  34. John Marshal, R. Alan Plumb: Atmosphere, Ocean, and Climate Dynamics: An Introductory Text. Academic Press, 2007, S. 96–97. Google
  35. Anders Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. Norrköping 2005, S. 11.
  36. John Marshal, R. Alan Plumb: Atmosphere, Ocean, and Climate Dynamics: An Introductory Text. Academic Press, 2007, ISBN 978-0-12-558691-7, S. 101 (google.com).
  37. MEMS-Sensoren im Überblick, Automobil-Elektronik. (Memento vom 23. Mai 2013 im Internet Archive). (PDF; 2,8 MB), April 2007.
  38. Detlef Billep: Modellierung und Simulation eines mikromechanischen Drehratensensors. (PDF; 4,6 MB), Dissertation.
  39. A. O. Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. The Swedish Meteorological and Hydrological Institute: 8. 2005, S. 5–6
  40. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 6
  41. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 18
  42. In einer früheren Arbeit von Leonhard Euler aus dem Jahr 1750 fehlte in der Formel noch der Faktor 2 (Giulio Maltese: On the relativity of motion in Leonhard Euler’s science. In: Archive for history of exact sciences. Band 54 (Januar 2000), S. 319–348, hier S. 343).
  43. P. S. Laplace: Recherches sur plusieuers points du Système du Monde. In: Mém. Acad. roy.des Sciences. 88, 1775, S. 75–182. Zitiert in David Edgar Cartwright: Tides: A Scientific History. Cambridge 1999, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  44. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 6
  45. G. G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. 15, 1835, S. 142–154. In dieser Veröffentlichung wird die Vorarbeit von Laplace (1775) nicht erwähnt.
  46. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 8–9
  47. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 13–15