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Animation zur Corioliskraft auf einen Körper, der sich vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen bewegt. Im nicht rotierenden Bezugssystem (oben) bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig. In einem mit der Scheibe mitrotierenden Bezugssystem steht die Scheibe und der Körper bewegt sich auf einer gekrümmten Bahn (unteres Bild). Die Krümmung der Bahn kann als Folge der Corioliskraft gedeutet werden.

Die Corioliskraft [kɔrjoˈliːskraft][1] ist eine Schein- oder Trägheitskraft, die einen bewegten Körper im rechten Winkel zu seiner momentanen Bewegungsrichtung ablenkt, wenn die Bewegungsrichtung relativ zu einem rotierenden Bezugssystem beschrieben wird. Im Unterschied zu den beiden anderen Scheinkräften in rotierenden Bezugssystemen, Zentrifugalkraft und Eulerkraft, wirkt die Corioliskraft nur auf Körper, die sich im rotierenden Bezugssystem bewegen. Sie verursacht dabei ständig eine Ablenkung zu einer Seite, denn diese Kraft steht immer im rechten Winkel zur augenblicklichen Bewegungsrichtung des Körpers aus der Sicht des rotierenden Bezugssystems.

Diese Trägheitskraft wurde 1775 von Pierre-Simon Laplace erstmals korrekt aus den Newton’schen Gesetzen der Mechanik hergeleitet,[2] wird aber nach Gaspard Gustave de Coriolis benannt, der sie in einer 1835 erschienenen Publikation ausdrücklich hervorhob.[3][4]

Die Coriolis-Beschleunigung ist die Änderung der Bewegungsgeschwindigkeit durch die Corioliskraft. Da sie proportional zur Corioliskraft ist, steht sie ebenfalls immer senkrecht zur Geschwindigkeit. Aus diesem Grund ändert die Coriolisbeschleunigung nur die Richtung, aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit. In der Technischen Mechanik wird als Coriolisbeschleunigung davon abweichend diejenige Beschleunigung bezeichnet, die das seitliche Abweichen des bewegten Körpers verhindert. Sie ist das Negative der so definierten Coriolisbeschleunigung .[5]

Spürbar ist die Corioliskraft z. B., wenn man auf einer Drehscheibe auf einem Kinderspielplatz zu laufen beginnt. Deutlich erkennbar wird der Einfluss der Corioliskraft auch bei langfristigen großräumigen Phänomenen, wie z. B. in der Meteorologie bei der Drehrichtung der Windfelder um Hoch- und Tiefdruckgebiete und bei der Ausbildung erdumspannender Windsysteme wie der Passatwinde und des Jetstreams. In der physikalischen Ozeanographie beeinflusst die Corioliskraft maßgeblich die Meeresströmungen. Die verbreitete These, dass sie auch für die Drehrichtung des Strudels in der Badewanne und im Spülbecken verantwortlich sei, trifft hingegen nicht zu.[6][7][8] Wie stark der Einfluss der Corioliskraft auf die Strömung eines Mediums ist, wird durch deren Rossby-Zahl beschrieben.

ÜbersichtBearbeiten

Die Corioliskraft ist eine Scheinkraft in einem rotierenden Bezugssystem. Das bedeutet, auf den Körper wirken zwar keine Kräfte, er ändert in diesem Bezugssystem aufgrund dessen eigener Drehung dennoch seine Bewegungsrichtung. Entsprechend tritt die Corioliskraft nicht in Erscheinung, wenn die Bewegung aus Sicht eines nicht rotierenden Bezugssystems (z. B. eines Inertialsystems) beschrieben wird. Veranschaulicht werden kann dies mit einer Kugel, die über eine sich drehende Scheibe rollt. Für einen außenstehenden Betrachter rollt die Kugel in einer geraden Bahn über die Scheibe hinweg. Für einen Betrachter auf der Scheibe scheint die Kugel dagegen in einem Bogen über die Scheibe zu rollen. Für den Betrachter auf der Scheibe scheint die Kugel also durch eine Kraft aus ihrer geraden Bahn ausgelenkt zu werden – daher der Name Scheinkraft.

Diese Scheinkraft ist umso stärker, je schneller das Bezugssystem rotiert und je schneller die ausgeführte Bewegung ist. Darüber hinaus hängt die Stärke von der Orientierung der Bewegungsrichtung zur Drehachse ab: Bei einer Bewegung parallel zur Drehachse verschwindet sie, bei einer Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse ist sie am stärksten. Mathematisch ausgedrückt wird dies durch die Formel

 

wobei   die Corioliskraft bezeichnet[9] (der Pfeil auf der Größe sagt aus, dass es sich um eine vektorielle Größe handelt, sie also drei Komponenten in die verschiedenen Raumrichtungen hat),   die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems, deren Betrag angibt, wie schnell das System rotiert und deren Richtung die Drehachse ist und   die Geschwindigkeit der Bewegung im Bezugssystem. Das Symbol   ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren; die Richtung des resultierenden Vektors ist immer senkrecht zu den beiden Vektoren, aus denen es gebildet wird. Die Corioliskraft steht daher sowohl senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung als auch zur Drehachse des Systems.   ist die Masse des Körpers: Je schwerer der Körper ist, desto stärker ist auch die Corioliskraft.

Den Betrag der Corioliskraft, gewissermaßen ihre Stärke, berechnet sich durch

 

wobei   der Winkel zwischen Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektor ist. Diese Formel ist hilfreich, wenn die Richtung der Corioliskraft durch vorherige Überlegungen bereits bekannt ist. Beispielsweise liegt im Fall der Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Körper verlässt die Ebene nicht. Die Richtung der Corioliskraft ist in diesem Fall immer „nach rechts“ vom bewegten Körper aus gesehen.

Die Coriolisbeschleunigung lässt sich durch

 

aus dem zweiten Newtonschen Gesetz nach   berechnen.[10][11] In ihr tritt die Masse des Körpers nicht auf, das heißt, wie stark ein Körper abgelenkt wird, ist unabhängig von seiner Masse.

EinführungBearbeiten

Beobachtungen auf einer sich drehenden ScheibeBearbeiten

Fährt eine Person auf einer Drehscheibe (wie z. B. auf manchen Spielplätzen oder auf einem Karussell) einfach nur mit, so wirkt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft auf sie. Bewegt sich die Person aber auch noch relativ zu der Scheibe, so erfährt sie außerdem eine Kraft, die sie aus ihrer momentanen Bewegungsrichtung zur Seite ablenkt. Dies ist die Corioliskraft. Ohne einige Übung macht sie das einfache Geradeausgehen zunächst praktisch unmöglich, wenn das „Geradeausgehen“ in Bezug auf die rotierende Scheibe gemeint ist. Besonders deutlich bemerkt man diese Kraft, wenn man von der Drehachse weg oder zu ihr hin gehen will. In diesem Fall steht die Corioliskraft senkrecht auf der Zentrifugalkraft und ist leicht von ihr zu unterscheiden. Aber auch, wenn man sich auf der Scheibe in beliebiger anderer Richtung bewegt, zieht die Corioliskraft mit gleicher Stärke zur Seite. In diesem Fall hat sie eine Komponente in Richtung der Zentrifugalkraft und ist von dieser nicht mehr so einfach zu unterscheiden. Dreht sich die Scheibe von oben gesehen linksherum, zieht die Corioliskraft seitlich nach rechts, immer bezogen auf die augenblickliche Richtung der Bewegung relativ zur Scheibe. Die folgenden Überlegungen, die dieses Phänomen anhand endlicher Intervalle in Zeit und Raum näherungsweise verständlich machen, ergeben im Grenzfall infinitesimal kleiner Intervalle eine exakte Begründung der Corioliskraft.[12][13][14]

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Achse wegBearbeiten

 
Ablenkung durch die Corioliskraft bei radialer Bewegung

Wenn dem mit der Scheibe rotierenden Körper (roter Kreis in der nebenstehenden Abbildung) zusätzlich eine Radialgeschwindigkeit   erteilt wird, wächst sein Abstand zur Achse in der Zeit   um  . Im Bezugsystem der Scheibe würde er bei geradliniger Bewegung (also ohne Corioliskraft) am Ende des durchgezogenen roten Pfeils an der Position 1 ankommen. Im erdfesten Bezugssystem bewegt sich der Körper entlang des Pfeils, der die Vektorsumme der Radialbewegung und der Tangentialbewegung um die Strecken   (roter Pfeil) bzw.   (blauer durchgezogener Pfeil) darstellt, zum blauroten Punkt mit der Markierung 2. Jedoch dreht sich in dieser Zeit die Scheibe um den Winkel  , und dabei hat der auf der Scheibe erwartete Endpunkt (Markierung 1) eine größere Strecke zurückgelegt, nämlich insgesamt   bis zum roten Punkt mit der Markierung 3. Demnach ist der Körper in tangentialer Richtung von der geradlinigen radialen Bahn auf der Scheibe nach rechts abgewichen. Die mit   bezeichnete Abweichung ergibt sich aus der Skizze zu  . Wegen

 

wächst   quadratisch mit der Zeit  , entspricht also einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Coriolisbeschleunigung

 .

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herumBearbeiten

 
Kreisbewegung, Zentripetalbeschleunigung geometrisch hergeleitet

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass ganz allgemein zur Beibehaltung einer Kreisbewegung (rot) mit der Geschwindigkeit   eine Beschleunigung   quer zur geradlinigen Trägheitsbewegung erfolgen muss, in der Fachliteratur als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet. Während des Zeitintervalls   muss sie eine radiale Bewegung um die Strecke   bewirken (grün). Diese ergibt sich aus dem gezeigten rechtwinkligen Dreieck, wenn man zum Grenzfall infinitesimaler Intervalle übergeht, zu

 .

Die quadratische Abhängigkeit von der Zeitspanne zeigt, dass eine konstante Beschleunigung

 

vorliegt.

Dies Ergebnis kann man auf drei verschiedene Weisen auswerten, je nach der Bedeutung, die man den Größen   und   gibt. Im ersten Fall sei   die Bahngeschwindigkeit eines mitfahrenden Körpers ohne Bewegung relativ zur Scheibe:  . Dann ist   die Drehgeschwindigkeit der Scheibe, und es ergibt sich  . Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und die durch eine Kraft bewirkt wird, die die im rotierenden Bezugssystem herrschende Zentrifugalkraft neutralisiert (denn in diesem ersten Fall ruht der Körper relativ zur Scheibe). Im zweiten Fall sei   die Geschwindigkeit, mit der der Körper relativ zu der Drehscheibe auf einem Kreis um die Achse läuft, so dass sich im rotierenden Bezugssystem eine Kreisbewegung mit Bahngeschwindigkeit   zeigt. Dann ergibt sich aus der obigen Formel  , das ist im Bezugssystem der Scheibe die zu dieser Kreisbewegung gehörige Zentripetalbeschleunigung. Im dritten Fall wählt man  , das ist die Geschwindigkeit, die der Körper aus dem zweiten Fall im ruhenden Bezugssystem hat. Dann ergibt sich nach obiger Gleichung:

 

Umformung gemäß   und   ergibt für die wirkende Radialbeschleunigung:

 

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Gleich groß, nur umgekehrt gerichtet, ist die Beschleunigung, die ein ansonsten kräftefreier Körper im Bezugssystem der Drehscheibe erfährt, wenn er sich darin tangential bewegt. Die Formel zeigt, dass diese radial gerichtete Beschleunigung nicht einfach die Summe aus den beiden Zentrifugalbeschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat, nämlich die Coriolisbeschleunigung.

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur DrehachseBearbeiten

Eine Bewegung parallel zur Rotationsachse, also senkrecht zur Drehscheibe, ruft keine Corioliskraft hervor. Beim senkrechten Hochhüpfen oder beim Hochschießen eines Gegenstandes parallel zur Drehachse ist jedoch zu beachten, dass er dann im Allgemeinen den mechanischen Kontakt zur Drehscheibe verliert, sodass diese keine Zentripetalkraft mehr auf ihn ausüben kann. Der Körper wird dann im Bezugssystem der Scheibe durch die horizontal wirkende Zentrifugalkraft beschleunigt und beginnt sich nach außen zu bewegen. Dadurch erhält er eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Drehachse und somit auch eine Corioliskraft. Der Körper wird dann (in Bezug auf die Drehscheibe) durch die vektorielle Summe aus Zentrifugalkraft und Corioliskraft weiter beschleunigt. Wenn der Körper wieder landet, z. B., weil eine Gravitationskraft (parallel zur Rotationsachse) ihn wieder herunter zieht, kommt er nicht mehr am Ausgangspunkt an.

Kinematische HerleitungBearbeiten

Newtonsche MechanikBearbeiten

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem  , das sich in einem Inertialsystem   befindet. Der Ursprung des Systems   sei frei im System   bewegbar, beschrieben durch die Vektoren für Position  , Geschwindigkeit   und Beschleunigung  . Eine zusätzliche Rotation ist durch die Winkelgeschwindigkeit   bzw. die Winkelbeschleunigung   gegeben. In diesem System   betrachten wir einen Punkt   mit Position  , Geschwindigkeit   und Beschleunigung  .

Da sich   bezüglich   bewegt, ändern sich die Basisvektoren von   betrachtet aus   mit der Zeit. Es lässt sich zeigen, dass für die zeitliche Ableitung eines Vektors   aus   gilt

 

wobei   die Ableitung in System   beschreibt.

Für den Vektor   vom Ursprung des Inertialsystems zum Punkt   gilt

 

Die Geschwindigkeit entspricht der zeitlichen Ableitung des Ortes

 

Für die Beschleunigung folgt analog

 

Diese Gleichung stellt man nun nach der im rotierenden System   erfahrenen Beschleunigung   um.

 

In dieser Formel finden sich alle Trägheitsbeschleunigungen im beschleunigten Bezugssystem wieder. Der letzte Term ist hierbei die Coriolisbeschleunigung  .

 

Aufgrund des zweiten Newtonschen Gesetzes, nach dem eine Beschleunigung durch eine zur Masse proportionale Kraft bewirkt wird, erhält man die Corioliskraft  :

 

Lagrange-FormalismusBearbeiten

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion   die Differenz aus kinetischer Energie   und potentieller Energie  . Unter Vernachlässigung eines Potentials ist im rotierenden System  :

 

Dann gilt nach den Euler-Lagrange-Gleichungen

 

Umgestellt und zusammengefasst ist

 

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential   bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten, also der Trägheitskräfte.[15] Wie in der Herleitung innerhalb der Newtonschen Mechanik ist der letzte Term die Corioliskraft,  .

Corioliskraft aufgrund der ErdrotationBearbeiten

Auf ein sich auf der Erde bewegendes Objekt wirkt die Corioliskraft, die auf die Erdrotation zurückgeht. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die vertikalen Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die horizontalen Bewegungen genau nach Norden oder nach Süden. Experimente zum Beleg, dass die Erdrotation einen Einfluss auf die Bewegung von Körpern haben könnte, wurde erstmals von Isaac Newton vorgeschlagen.[16]

Vertikale BewegungenBearbeiten

Außer an den Polen haben vertikale Bewegungen auf der Erdoberfläche einen senkrecht zur Erdachse gerichteten Anteil. Dieser erzeugt eine Corioliskraft, die bei einer Abwärtsbewegung nach Osten, bei einer Aufwärtsbewegung nach Westen gerichtet ist.

Lässt man einen Gegenstand fallen, wird er aufgrund der Corioliskraft nach Osten abgelenkt. Frühe Messungen dieses Effektes stammen von Giovanni Battista Guglielmini (1791 in Bologna), Johann Friedrich Benzenberg (1802 in Hamburg) und Ferdinand Reich (1832 in Freiberg), siehe Fallexperimente zum Nachweis der Erdrotation.

Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand. Durch die Corioliskraft wird die Kugel während der Aufwärtsbewegung nach Westen und während der Abwärtsbewegung nach Osten beschleunigt. Dadurch entsteht beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente, die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht, und beim Abstieg wegen der ostwärts gerichteten Corioliskraft gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null. So hat während des gesamten Fluges die Geschwindigkeit eine nach Westen gerichtete Komponente. Im Ergebnis wird die Kugel daher nach Westen abgelenkt. Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westablenkung 65 cm.

 
Corioliskraft und Druckgradienten am Beispiel eines Tiefdruckgebietes auf der Nordhalbkugel.
Rot – horizontale Komponente der Corioliskraft
Blau – Druckgradientkraft

Horizontale BewegungenBearbeiten

Bei einer horizontalen Bewegung auf der Erdoberfläche hat die Corioliskraft im Allgemeinen eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente. Die Horizontalkomponente zieht einen horizontal bewegten Körper auf der Nordhalbkugel aus der Bewegungsrichtung nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links, und verschwindet am Äquator. Sie wirkt umso stärker, je schneller der Körper sich bewegt, und je näher er dem Nord- oder Südpol ist. Ihre Stärke ist aber unabhängig von der Richtung, in der der Körper sich horizontal bewegt. Daher werden geradlinige Bewegungen auf der Erdoberfläche zu Kreisen, und die Drehung des Foucaultschen Pendels erfolgt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Die horizontale Corioliskraft hat wesentlichen Einfluss auf die Formen der großräumigen Bewegungen in der Atmosphäre und im Ozean. Theoretisch berücksichtigt wurde dies erstmals in der von Laplace (1778) aufgestellten Gezeitentheorie. Des Weiteren modifiziert die Corioliskraft den Wind und seinen Einfluss auf die Meeresströmungen, wie um 1905 von Vagn Walfrid Ekman erklärt wurde (siehe Ekman-Transport und Korkenzieherströmung). Allgemein wird der Einfluss der Corioliskraft auf bestimmte Bewegungen etwa im Meer und in der Atmosphäre durch die dimensionslose Rossby-Zahl charakterisiert. Je kleiner diese ist, umso stärker ist die Bewegung durch Corioliskraft geprägt.

Die Vertikalkomponente der Corioliskraft ist neben der Schwerkraft, die parallel zu ihr wirkt, meist vernachlässigbar schwach und spielt in der Praxis nur als Korrekturglied bei Präzisionsmessungen des Erdschwerefeldes eine Rolle. Sie verschwindet an den Polen und ist maximal am Äquator. Sie macht z. B. ein Flugzeug, das dort mit Schallgeschwindigkeit nach Osten fliegt, um annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter – fliegt es nach Westen, wird es entsprechend schwerer. In der Geophysik, z. B. in Bezug zu rein horizontalen Ozean- oder Luftströmungen, bezeichnet man daher meist die horizontale Komponente der vollen Corioliskraft allein schon als „die Corioliskraft“. Für sie gilt, wie für das oben erläuterte Beispiel der horizontalen Drehscheibe, dass die Corioliskraft stets quer zur Bewegungsrichtung wirkt und dass ihre Stärke nicht von der Bewegungsrichtung abhängt.

Einfluss der Corioliskraft auf das WetterBearbeiten

 
Auswirkung der Corioliskraft auf ein großskaliges Windsystem, hier Tiefdruckgebiet bei Island (Nordhalbkugel)

Die Corioliskraft ist dafür verantwortlich, dass großräumig betrachtet die Luftmassen von Hochdruckgebieten nicht einfach zu Tiefdruckgebieten strömen, wie es das Druckgefälle nahelegt, sondern Spiralbahnen beschreiben. Allgemein dreht sich die Luft auf der Nordhalbkugel um Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn, um Tiefdruckgebiete gegen den Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel ist dies genau umgekehrt. Diese Wirbel entstehen dadurch, dass die vom Druckgefälle vom Hochdruckgebiet zum Tiefdruckgebiet hin beschleunigte Luft durch die Corioliskraft abgelenkt wird, auf der Nordhalbkugel nach rechts. Die Luft verlässt das Hochdruckgebiet daher in Form eines rechts drehenden Wirbels, also im Uhrzeigersinn. Um das Tiefdruckgebiet entsteht aus dem gleichen Grund ein linksdrehender Wirbel. Die dort hineinströmende Luft wird nach rechts abgelenkt und kann sich dem Zentrum nur in dem Maß nähern, in dem das Druckgefälle eine Linkskurve verursacht. Das sich ergebende Strömungsbild lässt sich durch das geostrophische Gleichgewicht zwischen dem horizontalen Druckgefälle und der Corioliskraft erklären: In einem Wirbel, der sich um ein Tiefdruckgebiet gegen den Uhrzeigersinn dreht, wirkt die Corioliskraft nach außen und kompensiert die nach innen gerichtete Kraft, die vom Druckgefälle verursacht ist. Das geostrophische Gleichgewicht formt nur die großskaligen Wettermuster. Auf die Drehrichtung im kleinräumigen Bereich, beispielsweise von Tornados hat die Corioliskraft keinen direkten Einfluss. Weiterhin spielt die Corioliskraft auch bei der Bildung der Rossbywellen und der verschiedenen äquatorialen Wellen eine wichtige Rolle.

Corioliskraft und EisenbahnBearbeiten

Im Schienenverkehr führt die Corioliskraft dazu, dass bei gerader Strecke die in Fahrtrichtung rechts liegende Schiene auf der Nordhalbkugel geringfügig stärker belastet wird als die linke. Der Effekt ist jedoch so klein, dass er gegenüber geringfügigen Krümmungen und Höhenunterschieden beider Schienen, die ebenfalls eine ungleichmäßige Belastung zur Folge haben, keine technische Relevanz hat.

Ein Zug (z. B. ein ICE 3 mit 400 t Masse), der bei einer geografischen Breite von 51 Grad (Köln) mit einer Geschwindigkeit von 250 km/h fährt, erfährt eine Corioliskraft von 3.200 N nach rechts. Dies ist weniger als ein Promille der Gewichtskraft. Hat der Zug acht Wagen mit je vier Achsen, wird jedes rechte Rad mit einer Corioliskraft von ca. 100 N nach rechts gegen die Schiene gedrückt. Im Vergleich dazu ergibt sich bei dieser Geschwindigkeit und bei einem Kurvenradius von 3.000 m die zur Kurvenfahrt erforderliche Zentripetalkraft auf jedes Rad zu 20.000 N, also 200-mal so viel wie die Corioliskraft.

TrägheitskreiseBearbeiten

Da die horizontale Corioliskraft von der Himmelsrichtung einer horizontalen Bewegung unabhängig ist, beschreibt eine Luft- oder Wassermasse, in einem mitrotierenden Bezugssystem mit der horizontalen Geschwindigkeit   bewegt, ohne Einfluss anderer Kräfte „Trägheitskreise“ mit Radien von   In mittleren Breiten mit Werten des Coriolisparameters (siehe unten) von   und einer typischen Meeres-Strömungsgeschwindigkeit von   ergibt sich ein Radius von   Die Bewegung erfolgt auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Periode der Umlaufbewegung ist   z. B. bei 60 Grad geographischer Breite rund 15 Stunden. Sie wurden z. B. bei frei schwimmenden Bojen in der Ostsee beobachtet, die zunächst einer durch starke Winde angefachten Oberflächenströmung folgten, nach dem Abflauen des Windes aber Kreisbahnen bzw. Zykloiden (da eine Strömung der Kreisbewegung überlagert war) beschrieben.[17][4] Für den Verlauf von Meeres- und Luftströmungen spielt die Corioliskraft eine wichtige Rolle, neben anderen Kräften, die sich mit ihr ins Gleichgewicht setzen oder sie sogar dominieren (Geostrophie).

Corioliskraft und Foucaultsches PendelBearbeiten

Die Corioliskraft bewirkt auf der Nordhalbkugel die Drehung des Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels im Uhrzeigersinn, da das Pendel durch die Corioliskraft ständig nach rechts gezogen wird. Am Pol dreht sich die Schwingungsebene pro Tag einmal um 360 Grad und nimmt mit dem Sinus der geografischen Breite zum Äquator hin auf Null ab. Auf der Südhalbkugel ändert sich das Vorzeichen des Sinus und das Pendel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.

Erosion von FlussufernBearbeiten

Die Corioliskraft führt auch dazu, dass auf der Nordhalbkugel diejenigen Flussufer, die in Fließrichtung rechts liegen, im Mittel stärker erodiert werden als die linken. Dieses Phänomen wurde erstmals im Jahre 1763 von Michail Wassiljewitsch Lomonossow beschrieben. Erste Erklärungen stammten von Pjotr Andrejewitsch Slowzow (1827) und Karl Ernst von Baer (1856).[18] Obwohl diese Forscher glaubten, der Effekt trete nur bei Flüssen auf, die von Süden nach Norden fließen, wird der Effekt bis heute als Baersches Gesetz bezeichnet. Dass der Effekt tatsächlich von der Fließrichtung unabhängig ist, formulierte 1859 erstmals Jacques Babinet und später Albert Einstein (1926).[19][20][21][22][23]

Corioliskraft in der TechnikBearbeiten

 
Bei einer rotierten Stimmgabel bewegen sich die Zinken zusätzlich zur normalen Bewegung seitlich aneinander vorbei. Diese Bewegung beruht auf der Corioliskraft.

Corioliskräfte sind in der Technik dann von Bedeutung, wenn eine Drehbewegung von einer zweiten Bewegung „überlagert“ wird. Dies ist beispielsweise bei einem Roboter der Fall, der sich dreht und gleichzeitig seinen Greifarm ausfährt.

  • Wenn eine Last am Ausleger eines Krans nach innen oder außen fährt, während der Kran sich dreht, hängt sie aufgrund der Corioliskraft nicht senkrecht nach unten, sondern wird seitlich ausgelenkt. Wird die Last längs des Auslegers nach innen eingefahren, eilt sie der Drehung des Krans voraus.
  • In der Getriebetechnik (Koppelgetriebe) und in der Robotik spielen die Corioliskräfte eine Rolle, da auch hier gleichzeitige Bewegungen entlang mehrerer Freiheitsgrade erfolgen. Benutzt man zur Vereinfachung der Beschreibung rotierende Bezugssysteme, treten für Bewegungen in diesen Bezugssystemen Corioliskräfte auf.
  • Zur Messung des Massenstromes durchströmender Flüssigkeiten oder Gase verwendet man den Coriolis-Massendurchflussmesser. Das Messrohr wird in Schwingungen versetzt. Diese werden im Ein- und Auslauf gemessen und verglichen. Bei der Corioliswaage wird vor allem Schüttgut durch die Messung der Änderung des benötigten Drehmoments eines Rotortellers vermessen.
  • Bei Kreiselpumpen wird das Medium vom meist axial gelegenen Ansaugkanal durch das Pumpenrad in Rotation versetzt und durch die Zentrifugalkraft nach außen zum Ausgang geschleudert. Dabei übt das Medium Corioliskräfte auf das Pumpenrad aus, wodurch sich ein Bremsmoment für den Antrieb ergibt. Die effektiv aufgewendete Energie der Pumpe ist also etwa proportional zum radial verlaufenden Massenstrom, dem Radius des Pumpenrades und der Drehzahl (Verwirbelungen, Rückströmungen und Reibung außer Acht gelassen).
  • Einige Drehratensensoren zur Messung von Drehgeschwindigkeiten nutzen die Corioliskraft in Form des sogenannten „Stimmgabelprinzips“,[24] das im nebenstehenden Bild erläutert wird. Aufgrund der Drehbewegung bewegen sich die Zinken der Stimmgabel nicht nur aufeinander zu, sondern sie führen zusätzlich seitliche Bewegungen zueinander aus, die durch die Corioliskraft verursacht werden. Die seitliche Auslenkung ist näherungsweise proportional zur Drehgeschwindigkeit und kann beispielsweise durch eine kapazitive oder induktive Messung erfasst werden.[25]

Berechnung und SpezialfälleBearbeiten

 
Rotationsebene, Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit

Die Coriolisbeschleunigung   wirkt auf einen Körper, der sich in einem rotierenden Bezugssystem bewegt. Dafür gilt allgemein die Formel  . In den typischen Koordinatendarstellungen bei rotierenden Systemen stellen sich die Formeln so dar:

Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten geografische Koordinaten
     

Dabei ist

  •   der Betrag der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und
  •   der Geschwindigkeitsvektor der Bewegung des Körpers, relativ zum rotierenden Bezugssystem, und dabei bezeichnen
    • bei den Zylinderkoordinaten der Index   die Komponente parallel zur Rotationsachse   und die Indizes   und   die radiale und tangentiale Komponenten senkrecht zur Rotationsachse,
    • bei den Kugelkoordinaten der Index   den Abstand zum Ursprung und die Indizes   und   den Azimut- und Polarwinkel,
    • bei den geografischen Koordinaten der Index   den Abstand zur Kugeloberfläche und die Indizes   und   die geografische Breite und Länge.

Wenn die Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse stattfindet, liegt die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Drehachse bleibt konstant bei 90°. Anstatt einer Berechnung des Kreuzprodukts der Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren kann zur Bestimmung der Stärke der Corioliskraft mit deren Beträgen gerechnet werden und es gilt:

 

Überlagerung mit der Zentrifugalkraft bei tangentialer BewegungBearbeiten

Im Gegensatz zur Corioliskraft, die senkrecht auf der Rotationsachse und der momentanen Richtung der Geschwindigkeit steht und daher sowohl eine azimutale als auch radiale Komponente haben kann, ist die Zentrifugalkraft rein radial ausgerichtet. Die Aufteilung der radialen Komponente der insgesamt wirkenden Trägheitskräfte auf Zentrifugal- und Corioliskraft ist jedoch willkürlich und hängt von der Beschreibung der Bezugssysteme ab.[26] Dies lässt sich anschaulich zeigen, wenn eine azimutale Bewegung auf einer Scheibe betrachtet wird, da in diesem Fall die Corioliskraft ebenfalls nur eine Radialkomponente hat.

Bewegt sich der Körper in konstantem Abstand   zur Rotationsachse einer Scheibe, die aus einem Inertialsystem   heraus betrachtet mit einer Winkelgeschwindigkeit   rotiert, mit der Relativgeschwindigkeit  , dann rotiert dieser Körper im Inertialsystem insgesamt mit einer Geschwindigkeit  . Um ihn auf der Kreisbahn zu halten, ist also eine nach innen gerichtete Zentripetalkraft

 

notwendig. Diese Zentripetalkraft ist im Inertialsystem die einzige zu berücksichtigende Kraft, da in diesem keine Trägheitskräfte auftreten, und daher gleich der Gesamtkraft  .

In den beiden rotierenden Systemen Scheibe   und Körper   werden die Trägheitskräfte unterschiedlich gebildet. Im Körper-System ist dieser ortsfest, also  , und rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit   in Bezug zum Inertialsystem. Im Scheiben-System führt der Körper eine Kreisbahn mit Relativgeschwindigkeit   zur Scheibe aus, während die Scheibe relativ zum Inertialsystem mit Winkelgeschwindigkeit   rotiert.

Für das System des Körpers auf der Scheibe   ergibt sich also allein eine Zentrifugalkraft:

 

Die ersten beiden Term treten ebenfalls als Terme im System Scheibe   separat als Zentrifugal- und Corioliskraft auf:

 

Addiert man zu diesen Trägheitskräften die Zentripetalkraft des Inertialsystems, die als „echte“ Kraft in allen Bezugssystemen denselben Wert annimmt, dann ist die resultierende Gesamtkraft im Körper-System  , der Körper bleibt also wie zu erwarten an seinem Ort. Im Scheiben-System beträgt sie  , entspricht also der Zentripetalkraft, die benötigt wird, damit der Körper mit Relativgeschwindigkeit   rotiert.

Im Extremfall bewegt sich der Körper mit einer Geschwindigkeit, die gleich der Rotationsgeschwindigkeit ist, in die Gegenrichtung. Dann steht der Körper sowohl im Körper-System als auch im Inertialsystem still, es sind   nebst  , aber im Scheiben-System gilt:

 

und der Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Geschwindigkeitsbetrag   (aus dieser Betrachtung ist nur der Betrag ablesbar, da   quadratisch in die Zentripetalkraft eingeht und deshalb die Information über das Vorzeichen verloren geht).

Bewegung auf der Oberfläche einer Kugel und CoriolisparameterBearbeiten

 
Kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der geographischen Breite   eines rotierenden Himmelskörpers (f-Fläche) von Westen aus gesehen
 
Corioliskraft bei Bewegungen horizontal zur Erdoberfläche (Vorzeichen beachten)
 
Der Coriolisparameter in Abhängigkeit vom Breitengrad

Bei horizontalen Bewegungen - also solchen, die auf die Oberfläche einer Kugel eingeschränkt sind - fällt in geografischen Koordinaten   und die vertikale Komponente der Coriolisbeschleunigung   weg. Mit dem Coriolisparameter   ergibt sich dann der Betrag der horizontalen Komponente der Coriolisbeschleunigung   als   und die Richtung so, dass   ein Rechtssystem bildet. Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4,09 Sekunden = 1 Sternentag = 86164,09 s) erfolgt mit einer Winkelgeschwindigkeit von   Damit nimmt der Coriolisparameter in mittleren Breiten eine typische Größenordnung von   an.

Vertikale Bewegung – Das Gedankenexperiment von MersenneBearbeiten

Bei reinen Aufwärtsbewegungen wirkt die Corioliskraft nach Westen, beim senkrechten freien Fall wirkt sie nach Osten. Ihr Betrag ist

 

Ein über die Länge   frei fallender Körper erfährt aufgrund der Corioliskraft eine Ostablenkung von

 

Eine mit der Anfangsgeschwindigkeit   senkrecht nach oben geschossene Kugel wird zunächst nach Westen abgelenkt um den Betrag

 

Hat sie die Steighöhe   erreicht, so besitzt sie eine Westgeschwindigkeit von   Beim Herunterfallen der Kugel muss man deshalb zusätzlich zur obigen Formel noch den Beitrag   zur Ostablenkung berücksichtigen:

 

Der gesamte Versatz ergibt sich aus der Differenz der beiden Ausdrücke nach Vereinfachungen zufolge der Gesetze für die Steig- und Fallzeiten zu einer effektiven Abweichung nach Westen um

 

g ist dabei jeweils die Erdbeschleunigung.

Am Äquator ist der Versatz am größten ( ). Wegen   ergibt sich kein Unterschied zwischen Nord- und Südhalbkugel.

Verwandte BegriffeBearbeiten

Als Corioliseffekt wird jede Erscheinung bezeichnet, die durch die Corioliskraft entsteht.

Experimenteller ZugangBearbeiten

Am Teufelsrad, das als Fahrgeschäft um 1910 aufkam und nur mehr an wenigen Orten betrieben wird, kann an der eigenen Körperbewegung die Corioliskraft erfahren werden. Ebenso am Drehhocker, wenn durch Heranziehen der Arme der Pirouetteneffekt ausgelöst wird. Hierbei wirkt die mit der Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit verbundene Trägheitskraft allerdings der Corioliskraft entgegen und hebt sie im Extremfall eines kreisenden Massenpunktes sogar ganz auf.

Historische AufsätzeBearbeiten

  • J. F. Benzenberg: Versuche über das Gesetz des Falles, den Widerstand der Luft und die Umdrehung der Erde. Dortmund 1804, 2. Auflage, Hamburg 1824.
  • F. Reich: Fallversuche über die Umdrehung der Erde: angestellt in dem Brüderschachte bei Freiberge. Freiberg 1832.
  • G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: J. Ec. Polytech. Nr. 15, 1835, S. 142–154 (online [PDF]).
  • Adrian Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics (International Geophysics). Academic Pr Inc, 1982, ISBN 0-12-283522-0.
  • P. S. Laplace: Recherches sur plusieurs points du système du monde. In: Mém. Acad. Roy. d. Sci. Band 88, 1775, S. 75–182 (online).
    Zu dieser Quelle sollte man die Fußnote 12 in „The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics“[27] beachten.
  • K. E. von Baer: Über ein allgemeines Gesetz in der Gestaltung der Flußbetten. In: Kaspische Studien. Nr. VIII, 1860, S. 1–6.

LiteraturBearbeiten

  • Henry M. Stommel, Dennis W. Moore: An introduction to the Coriolis force. Columbia Univ. Pr., New York 1989, ISBN 0-231-06637-6.
  • Halliday-Resnick-Walker: Halliday Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2009, S. 154 ff.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Corioliskraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Corioliskraft – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Corioliskraft, die. Duden online, abgerufen am 30. November 2013. Anstelle der Betonung auf dem zweiten i wird oft auch das erste i oder das zweite o betont.
  2. P. S. Laplace: Recherches sur plusieuers points du Système du Monde. In: Mém. Acad. roy.des Sciences. 88, 1775, S. 75–182. Zitiert in David Edgar Cartwright: Tides: A Scientific History. Cambridge 1999, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche. In einer früheren Arbeit von Leonhard Euler aus dem Jahr 1750 fehlte in der Formel noch der Faktor 2, siehe
    Giulio Maltese: On the relativity of motion in Leonhard Euler’s science. In: Archive for history of exact sciences. Band 54 (Januar 2000), S. 319–348, hier S. 343.
  3. G. G. Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. 15, 1835, S. 142–154. In dieser Veröffentlichung wird die Vorarbeit von Laplace (1775) nicht erwähnt.
  4. a b Anders Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24 (englisch, meteohistory.org [PDF; 673 kB; abgerufen am 22. Juni 2016] siehe S. 2, Fig. 1). The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885 (Memento vom 11. April 2014 im Internet Archive)
  5. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6.
  6. Christoph Drösser: Stimmt’s? Seltsamer Strudel. Auf: zeit.de. 3. März 2010, abgerufen am 14. Dezember 2014.
  7. Jearl Walker: Der fliegende Zirkus der Physik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007, ISBN 978-3-486-58067-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  8. Norbert Lossau: Fünf Minuten Physik: Badewannen und Tiefdruckgebiete. In: Die Welt. 6. Juni 2007.
  9. Thorsten Fließbach: Mechanik. 4. Auflage. Heidelberg • Berlin 2003, ISBN 3-8274-1433-4, S. 43.
  10. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-25465-9, S. 83.
  11. Brigitte Klose: Meteorologie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, S. 207.
  12. Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, Heidelberg 2017, S. 43 ff.
  13. Richard Feynman u. a.: Vorlesungen über Physik. Bd. 1, Seite 19–2, die letzten beiden Sätze des Kapitels.
  14. Jürgen Dankert und Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 6. Auflage, 2011, S. 497.
  15. Lew Landau und Jewgini Lifschitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth Heinemann, 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S. 126–129 (englisch).
  16. Anders O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflicht between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 4.
  17. Anders Persson: The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics. (PDF) The Swedish Meteorological and Hydrological Institute, Norrköping, Sweden, archiviert vom Original am 28. November 2007; abgerufen am 22. Juni 2016 (englisch, siehe S. 3, Fig. 1).
  18. L. S. Berg: P. A. Slowzow und das Baersche Gesetz. In: Geschichte der russischen geographischen Entdeckungen. Gesammelte Aufsätze. VEB. Bibliographisches Institut, Leipzig. 1954.
  19. Albert Einstein: Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes. In: Die Naturwissenschaften. Band 14, Nr. 11, 1926, S. 223–224 (Der handschriftliche Entwurf dieser Veröffentlichung von Einstein).
  20. Peeter Müürsepp: Über die Bildung der Flußbetten. Das Baer-Babinetsche Gesetz. Wissenschaftshistorische Abhandlung.
  21. Ernst Peter Fischer: Ein Genie und sein überfordertes Publikum. „Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes“ (Einstein, 1926). 1996, S. 140.
  22. Karl-Heinz Bernhardt: Teetassen-Zyklonen und Flußmäander – Einstein klassisch. (PDF), 2005, S. 81–95.
  23. Florian Freistetter: ScienceBlogs Albert Einstein, die Zahl Pi und die Mäanderbildung bei Flüssen. 2011.
  24. MEMS-Sensoren im Überblick, Automobil-Elektronik. (Memento vom 23. Mai 2013 im Internet Archive). (PDF; 2,8 MB), April 2007.
  25. Detlef Billep: Modellierung und Simulation eines mikromechanischen Drehratensensors. (PDF; 4,6 MB), Dissertation.
  26. Richard Feynman: The Feynman Lectures on Physics. 3. Auflage. Band 1. Basic Books, 2010, ISBN 978-0-465-02414-8, S. 19-15–19-16 (englisch).
  27. A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1 (meteohistory.org [PDF]). meteohistory.org (Memento vom 11. April 2014 im Internet Archive)
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