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Foucaultsches Pendel

Messinstrument mit dem sich die Drehung der Erde nachweisen lässt
Pendel am Nordpol der drehenden Erde[1]
Veranschaulichung der Pendelbahn
Das Foucaultsche Pendel im Panthéon, Paris

Ein Foucaultsches Pendel ist ein langes, sphärisches Pendel mit einer großen Pendelmasse, mit dessen Hilfe ohne Bezug auf Beobachtungen am Himmel die Erdrotation anschaulich nachgewiesen werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Versuche und BeschreibungBearbeiten

Am 3. Januar 1851 führte der französische Physiker Léon Foucault im Keller seines Hauses einen Versuch durch, bei dem er ein zwei Meter langes Pendel dicht über dem Boden schwingen ließ und seine Bahn genau markierte. Er beobachtete, dass sich die Schwingungsebene des Pendels langsam drehte. Die Schwerkraft, die nur senkrecht wirkt, konnte diese Drehung nicht verursachen, und keine weitere äußere Kraft wirkte auf das Pendel ein. Also war es nicht das Pendel, sondern der Boden (die Erde), der seine Richtung änderte. Genau genommen beschreibt das Pendel eine enge Rosettenbahn (siehe nebenstehende Abbildung), womit sich die Schwingungsebene des Pendels gegenüber dem Boden langsam dreht.

Am 3. Februar 1851 führte Foucault den Versuch in der Pariser Sternwarte mit einem   langen Pendel durch. Am 26. März 1851 führte er ihn im Panthéon mit einem   langen Pendel und einem   schweren Pendelkörper der Öffentlichkeit vor. Am unteren Ende des Pendelkörpers befand sich eine Spitze, die mit jeder Schwingung eine Spur in einem Sandbett auf dem Fußboden markierte. Dies war ein laientauglicher und aufsehenerregender Nachweis der Erdrotation. Ähnliche Beobachtungen machte bereits um 1661 der italienische Physiker Vincenzo Viviani, der sie aber noch nicht mit der Erdrotation in Verbindung brachte.

Die Experimente wurden von Caspar Garthe im Kölner Dom und Friedrich Magnus Schwerd im Dom zu Speyer wiederholt, allerdings mit quantitativ nicht zufriedenstellenden Ergebnissen. Heike Kamerlingh Onnes führte im Rahmen seiner Dissertation von 1879 genauere Messungen durch und wies auf die Fehlerquellen hin, die in Köln und Speyer gestört hatten.[2] Foucaultsche Pendel hängen noch heute in verschiedenen naturwissenschaftlichen Museen. Die Eisenkugel des Originalpendels wurde bis 1946 im Conservatoire National des Arts et Métiers aufbewahrt und dann dem Panthéon zurückgegeben.[3]

Die Aufhängung des Pendels kann elastisch, kardanisch oder steif erfolgen. Sie darf nur im Mittel über eine Schwingung kein Drehmoment auf das Pendel übertragen, um den Effekt nicht zu verdecken.

ErklärungBearbeiten

Die physikalische Erklärung lautet, dass die wesentliche Auswirkung der Rotation der Erde darin besteht, dass sich die Erde unter der Schwingungsebene des Pendels wegdreht, während die Schwingungsebene selbst unverändert bleibt. Am Nord- oder Südpol ist dies am leichtesten einzusehen, weil der Aufhängepunkt des Pendels dort trotz der Erddrehung in Ruhe bleibt. Daher würde die Erde sich in einem siderischen Tag genau einmal voll unter dem Pendel hinwegdrehen. (Die Differenz zum genau 24-stündigen Sonnentag resultiert daraus, dass die Sonne am Sternenhimmel weiterwandert.) Die am Pendel beobachtete Drehung erfolgt entgegen dem Sinn der Erdrotation, am Nordpol also rechtsherum (d. h. im Uhrzeigersinn), am Südpol linksherum. Am Äquator hingegen dreht sich die Schwingungsebene des Pendels gegenüber dem Erdboden überhaupt nicht. Je näher man den Polen kommt, desto stärker ist die Drehung.

Aus Sicht eines Beobachters, der die Erde als ruhend betrachtet, dreht sich die Pendelebene in der beschriebenen Weise. Das liegt in seinem Bezugssystem an einer zusätzlich zur Schwerkraft wirkenden Trägheitskraft. Dies ist die Corioliskraft, die in Bezug auf das erdfeste Bezugssystem stets quer zur Bewegungsrichtung des Pendelkörpers auf ihn einwirkt und ihn auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach links ablenkt. Infolgedessen dreht sich die Schwingungsebene um die Senkrechte durch den Aufhängepunkt.

Die Winkelgeschwindigkeit dieser Drehung ist konstant. Sie beträgt

 ,

wobei   die Winkelgeschwindigkeit der Erde und   die geographische Breite des Aufhängepunktes ist. In Deutschland dauert eine volle Umdrehung zwischen 29,3 Stunden (in Flensburg) und 32,2 Stunden (in München). Am Äquator ( ) dreht sich die Schwingungsebene gar nicht.

Herleitung der Drehbewegung der PendelebeneBearbeiten

 
Für die Berechnung verwendetes Koordinatensystem.
 
Bahnkurve eines Foucault’schen Pendels bei 1000-fach schnellerer Erdrotation
Details

Pendellänge: 50 m, Ort:   nördliche Breite, Erdrotation 1000-mal schneller als real. Beim realem Wert erschiene die Kurve als gefüllte Kreisfläche, weil sich die Schwingungslinien überdeckten.
Anfangsausschlag:  , Anfangsgeschwindigkeit  . Dieser Wert lässt das Pendel den Ursprung passieren.
 : Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
 : Normalkoordinate des Winkelgeschwindigkeitsvektors der Erdrotation am Pendelort
Zeitspanne der Darstellung: Viertelperiode der Schwingebenendrehung
Die Kurve bildet die Lösung der Differenzialgleichungen
  ab.
 : quadrierte Eigenkreisfrequenz des Pendels
 : Betrag der Erdbeschleunigung

Man betrachte ein mathematisches Pendel an einem Ort auf der Nordhalbkugel mit der geographischen Breite  . Ein erdfestes Koordinatensystem   ist so ausgerichtet, dass am Fußpunkt des Pendels   in Richtung Osten,   in Richtung Norden und   zum Zenit zeigt. Die Länge   dieses Pendels soll viel größer als seine Amplitude   sein, sodass in guter Näherung für den Pendelkörper   gilt. Damit bleibt der Pendelkörper in der x-y-Ebene und erfährt in harmonischer Näherung die rücktreibende Kraft

 .

Würde die x-y-Ebene ein Inertialsystem darstellen, dann würde das Pendel darin mit einer Frequenz von   (mit der Erdbeschleunigung  ) ebene harmonische Schwingungen ausführen (siehe den betreffenden Abschnitt in Sphärisches Pendel). Je nach Anfangsbedingung wäre dies eine lineare Schwingung durch den Fußpunkt oder eine Ellipse oder ein Kreis um den Fußpunkt herum, wobei die Bahnkurve sich auf der x-y-Ebene nicht verändert.

Das erdfeste xyz-Koordinatensystem ist aber kein Inertialsystem; die Erde rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit  . (Die Effekte aufgrund der Anziehung durch Mond und Sonne können völlig vernachlässigt werden.) Die Drehachse geht durch die Pole (  an beiden Polen), der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist  . Um die Bewegung im mitrotierenden xyz-Bezugssystem zu berechnen, muss man daher zu der linearen Rückstellkraft noch die Zentrifugalkraft

 

und die Corioliskraft

 

addieren. (  ist der Ortsvektor des Punktes (x, y, z), wenn der Ursprung im Erdmittelpunkt liegt,   ist seine Geschwindigkeit im erdfesten xyz-Bezugssystem).

Als einzige praktisch beobachtbare Änderung resultiert daraus, dass die Orientierung der Bahnkurve in der Schwingungsebene sich mit der Winkelgeschwindigkeit   um die vertikale z-Achse dreht. In einem Bezugssystem, das sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem erdfesten System dreht, behält das Pendel die Orientierung seiner Bahnkurve bei, d. h., es verhält sich wie in einem Inertialsystem. Daher kann man das erdfeste Koordinatensystem in guter Näherung als ein Bezugssystem behandeln, das mit der Winkelgeschwindigkeit   um seine vertikale Achse rotiert. Das ist für ein Pendel, dessen Fußpunkt der Nordpol ist, am leichtesten einzusehen. Dort dreht sich die Erde einfach (gegen den Uhrzeigersinn) unter dem Pendel weg, was ohne Einfluss auf die Pendelbewegung bleibt. (Am Südpol gilt das gleiche, hier allerdings mit Drehung im Uhrzeigersinn, denn man muss aufgrund der Nutzung der geographischen Breite als Variable für   auf der Südhalbkugel in allen Formeln   einsetzen.)

Um das verständlich zu machen, beachtet man, dass Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist und daher in Komponenten zerlegt werden kann (siehe Abbildung):

 

mit   und  .

Für die Corioliskraft, die linear in   ist, kann man die Wirkungen beider Komponenten getrennt betrachten. Die Corioliskraft aufgrund von   wirkt senkrecht zur z-Achse, also parallel zur Schwingungsebene. Sie verursacht gerade die beobachtete Drehung der Orientierung der Bahnkurve. Die Corioliskraft aufgrund von   hat nur vernachlässigbare Wirkung, denn sie steht vertikal zur x-y-Ebene, an die der Köper gebunden ist, und ist überdies von der Größenordnung her mindestens um einen Faktor   kleiner als die ebenfalls vertikale Schwerkraft. (Die Größenordnung ergibt sich aus der maximalen Geschwindigkeit   für die Verhältnisse bei existierenden Foucaultpendeln.)

Die Zentrifugalkraft hingegen hängt quadratisch von   ab. Eine genaue Berechnung ist daher außerordentlich verwickelt, aber praktisch auch nicht nötig. Die statische Wirkung der Zentrifugalkraft führt zu einer Abweichung der Erde von der Kugelform (Erdabplattung 21 km) und zu einer Änderung von Richtung und Stärke der durch die Gravitation bedingten Beschleunigung; diese Einflüsse sind in Gestalt der Messwerte für die Parameter   schon weitgehend berücksichtigt.[4] Ein weiterer Einfluss auf die Schwingungsdauer und auf die Bahnkurve des Pendels ist vernachlässigbar, denn wegen der quadratischen Abhängigkeit ist die Zentrifugalkraft im Vergleich zur rücktreibenden Kraft mindestens um den Faktor   schwächer. Nachdem dieses im 19. Jahrhundert einmal durch genaue Berechnung bestätigt wurde, wird die Zentrifugalkraft in diesem Zusammenhang durchweg vernachlässigt.[5] Zum Beispiel enthält die Zentrifugalkraft, die durch die Auslenkung des Pendels hervorgerufen wird, einen Anteil

 ,

was genau der Zentrifugalkraft entspricht, wenn man das erdfeste System konsequent als ein mit der Winkelgeschwindigkeit   rotierendes Bezugssystem auffasst. Diese Zentrifugalkraft ist immer proportional und antiparallel zur Rückstellkraft   und würde sie daher etwas schwächen. Ergebnis wäre eine Verringerung der Pendelfrequenz auf  , was aber relativ eine Änderung nur um den Betrag   bedeutet, die im Rahmen der getroffenen physikalischen Näherung unerheblich ist. Durch die genaue Berücksichtigung der Corioliskraft (s. u.) wird sie überdies exakt rückgängig gemacht.

Berechnung der BahngleichungenBearbeiten

Mit der oben begründeten Vernachlässigung der Zentrifugalkraft und der durch   verursachten Corioliskraft lautet die Bewegungsgleichung der Pendelmasse in der x-y-Ebene:

 .

Das sind zwei gekoppelte gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Sie werden zwecks einfacher Lösung zu einer einzigen Differentialgleichung der komplexen Variable

 

zusammengefasst:

 

Dies hat die Form einer harmonischen Schwingungsgleichung mit imaginärem Dämpfungsglied und lässt sich mit den von dort bekannten Methoden direkt lösen. Hier ist es jedoch instruktiv, aufgrund der oben dargestellten Überlegungen in das mit   rotierende Bezugssystem zu wechseln.[4] Das geschieht durch eine Variablentransformation

 ,

denn Real- und Imaginärteil von   bilden ein XY-Koordinatensystem, das gegenüber dem xy-Koordinatensystem mit der Winkelgeschwindigkeit   in der Schwingungsebene rotiert. Einsetzen ergibt für   tatsächlich die einfachere Differentialgleichung

 .

Das ist die Gleichung für eine stationäre ungedämpfte harmonische Schwingung, allerdings mit der Frequenz

 .

Demnach beschreiben die Koordinaten   die Bewegung, die ein sphärisches Pendel im Inertialsystem ausführen würde (siehe Harmonischer Oszillator#Zweidimensionaler Oszillator). Dass diese Formel eine Erhöhung der Pendelfrequenz ausdrückt, ist ein Artefakt der Näherungsrechnung. Diese scheinbare Erhöhung, relativ um  , liegt im Ungenauigkeitsbereich dieser vom physikalischen Ansatz her näherungsweisen Berechnung. Im konkreten Fall lässt sie sich darauf zurückführen, dass die oben angegebene Zentrifugalkraft   nicht mit in die Bewegungsgleichung aufgenommen wurde. Bezieht man  mit ein, bleibt es doch bei der ungestörten Pendelfrequenz  . Der ungestörten Schwingung des Pendels mit der ungestörten Frequenz   wird in komplexer Schreibweise also eine zusätzliche Funktion   aufmoduliert, was eine gleichförmige Drehung um die z-Achse bedeutet.

Für einen anderen kurzen Lösungsweg in Polarkoordinaten siehe z. B. Noble.[6]

Mit der Anfangsbedingung, dass das Pendel mit Anfangsgeschwindigkeit null im erdfesten xy-System an einer Startposition   losgelassen wird, lauten die Lösungen für die Bewegung, wieder ausgedrückt in den erdfesten x-y-Koordinaten:

 

Um diese Bewegung des Pendelkörpers darzustellen, bietet sich die Schreibweise in ebenen Polarkoordinaten an. Es gilt dann

 .

Darin werden zwei Eigenschaften deutlich: Für   ergibt sich die ursprüngliche harmonische Schwingung im Inertialsystem. Das trifft am Äquator zu. Zweitens zeigt sich, dass das von einem Anfangspunkt im Abstand   losgelassene Foucaultsche Pendel eine Rosettenbahn durchführt.[7][8] Die Bahn führt nicht exakt durch den Ursprung, nähert sich ihm aber bis auf den in praktischen Fällen winzig kleinen Bruchteil   an. Die Drehung der Apsidenlinie der Bahn pro Schwingung kann durch

 

berechnet werden. In der nördlichen Hemisphäre dreht sich das Focaultsche Pendel (eigentlich seine näherungsweise Schwingungsebene; von oberhalb betrachtet) somit im Uhrzeigersinn, in der südlichen Hemisphäre entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine vollständige Drehung des Foucaultschen Pendels braucht die Zeit

 .

In Deutschland dreht sich die Schwingungsebene pro Stunde um etwa  .

GalerieBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Ágoston Budó: Theoretische Mechanik. 4. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 25 Der Foucaultsche Pendelversuch, S. 122–126.
  • Reiner M. Dreizler, Cora S. Lüdde: Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-70558-9, S. 311 ff.
  • William Duncan MacMillan: On Foucault’s Pendulum. In: American Journal of Mathematics. Band 37, Nr. 1, 1915, S. 95–106, doi:10.2307/2370259, JSTOR:2370259.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Foucault’sches Pendel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Für die Darstellung des einfachen Falls mit gleich bleibender Schwingungsebene gehört der Aufhängungspunkt des Pendels genau über den Nordpol.
  2. Heike Kamerlingh Onnes: Nieuwe Bewijzen voor de aswenteling der aarde. Wolters, Groningen 1879, S. 1–312 (niederländisch, gdz.sub.uni-goettingen.de [abgerufen am 16. März 2018] Titel in Deutsch: „Neue Beweise für die Achsdrehung der Erde“).
  3. History Of The Pantheon Paris auf pantheonparis.com.
  4. a b A. Budo: Theoretische Mechanik. 4. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 24 Bewegungen auf der rotierenden Erde, S. 119.
  5. P. Furtwängler: Mechanik physikalischer Apparate. In: F. Klein, C. Müller (Hrsg.): Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd. IV.2, Teubner, Leipzig 1904.
  6. William J. Noble: A Direct Treatment of the Foucault pendulum. In: American Journal of Physics. Nr. 20, 1952, S. 334–336 (edu.tw [PDF]).
  7. T. J. I’A. Bromwich: On the Theory of Foucault’s Pendulum, and of the Gyrostatic Pendulum. In: Proceedings of the London Mathematical Society. s2-13, Nr. 1, 1914, S. 222–235 (wiley.com).
  8. W. S. Kimball: The Foucault Pendulum Star Path and the n-Leaved Rose. In: American Journal of Physics. Band 13, Nr. 5, 1945, S. 271–277, doi:10.1119/1.1990726.