Beschleunigtes Bezugssystem

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte Translationsbewegung und/oder um eine beschleunigte oder unbeschleunigte Rotationsbewegung handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

  • Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
  • Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
  • Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
  • In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld im freien Fall ist, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

KinematikBearbeiten

 
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Zeitliche Ableitungen in einem ruhenden und einem bewegten BezugssystemBearbeiten

Sei P ein Punkt im physikalischen Raum. In einem Bezugssystem   ist er durch einen Ortsvektor   definiert, der mit drei Basisvektoren   (   für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten   so darzustellen ist:

 

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten   von der Zeit ab.

Die zeitliche Ableitung des Vektors ist

 

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem   bewegt.

Sei   ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu   bewegt. Sein Koordinatenursprung liegt bei  , seine Basisvektoren sind  . Der Ortsvektor desselben Punktes P in K' sei  . Damit die Vektoren   und   denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

 .

Im Fall   sind also die Vektoren gleich ( ), aber ihre Komponenten bezüglich   bzw.   im Allgemeinen nicht.

Die Komponentendarstellung von   in Bezug auf   ist:

 .

Die zeitliche Ableitung des Vektors   relativ zum bewegten System   ist

 

Dabei bedeutet der Strich im Symbol   für die Differentiation eines Vektors  , dass die Koordinaten   abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem   hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in   bzw. in   beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von   in Bezug auf   beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem starren Körper in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung   sich in   bewegt:

 .

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor   in   parallel, also bleiben auch die Basisvektoren   zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die momentane Rotationsbewegung von   hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort   und eine Winkelgeschwindigkeit  , die mit dem Drehsinn zur vektoriellen Winkelgeschwindigkeit   zusammengefasst sind. Damit ändern sich die Basisvektoren von   in   mit der Geschwindigkeit (siehe Bahngeschwindigkeit):

 

Damit kann die Zeitableitung des Vektors  , wie sie im Bezugssystem   erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

 .

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

 .

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als

 .

Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei  ), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten   bzw. in  .[1]

Transformation der GeschwindigkeitBearbeiten

Im Folgenden werden, in Anlehnung an die Technische Mechanik, die im Bezugssystem   beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf   bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.[2]

Die Absolutgeschwindigkeit   des Punktes ist:

 

Die Relativgeschwindigkeit   des Punktes ist analog:

 

Wegen   folgt für die Absolutgeschwindigkeit  :

 .

Der Anteil ( ) der Absolutgeschwindigkeit wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet. Alle Punkte, die im Bezugssystem   ruhen, bewegen sich im Bezugssystem   mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in   nicht ruhen, ist ihre Relativgeschwindigkeit   zur Führungsgeschwindigkeit zu addieren.

Transformation der BeschleunigungBearbeiten

Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in   ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in   beobachtbaren Größen   und   und  :

 

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf   und   angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

 

Die Beschleunigungen   und  , in   bzw.   unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung   des Systems   im System  . Die drei zusätzlichen Summanden heißen:

  Eulerbeschleunigung in  
  Zentrifugalbeschleunigung in  
  Coriolisbeschleunigung in  
(Anmerkung:   wird gelegentlich auch mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.)

Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus Führungsbeschleunigung  , Relativbeschleunigung   und Coriolisbeschleunigung, wobei die Führungsbeschleunigung diejenige Beschleunigung ist, die ein Körper hat, wenn er fest mit dem Koordinatensystem verbunden ist:

 

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden als Wirkung von Trägheitskräften aufgefasst. Weiteres siehe dort.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • F. Scheck: Theoretische Physik 1. Mechanik. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
  • Jürgen Dankert und Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 6. Auflage, 2011, Kap. 27.2 ff.
  • Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. K. Marguerre: Technische Mechanik: Dritter Teil: Kinetik. Springer-Verlag, 1968, ISBN 978-3-540-04173-3, S. 67.: (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  2. Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie "absolute Ruhe" oder "absolute Geschwindigkeit" gäbe. Siehe Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik.