Führungskraft (Technische Mechanik)

Begriff aus der technischen Mechanik
(Weitergeleitet von Führungsgeschwindigkeit)

Unter Führungskraft wird in der technischen Mechanik zweierlei verstanden:

Dieser Artikel befasst sich mit ersterer Bedeutung.

Führungsgeschwindigkeit und -beschleunigungBearbeiten

 
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K’

Im physikalischen Raum wird eine Punktmasse P betrachtet, die im Inertialsystem K den Ortsvektor   hat und die Masse m besitzt, siehe Bild. Am Ort   befindet sich ein beschleunigtes Bezugssystem K’ mit Orthonormalbasis ê’1,2,3, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit   dreht. Die Zeitableitung der Basisvektoren bildet sich mit ihr und dem Kreuzprodukt × gemäß  . In K’ hat P den Ortsvektor  . Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert die Geschwindigkeit von P und lautet in K

 

Nochmalige Zeitableitung liefert die Beschleunigung in K:

 

Die Bewegungsanteile, die weder die Relativgeschwindigkeit   noch Relativbeschleunigung   enthalten, bilden die Führungsgeschwindigkeit bzw. die Führungsbeschleunigung

 

FührungskraftBearbeiten

Mit der Führungsbeschleunigung und der Masse m der Punktmasse lässt sich die Führungskraft[1]:282 in Form von folgender Vektorgleichung ausdrücken:

 

Die beiden letzten Summanden sind die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft.

Das zweite newtonsche Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ lautet damit im Inertialsystem K

 

Im beschleunigten Bezugssystem K' werden die Beschleunigung   und neben der Kraft   noch Scheinkräfte wahrgenommen:[1]:288

 

mit

 : auf den Massenpunkt P wirkende Kraft
 : Führungskraft (Scheinkraft)
 : Corioliskraft (Scheinkraft)

Wenn sich K' gleichförmig bewegt, ist   und somit   sowie  . K' ist ein Inertialsystem geworden, in dem keine Scheinkräfte mehr auftreten.

BeispielBearbeiten

 
Bewegung einer Masse m entlang einer Schraubenlinie

Betrachtet wird eine Punktmasse mit der Masse m, die sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit   auf einer Schraubenlinie mit Radius R um einen Punkt   bewegt, der sich mit konstanter Translationsgeschwindigkeit   verschiebt, siehe Bild. Das Bezugssystem K’ wird in den Punkt   gelegt mit der festen Position des Massenpunktes   in K’. Dann lautet die Bewegungsfunktion:

 

Die Basisvektoren êρ,φ (schwarze Pfeile) bezeichnen wie in einem Zylinderkoordinatensystem die radiale bzw. die azimutale Richtung und die Drehachse êz ist zu ihnen senkrecht, sodass êρ,φ,z ein Rechtssystem bilden. Mit der Winkelgeschwindigkeit   berechnen sich die Zeitableitungen der Basisvektoren:

 

Damit liegen die Führungsgeschwindigkeit und -beschleunigung fest:

 

Die Führungskraft

 

ist die Zentrifugalkraft, die für den Beobachter in K’ scheinbar auf die Punktmasse wirkt und die er durch eine entgegengesetzte Kraft, die Zentripetalkraft, ausgleichen muss, damit die Punktmasse in K’ ruht und im Inertialsystem, das sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit   bewegt, eine Kreisbewegung um   ausführt.

LiteraturBearbeiten

  1. a b c d D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik 3. Kinetik. 11. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-11263-8, doi:10.1007/978-3-642-11264-5 (Relativbewegung des Massenpunktes).
  2. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 5. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0177-7, S. 505 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).