Abgeschlossener Operator

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Abgeschlossene Operatoren werden in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, betrachtet. Es handelt sich dabei um lineare Operatoren mit einer bestimmten topologischen Eigenschaft, die schwächer als Stetigkeit ist. Diese spielen eine bedeutende Rolle in der für die Quantenmechanik wichtigen Theorie der dicht-definierten Operatoren.

Definition

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Seien   und   normierte Räume,   ein Unterraum und   ein linearer Operator. Man nennt   den Graphen von   und bezeichnet ihn mit  . Der Graph von   ist ein Untervektorraum des normierten Raums  .

Man nennt   abgeschlossen, wenn der Graph   ein abgeschlossener Untervektorraum ist.

Man nennt   abschließbar, wenn der abgeschlossene Untervektorraum   der Graph eines linearen Operators ist; dieser lineare Operator wird dann der Abschluss von   genannt und mit   bezeichnet.

Der Begriff des Graphen einer Funktion bzw. eines Operators ist eigentlich entbehrlich, denn in einer mengentheoretischen Definition der Funktion ist die Funktion durch ihren Graphen definiert. Dann kann man direkt von der Abgeschlossenheit bzw. vom Abschluss von   reden.

Charakterisierungen

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  • Mit obigen Bezeichnungen ist   genau dann abgeschlossen, wenn folgendes gilt:
Ist   eine Folge in   mit   und  , so ist   und  .
Dies findet man häufig als Definition der Abgeschlossenheit von Operatoren. Es handelt sich dabei lediglich um die Charakterisierung der Abgeschlossenheit von   im metrischen Raum   mittels Folgen.
  • Sind   und   Banachräume, so ist ein linearer Operator   genau dann abgeschlossen, wenn der Definitionsbereich mit der durch   definierten, sogenannten Graphennorm vollständig ist.
  • Weiter ist   genau dann abschließbar, wenn Folgendes gilt: Ist   eine Folge in   mit   und konvergiert   gegen ein  , so ist  .

Beispiele

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  • Sei   der Banachraum der stetigen Funktionen   mit der Supremumsnorm,   der Unterraum der stetig differenzierbaren Funktionen und   sei der Ableitungsoperator, d. h.  . Dieser Operator ist abgeschlossen. Das ist offenbar äquivalent zu einem bekannten Satz aus der elementaren Analysis über Grenzwerte differenzierbarer Funktionen, der im Artikel Gleichmäßige Konvergenz unter Differenzierbarkeit besprochen ist.
  • Ist   der Folgenraum der quadratisch summierbaren Folgen mit der üblichen Hilbertraum-Norm,   und ist   definiert durch  , so ist   ein abgeschlossener Operator, der nicht stetig ist.
  • Wir betrachten wieder den Hilbertraum  . Sei   der dichte Untervektorraum aller endlichen Folgen. Dann ist der durch   definierte Operator   nicht abschließbar. (Man beachte, dass die Reihe in obiger Definition stets endlich ist,   also wohldefiniert ist.)
  • Ist   stetig, so ist   abgeschlossen, denn aus   und   folgt wegen der Stetigkeit sofort  . Sind   und   Banachräume, so gilt die Umkehrung. Das ist gerade die Aussage des berühmten Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Hilberträume

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Seien   und   Hilberträume und   wie oben. Man sagt,   sei dicht-definiert, wenn der Untervektorraum   dicht liegt. In diesem Fall ist der adjungierte Operator   von   erklärt. Dies vereinfacht die Untersuchung abschließbarer bzw. abgeschlossener Operatoren, denn es gelten folgende Aussagen für einen dicht-definierten Operator  :

  •   ist genau dann abschließbar, wenn   dicht-definiert ist.
  • Ist   abschließbar, so gilt   und  
  • Ist   abgeschlossen, so ist   ein selbstadjungierter Operator.

Anwendungen

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In der Quantenmechanik ist der Nachweis der Selbstadjungiertheit dicht-definierter Operatoren in Hilberträumen von fundamentaler Bedeutung, denn solche Operatoren sind genau die quantenmechanischen Observablen. Häufig ist der Nachweis, dass der in Rede stehende Operator symmetrisch ist, recht einfach. Dann kann folgender Satz weiter helfen:

Sei   ein Hilbertraum,   ein dichter Unterraum und   ein abgeschlossener und symmetrischer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent, wobei   der identische Operator sei.

  •   ist selbstadjungiert.
  • Die Operatoren   sind injektiv.
  • Die Operatoren   sind surjektiv.
  • Die Operatoren   haben dichtes Bild in  .

Dabei ist i die imaginäre Einheit, und der Definitionsbereich von  , bzw.   ist der von   bzw.  .

In der Quantenmechanik betrachtet man oft nicht die selbstadjungierten Operatoren auf ihrem kompletten Definitionsbereich, sondern nur auf einem Unterraum, dessen Elemente angenehme Eigenschaften haben. So schränkt man in  -Räumen definierte Operatoren   gerne auf Räume differenzierbarer Funktionen ein, z. B. auf Räume beliebig oft differenzierbarer Funktionen, insbesondere wenn die betrachteten Operatoren Differentialoperatoren sind. Dabei wählt man solche Untervektorräume  , so dass der Abschluss des eingeschränkten Operators   wieder   ist. Solche Unterräume   nennt man einen wesentlichen Bereich oder Kern von  , was nicht mit dem Nullraum, den man auch Kern nennt, verwechselt werden darf. Viele quantenmechanische Rechnungen werden nur auf solchen Kernen ausgeführt, anschließend setzt man die gefundenen Beziehungen zwischen Operatoren durch die Abschluss-Operation fort.