Unipotente Matrix

mathematischer Begriff

Eine unipotente Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Differenz zur Einheitsmatrix nilpotent ist. Die unipotenten Matrizen stellen damit gerade die unipotenten Elemente im Ring der quadratischen Matrizen dar.

Definition

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Eine quadratische Matrix   mit Einträgen aus einem unitären Ring   heißt unipotent, wenn die Matrix   nilpotent ist, das heißt wenn

 

für ein   gilt. Unipotente Matrizen sind damit die unipotenten Elemente im Matrizenring   mit der Nullmatrix   als neutralem Element und der Einheitsmatrix   als Einselement.

Beispiele

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Ein einfaches Beispiel für eine unipotente Matrix ist die Matrix

 ,

denn es gilt

 .

Ein allgemeineres Beispiel bilden obere Dreiecksmatrizen, deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich 1 sind, also Matrizen der Form

 .

Alle solchen Matrizen sind unipotent, denn es gilt  . Weiterhin sind auch alle Matrizen unipotent, die zu einer solchen Matrix   ähnlich sind, denn es gilt dann

 

für jede reguläre Matrix  .

Eigenschaften

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Eigenwerte

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Eine quadratische Matrix   mit Einträgen aus einem Körper   ist genau dann unipotent, wenn ihr charakteristisches Polynom die Form

 

besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte der Matrix gleich   sind.

Jordan-Chevalley-Zerlegung

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Jede reguläre Matrix   mit Einträgen aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper   besitzt eine multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung der Form

 ,

wobei   eine diagonalisierbare und   eine unipotente Matrix sind. Eine solche Zerlegung ist eindeutig.[1]

Potenzen

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Die Einträge der Matrixpotenzen   einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix wachsen lediglich polynomial in  , da

 

gilt, wobei   nilpotent mit Nilpotenzindex   ist. Wachsen umgekehrt die Einträge der Matrixpotenzen einer gegebenen Matrix höchstens polynomial in  , so ist die Matrix unipotent.[2]

Logarithmus und Exponential

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Nachdem die obige Reihe terminiert, existiert der Matrixlogarithmus einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix und ist selbst nilpotent. Für sein Matrixexponential gilt damit[3]

 .

Umgekehrt ist das Matrixexponential einer reellen oder komplexen nilpotenten Matrix   unipotent und es gilt entsprechend[3]

 .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, S. 66.
  2. Terence Tao: Structure and Randomness. American Mathematical Society, 2008, S. 111.
  3. a b Dennis S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, S. 746.
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