Als SEIR-Modell bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie einen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten. Die Beschreibung ist näher am realen Verlauf als die des SIR-Modells, da hier berücksichtigt wird, dass ein Individuum nach seiner Infektion nicht sofort selbst infektiös ist, und dass isolierte (in Quarantäne befindliche) Individuen als nicht infektiös betrachtet werden. Im Gegensatz zu einem Individuums-basierten Modell (IBM) ist die Beschreibung makroskopisch, d. h. die Population wird als Gesamtheit betrachtet.

GleichungssystemBearbeiten

Die Population von N Individuen sei zerlegt in die vier Kompartimente S, E, I, R, so dass

 

bzw.

 

Jedes Individuum kann die Prozedur

Susceptible (S) → Exposed (E) → Infectious (I) → Recovered (R)

durchlaufen. Die Ausbreitungsdynamik der Krankheit wird beschrieben durch

 

Es handelt sich hierbei um ein nichtlineares System von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Größe Einheit Erklärung
S(t) 1 Anteil der Anfälligen, engl. susceptible. Noch nicht infiziert.
E(t) 1 Anteil der Exponierten, engl. exposed. Infiziert, aber noch nicht infektiös.
I(t) 1 Anteil der Infektiösen, engl. infectious.
R(t) 1 Anteil der Erholten, engl. recovered oder resistant. Bzw. verstorben oder nach Symptomen in Quarantäne.
t d Zeit in Tagen, engl. time.
β 1/d Transmissionsrate. Der Kehrwert ist die mittlere Zeit zwischen Kontakten.
γ 1/d Gesundungsrate. Der Kehrwert ist die mittlere infektiöse Zeit.
a 1/d Der Kehrwert ist die mittlere Latenzzeit.

Die mittlere Latenzzeit ist die durchschnittliche Zeit, die ein Individuum in der Gruppe E der Exponierten verbringt; diese ist zu unterscheiden von der mittleren Inkubationszeit, denn der Beginn der Infektiosität muss nicht mit dem Beginn der Symptome übereinstimmen.

Für die Transmissionsrate (Übertragungsrate) ist auch die Bezeichnung Kontaktrate geläufig. Eine genauere Überlegung zerlegt diese in ein Produkt  , wobei   die Transmissionswahrscheinlichkeit und   die eigentliche Kontaktrate ist.

Beziehung zur BasisreproduktionszahlBearbeiten

Es lässt sich eine Beziehung zur Basisreproduktionszahl herstellen. Damit sich die Krankheit nicht weiter ausbreitet, muss   und   sein. Einsetzung dieser Bedingungen in die Differentialgleichungen führt zu   und  , und somit  . Man betrachte nun außerdem die Gleichung   bzw.   mit  . Hierbei ist   die Netto- und   die Basisreproduktionszahl. Da die Bedingung   mit   gleichbedeutend ist, ergibt sich

 

Alternativ kann man sich überlegen, dass wenn ein Individuum im Mittel   Kontakte pro Zeiteinheit hat, es über die mittlere infektiöse Zeit   dann   Kontakte bzw. neue Infektionen gegeben haben muss. D.h.  .

Anteil der Erholten am Ende der EpidemieBearbeiten

Im Zusammenhang mit der Basisreproduktionszahl steht auch, welcher Anteil der Population insgesamt infiziert wird, unter Annahme, die Epidemie würde ohne jegliche Quarantäne durchlaufen. Unter Heranziehung der Differentialgleichungen findet man

 

Für   ist demnach

 

Bei   ist nun  , und daher  . Daraus resultiert die Gleichung

 

Algebraische Umformung führt zur Gleichung

 

auf welche die lambertsche W-Funktion angewendet werden kann, womit sich

 

ergibt. Für   und   findet man die Näherung

 

Exponentielle AnfangsphaseBearbeiten

Am Anfang der Epidemie verläuft die Ausbreitung der Krankheit in guter Näherung exponentiell. Mit dem Ansatz   kommt die Beziehung   hinzu. Hiermit gilt nun   und  . Infolge gilt

 

Leitet man diese Gleichung nun auf beiden Seiten ab, benutzt   und dividiert anschließend durch  , bekommt man

 

bzw.

 

Da am Anfang in sehr guter Näherung   ist, kann   gesetzt werden, womit eine Beziehung zwischen den Parametern   und der Wachstumskonstante   gewonnen ist.

Ein alternativer systematischer Ansatz betrachtet gleich  , womit sich die Differentialgleichungen zu einem linearen System vereinfachen, das als

 

beschrieben werden kann.[1] Alle weiteren Betrachtungen sind damit überschattet durch die wohlbekannte Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und ihrer Eigenwerttheorie. Die Wachstumskonstante ist ein Eigenwert der Systemmatrix  , die bereits gefundene Gleichung bekommt man aus

 

Wie bei jedem exponentiellen Wachstumsvorgang ist die Wachstumskonstante   äquivalent zur anschaulicheren Vervielfachungszeit

 

speziell zur Verdopplungszeit  .

BeispielrechnungBearbeiten

Es folgt eine Beispielrechnung zu einer Parameterbelegung wie sie für die COVID-19-Pandemie 2020 in Deutschland abgeschätzt wurde.[2] Die Ausbreitung verläuft bezüglich einer Basisreproduktionszahl von 2,4, was der Unterlassung wesentlicher Quarantäne entspricht. Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems genügt das Euler-Verfahren.

from numpy import array as vector

# Explizites Euler-Verfahren
def euler_method(f,t0,x0,t1,h):
    t = t0; x = x0
    a = [[t,x]]
    for k in range(0,1+int((t1-t0)/h)):
        t = t0 + k*h
        x = x + h*f(t,x)
        a.append([t,x])
    return a

def SEIR_model(beta,gamma,a):
    def f(t,x):
        S,E,I,R = x
        return vector([
            -beta*S*I,
            beta*S*I - a*E,
            a*E - gamma*I,
            gamma*I
        ])
    return f

def SEIR_simulation(beta,gamma,a,E0,I0,days,step=0.1):
    x0 = vector([1.0-E0-I0,E0,I0,0.0])
    return euler_method(SEIR_model(beta,gamma,a),0,x0,days,step)

def diagram(simulation):
    import matplotlib.pyplot as plot
    plot.style.use('fivethirtyeight')
    figure,axes = plot.subplots()
    figure.subplots_adjust(bottom = 0.15)
    axes.grid(linestyle = ':', linewidth = 2.0, color = "#808080")
    t,x = zip(*simulation())
    S,E,I,R = zip(*x)
    axes.plot(t,S, color = "#0000cc")
    axes.plot(t,E, color = "#ffb000", linestyle = '--')
    axes.plot(t,I, color = "#a00060")
    axes.plot(t,R, color = "#008000", linestyle = '--')
    plot.show()

def simulation1():
    N = 83200000 # Einwohnerzahl von Deutschland 2019/2020
    R0 = 2.4; gamma = 1/3.0
    return SEIR_simulation(
        beta = R0*gamma, gamma = gamma, a = 1/5.5,
        E0 = 40000.0/N, I0 = 10000.0/N, days = 140)

diagram(simulation1)
 

Die vier Anteile, jeweils abhängig von der Zeit in Tagen.
S in Blau, E in Gelb gestrichelt, I in Magenta, R in Grün gestrichelt.

Ersichtlich ist an diesem Beispiel, dass die Epidemie aufgrund der Aufheizung durch die Infektiösen auch noch nach dem Erreichen der kritischen Immunisierungsschwelle

 

weiterläuft. Insgesamt würden sich 88 % der Bevölkerung mit der Krankheit anstecken. Die Epidemie ließe sich allerdings spätestens nach Erreichen der kritischen Immunisierungsschwelle durch eine ca. einmonatige strenge Quarantäne stoppen.

Einbeziehung demografischer DynamikBearbeiten

 
Zustandsdiagramm

Unter der Annahme einer konstanten Sterberate   und einer damit übereinstimmenden Geburtenrate wurde das erweiterte Modell

 

formuliert. Gegenüber dem einfachen SEIR-Modell beschreibt dieses Modell auch einen langfristigen endemischen Verlauf, bei dem es zu einer Oszillation der Suszeptiblen   kommen kann, bis sich   ins durch

 

definierte Equilibrium eingependelt hat.

Für die Basisreproduktionszahl findet man hier bei Betrachtung des Equilibriums die Beziehung

 

Zeitabhängige TransmissionsrateBearbeiten

Vorgänge wie Verhaltensänderungen, Quarantäne und Saisonalität bewirken eine Veränderung der Transmissionsrate. Diese Umstände finden ihre Berücksichtigung in der Modellierung der Transmissionsrate als zeitabhängige Funktion  , wobei das übrige Modell identisch beibehalten wird.[3] Die einfachsten Ansätze für die Saisonalität nehmen die Transmissionsrate z. B. als Sinusschwingung an, mit Berg in den kälteren und Tal in den wärmeren Monaten.[4]

Zu Bemerken ist, dass das Differentialgleichungssystem mit der expliziten Zeitabhängigkeit kein autonomes mehr ist und damit nicht mehr direkt ein dynamisches System vorliegt. Man kann aus dem System allerdings durch Hinzunahme der Gleichung   künstlich ein autonomes gewinnen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Junling Ma: Estimating epidemic exponential growth rate and basic reproduction number. In: Infectious Disease Modelling, Volume 5, 2020, S. 129–141, KeAi Publishing (17. Dez. 2019).
  2. Stellungnahme der Deutschen Gesellschaft für Epidemiologie (DGEpi) zur Verbreitung des neuen Coronavirus (SARS-CoV-2). (PDF) Deutsche Gesellschaft für Epidemiologie, 18. März 2020, abgerufen am 26. März 2020. Die der Beispielrechnung zugrunde liegende Version vom 19. März ist nicht mehr auffindbar. Hier ersatzweise die Version vom Vortag. Die aktuelle Version siehe hier.
  3. Gerardo Chowell, Cécile Viboud, Lone Simonsen, Seyed M. Moghadas: Characterizing the reproduction number of epidemics with early subexponential growth dynamics. In: J. R. Soc. Interface 13: 20160659 (17. August 2016). DOI: 10.1098/rsif.2016.0659.
  4. M. Keeling, P. Rohani: Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals. Abschnitt 5.2. (S. 159): Modeling forcing in childhood infectious diseases: Measles.