SIS-Modell

Modell zur Ausbreitung von Infektionskrankheiten; Geheilte sind sofort wieder infizierbar

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

VoraussetzungenBearbeiten

 
Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt    bezeichnet   die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und   die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei   die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

  • Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
  • Infizierte sind sofort ansteckend.
  • Gesunde erkranken mit der linearen Rate  .
  • Infizierte genesen mit der linearen Rate  .
  • Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
  • Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also  .

Differentialgleichungen des SIS-ModellsBearbeiten

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

 
Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.

 
Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

 

Wegen   lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

 
beschreiben. Definiere  , wodurch sich die DGL als   schreiben lässt.

Lösungen der DifferentialgleichungBearbeiten

Durch Trennung der Variablen folgt:  , woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion   mit der Anfangsbedingung   folgt:

 
Die Zahl der Gesunden   folgt durch   aus der Lösung für  .

Analyse der DGLs durch dimensionslose GrößenBearbeiten

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über:  

 

Die Änderung   kann nach oben abgeschätzt werden durch:  .

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt   angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren ModellenBearbeiten

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

  • Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
  • Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
  • Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).