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Satz von Hartman-Grobman

mathematischer Satz

Der Satz von Hartman-Grobman, auch bekannt als Linearisierungssatz, besagt, dass das Verhalten eines dynamischen Systems in Form eines Autonomen Differentialgleichungssystems in der Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts dem Verhalten des um diesen Punkt linearisierten Systems gleicht. Hyperbolischer Fixpunkt bedeutet, dass keiner der Eigenwerte des linearisierten Systems den Realteil Null hat.

Benannt ist der Satz nach dem US-Amerikaner Philip Hartman und dem Russen David Grobman, die den Satz unabhängig voneinander 1960 bzw. 1959 veröffentlichten.

Nach dem Satz kann man in der Umgebung eines solchen Fixpunkts also lokal das Verhalten eines nichtlinearen Systems aus dem der linearisierten Gleichungen erschließen.

SatzBearbeiten

Das Differentialgleichungssystem ist nach Entwicklung mit der Taylor-Formel um den Fixpunkt, der bei   sei, durch die Abbildung:

 
 

gegeben mit den nichtlinearen Resttermen  

  für  .

und den konstanten Matrizen   und  . Der Vektorraum ist schon so aufgeteilt, dass die   Eigenwerte   mit positivem Realteil des linearisierten Systems in B sind, die   Eigenwerte   mit negativem Realteil in A:

  für   bzw.  .

Dann gibt es einen Homöomorphismus

 

zwischen einer Umgebung von   auf eine Umgebung von   so, dass

 

mit

 .

Etwas allgemeiner lässt sich ein System der Form   mit   durch eine lineare Koordinatentransformation immer auf obige Form bringen falls alle Eigenwerte von   nichtverschwindenen Realteil haben.

BeispielBearbeiten

Sei

 .

Der einzige Fixpunkt des Systems ist  . Dann ist

 

die Jacobi-Matrix an dieser Stelle, mit   die Linearisierung des Systems entsprechend

 ,

also

 .

Die Eigenwerte von  ,

 ,

haben Realteile verschieden von null, somit ist   ein hyperbolischer Fixpunkt und die Voraussetzungen des Satzes von Hartman-Grobman sind erfüllt. Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen aufweisen, handelt es sich um einen Sattelpunkt und damit einen instabilen Fixpunkt. Nach Satz gilt dies nun nicht nur für das linearisierte, sondern auch für das ursprüngliche System.

LiteraturBearbeiten