Metrisches Differential

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Das metrische Differential ist ein Ersatz für den Ableitungsbegriff für Abbildungen in metrische Räume. Es wurde 1994 vom deutschen Mathematiker Bernd Kirchheim in einem Aufsatz über die Regularität von Hausdorff-Maßen eingeführt.[1] Die Hauptanwendung des metrischen Differentials besteht in der Verallgemeinerung des Satzes von Rademacher von Funktionen zwischen euklidischen Räumen auf solche in allgemeine metrische Räume.

MotivationBearbeiten

Euklidische Räume tragen neben ihrer metrischen Struktur zusätzlich eine lineare. Deshalb ist es möglich, für eine Funktion zwischen euklidischen Räumen lokale lineare Näherungen zu betrachten. Existiert für eine Stelle des Definitionsbereiches eine beste solche Näherung, so heißt die Funktion dort (total) differenzierbar und die entsprechende lineare Funktion wird Ableitung oder Differential an dieser Stelle genannt. Einschränkend lässt sich auch die Ableitung in eine bestimmte Richtung betrachten. Für Abbildungen in allgemeine metrische Räume lassen sich solche Aussagen zunächst nicht treffen, da die besagte lineare Struktur fehlt. Das metrische Differential dient nun dazu, diese Begriffe im Sinne einer besten isometrischen Näherung auf die letztgenannten Abbildungen zu übertragen.

DefinitionBearbeiten

Sei im Weiteren   eine Funktion von einem euklidischen Raum in einen metrischen Raum   und   ein Punkt. Setze nun

 

für einen Vektor  , falls dieser Grenzwert existiert. Die Funktion   heiße dann das metrische Differential von   an der Stelle  .

Existiert  , so heiße   an dieser Stelle in Richtung   metrisch differenzierbar. Ist   sogar eine Funktion auf ganz  , so heiße   in   überhaupt metrisch differenzierbar.

EigenschaftenBearbeiten

Bezug zur StetigkeitBearbeiten

Wie man es bei einem Differenzierbarkeitsbegriff erwarten kann, gilt folgender Satz.

Ist   an der Stelle   metrisch differenzierbar, so ist   dort auch stetig als Abbildung zwischen metrischen Räumen.

Verallgemeinerung des Fréchet-DifferentialsBearbeiten

Fasst man den   in natürlicher Weise (durch die euklidische Norm) als einen normierten Raum auf und ist auch die Metrik   durch eine Norm   induziert, so wird   zu einer Funktion zwischen normierten Räumen und lässt sich so auf Fréchet-Differenzierbarkeit überprüfen. In diesem Fall gilt der Satz:

Ist   an einer Stelle   Fréchet-differenzierbar mit dem Differential  , so ist   auch metrisch differenzierbar und es gilt weiter   für jedes  .

Zu beachten ist dabei, dass die Forderung an   keine echte Einschränkung ist, denn nach dem Satz von Kunugui lässt sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten.

Verallgemeinerung des Satzes von RademacherBearbeiten

Falls   Lipschitz-stetig ist, so ist die Funktion auch fast überall metrisch differenzierbar.

Das heißt, die Punkte, in denen sie nicht differenzierbar ist, bilden eine Nullmenge (bezüglich des Hausdorff-Maßes).

HalbnormeigenschaftBearbeiten

Sei   wieder Lipschitz-stetig, dann ist für fast jedes   die Abbildung   eine Halbnorm auf  .

In diesem Fall lässt sich außerdem zeigen:

Für beliebige   gilt:  .

Das heißt in einer – gegebenenfalls sehr kleinen – Umgebung von   ist   die beste isometrische Näherung für  . Dabei bezeichne   die übliche euklidische Metrik auf  ; für die Verwendung der "Klein-o-Notation" siehe auch: Landau-Symbole

Gibt es nun umgekehrt für eine – nun nicht notwendig Lipschitz-stetige – Funktion   und eine Stelle   eine Halbnorm   mit der Eigenschaft:  , so muss   mit   identisch sein und   ist an dieser Stelle metrisch differenzierbar.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure. Zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012