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DefinitionBearbeiten

Bei einer natürlichen Zahl   mit der Dezimaldarstellung  , wobei   und  , werden die einzelnen Ziffern   quadriert und addiert, d. h. es wird

 

berechnet. Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt. Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1, dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert, und die Zahl wird als fröhlich bezeichnet.

AlternativeBearbeiten

Die einzige Alternative ist der Übergang in den einzigen, acht Zahlen umfassenden, periodischen Zyklus

 

Weitere Zyklen existieren nicht.

Beweis:
Sei   eine  -stellige Zahl. Dann ist die Summe   der Quadrate ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal, wenn die Zahl   ausschließlich aus  er besteht. Die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern ist somit maximal  .
  • Sei nun   eine mindestens  -stellige Zahl. Dann ist   mit  . Ein einzelner obiger Iterationsschritt führt dann auf eine Zahl   (die Ungleichung   stimmt für  ). Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl führt, die weniger Stellen hat.
  • Sei nun  . Die maximale Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei   und beträgt  . Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl   führt, für welche   gilt.
  • Sei nun  . Die maximale Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei   und beträgt  . Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl   führt, für welche   gilt.
  • Sei nun  . Die maximale Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei   und beträgt  . Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl   führt, für welche   gilt.
  • Sei nun  . Die maximale Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei   und beträgt  . Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl   führt, für welche   gilt.
Zusammenfassend wurde somit gezeigt, dass jeder obige Interationsschritt für jede Zahl   auf eine kleinere Zahl   führt und man letztendlich bei einer Zahl   landet. Wenn man alle diese wenigen Zahlen   untersucht, kann man feststellen, dass sie alle entweder fröhlich sind (also in   münden), oder in dem erwähnten Zykel enden.  

Beispiele für fröhliche ZahlenBearbeiten

  •   ist eine fröhliche Zahl:
 
  • Es gibt 143 fröhliche Zahlen, die kleiner oder gleich 1000 sind. Diese lauten:
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000, … (Folge A007770 in OEIS)
  • Das erste Paar aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen ist das Paar   und  . Die folgende Liste gibt Aufschluss über die kleinsten weiteren Paare aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen, welche kleiner als 1000 sind (wobei immer nur der kleinere der beiden angegeben wird):
31, 129, 192, 262, 301, 319, 367, 391, 565, 622, 637, 655, 912, 931, … (Folge A035502 in OEIS)
  • Das erste Tripel (also Dreiertupel) aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen ist das Tripel  ,   und  . Der folgenden Liste kann man die kleinsten weiteren Tripel aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen entnehmen, welche kleiner als 10000 sind (wobei immer nur der kleinste der drei angegeben wird):
1880, 4780, 4870, 7480, 7839, 7840, 8180, 8470, 8739, 8740, 8810, … (Folge A072494 in OEIS)
  • Die folgende Liste gibt an, wie viele fröhliche Zahlen es gibt, welche kleiner oder gleich   für   gibt (beginnend mit  ):
3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294, … (Folge A068571 in OEIS)
Beispiel: An der 7. Stelle obiger Liste steht die Zahl  . Es gibt also insgesamt   verschiedene fröhliche Zahlen, welche kleiner oder gleich   sind.

Eigenschaften von fröhlichen ZahlenBearbeiten

  • Keine einzige Zahl außer   ist die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern.
Beweis:
Würde es eine solche Zahl   geben, die gleichzeitig die Summe   der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist (also  ), so würde diese Zahl, wenn man obige Iterationsschritte auf sie anwendet, jedes Mal in sich selbst enden und somit weder in   noch in obigem angegebenen einzig möglichen Zykel münden. Weiter oben wurde aber bewiesen, dass nur diese beiden Fälle auftreten können. Somit kann es keine Zahl   geben, welche die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist.  
  • Es gibt unendlich viele fröhliche Zahlen.
Beweis:
  ist eine fröhliche Zahl. Wendet man obige Iterationen auf Zahlen der Form   mit   an, so erhält man als Summe   der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert  . Somit sind alle Zahlen der Form   fröhlich. Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form   gibt, gibt es auch unendlich viele fröhliche Zahlen.  
  • Sei   eine beliebige fröhliche Zahl. Dann erhält man beliebig viele weitere fröhliche Zahlen, indem man beliebig viele Nullen einfügt oder rausnimmt, da sich an der Summe der Quadrate ihrer Ziffern nichts ändert.
  • Sei   eine beliebige natürliche Zahl. Dann existiert mindestens ein  -Tupel von   aufeinanderfolgender fröhlichen Zahlen  .
Beweis: siehe[1]
Beispiel:
Der erste Wert der kleinsten  -Tupel fröhlicher Zahlen (also   aufeinanderfolgende fröhliche Zahlen) für aufsteigende   sind:
1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, … (Folge A055629 in OEIS)
An der fünften Stelle obiger Liste steht die Zahl  . Somit sind alle Zahlen des  er-Tupels   fröhliche Zahlen und es ist das kleinstmögliche  er-Tupel mit dieser Eigenschaft.
  • Alle Zahlen der Form   oder   mit   sind fröhliche Zahlen.
Beweis:
Sei   mit   (diese Zahl   beginnt mit der Ziffer  , hat danach   Nullen und endet mit der Ziffer  ). Die Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl   ist  . Diese Zahl   ist aber fröhlich, weil   ist. Somit ist   fröhlich.
Sei   mit   (diese Zahl   beginnt mit der Ziffer  , hat danach   Nullen und endet mit der Ziffer  ). Die Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl   ist  . Wendet man obige Iterationsschritte auf die Zahl   an, erhält man:
 .
Somit ist auch   fröhlich.  
  • Vertauscht man die Ziffern einer fröhlichen Zahl, so erhält man wieder eine fröhliche Zahl.
Beweis:
Die Vertauschung der Ziffern einer fröhlichen Zahl ändert nichts an der Summe   der Quadrate ihrer (nun vertauschten) Ziffern. Die Summe   bleibt gleich. Führt die Iteration der ursprünglichen Zahl auf die Zahl  , so führt sie auch jetzt auf die Zahl  .  

Traurige (nichtfröhliche) ZahlenBearbeiten

Eine natürliche Zahl  , die nicht fröhlich ist, ist eine traurige Zahl (oder auch nichtfröhliche Zahl) (vom englischen unhappy number oder sad number).

Beispiele für traurige (nichtfröhliche) ZahlenBearbeiten

  •   ist eine traurige (nichtfröhliche) Zahl:
   
  •   ist eine traurige (nichtfröhliche) Zahl:
 
… und man endet somit im einzig möglichen Zykel wie im Beispiel direkt darüber.

Eigenschaften von traurigen ZahlenBearbeiten

  • Es gibt unendlich viele traurige Zahlen.
Beweis:
Sei   mit  . Wendet man obige Iterationen auf Zahlen dieser Form an, so erhält man als Summe   der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert   und befindet sich am Anfang des einzig möglichen Zykels, der nicht in der Zahl   mündet (die Zahl   ist, wie im Beispiel vorher gezeigt, eine traurige Zahl). Somit sind alle Zahlen der Form   traurig. Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form   gibt, gibt es auch unendlich viele traurige Zahlen.  

Fröhliche PrimzahlenBearbeiten

Eine Primzahl  , die fröhlich ist, nennt man fröhliche Primzahl.

Beispiele für fröhliche PrimzahlenBearbeiten

  • Die kleinsten fröhlichen Primzahlen, welche kleiner oder gleich 1000 sind, sind die folgenden:
7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563, 617, 653, 673, 683, 709, 739, 761, 863, 881, 907, 937, … (Folge A035497 in OEIS).
  • Die Carmichael-Zahl   ist das Produkt der ersten drei fröhlichen Primzahlen.
  • Die Palindrom-Primzahl   ist eine fröhliche Primzahl mit   Stellen, weil die Summe   der Quadrate ihrer Ziffern gleich   beträgt und   eine fröhliche Zahl ist. Diese Primzahl hat Paul Jobling am 26. Dezember 2005 entdeckt.[2]
  • Die momentan (Stand: 24. Dezember 2018) größte bekannte fröhliche Primzahl ist die 46. Mersenne-Primzahl und gleichzeitig sechstgrößte[3] bekannte Primzahl  . Wenn man auf sie obige Iteration anwendet, erhält man:
 
Sie hat 12837064 Stellen und wurde am 13. Juni 2009 von Odd Magnar Strindmo entdeckt.[4] Für die Berechnung der Iteration benötigt man nur wenige Sekunden mit einem geeigneten Mathematik-Programm.

Eigenschaften von fröhlichen PrimzahlenBearbeiten

  • Alle Primzahlen   der Form   oder   mit   sind fröhliche Primzahlen.
Beweis:
Diese Eigenschaft resultiert aus der weiter oben schon bewiesenen Eigenschaft für fröhliche Zahlen, dass alle Zahlen der Form   oder   mit   fröhliche Zahlen sind.  
  • Vertauscht man die Ziffern einer fröhlichen Primzahl, so erhält man (im Gegensatz zu fröhlichen Zahlen) nicht wieder unbedingt eine fröhliche Primzahl.
Beweis:
Es genügt ein Gegenbeispiel: Die Zahl   ist eine fröhliche Primzahl (siehe obige Liste). Vertauscht man ihre Ziffern, erhält man die Zahl  , welche keine Primzahl mehr ist. Sie ist zwar fröhlich, aber eben keine Primzahl mehr. (Die Zahl   ist im Speziellen eine fröhliche Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3, was aber mit diesem Problem nichts zu tun hat.)  

Fröhliche Zahlen in anderen BasenBearbeiten

Die obige Definition von fröhlichen Zahlen stützt sich auf das Dezimalsystem, also auf die Basis  . Dies kann man verallgemeinern:

Eine Zahl   ist eine fröhliche Zahl zur Basis  , wenn die Summe der Quadrate ihrer Basis- -Ziffern nach endlich vielen Iterationsschritten in der Zahl   endet.

Beispiele für fröhliche Zahlen in anderen BasenBearbeiten

  • Die Zahl   ist eine fröhliche Zahl zur Basis  , weil für die Summe   der Quadrate ihrer Ziffern gilt:
 
 
 

Eigenschaften von fröhlichen Zahlen in anderen BasenBearbeiten

  • Alle Zahlen der Form   mit   sind fröhliche Zahlen zu jeder Basis  .
Beweis:
Sei   mit  . Dann ist die Summe   der Quadrate ihrer Ziffern gleich   und somit fröhlich.  
  • Zur Basis   sind alle Zahlen fröhlich.
Beweisidee:
Alle binären Zahlen, welche größer als   sind, gehen nach mehrmaligen Iterationen in einen Wert   über, welcher kleiner oder gleich   ist. Alle binären Zahlen, welche kleiner oder gleich   sind, sind aber fröhlich, wie die folgende Rechnung zeigt:
 
  (siehe obiges Beispiel)
 
 
 
 
Alle Sequenzen enden in der Zahl  , daraus folgt, dass alle Zahlen im Dualsystem (also zur Basis  ) fröhlich sind. Dies macht die Basis   zu einer fröhlichen Basis (vom englischen happy base).  
  • Die einzigen bekannten fröhlichen Basen sind die Basen   und  . Es gibt keine weiteren bekannten Basen, welche kleiner als 500.000.000 sind.
Beweis: siehe[5]
  • Im Duodezimalsystem (also mit der Basis  ) gibt es drei Fixpunkte, in denen obige Iterationen enden können:  ,   und   (die beiden Zahlen   und   sind Armstrong-Zahlen zur Basis   (Folge A161949 in OEIS)). Außerdem gibt es vier Zykel (dabei sei   und  ):
  (im Dezimalsystem  , also ein Zykel der Länge  )
  (ein Zykel der Länge  )
  (ein Zykel der Länge  )
  (ein Zykel der Länge  )
  • Im Duodezimalsystem (also mit der Basis  ) gibt es keine fröhlichen Zahlen zwischen   und  .
  • Im Hexadezimalsystem (also mit der Basis  ) gibt es nur einen Fixpunkt, in denen obige Iterationen enden können:  . Außerdem gibt es auch nur einen Zykel:
  (ein Zykel der Länge  )
Somit ist der Sachverhalt im Hexadezimalsystem ähnlich zu dem im Dezimalsystem.

Traurige Zahlen in anderen BasenBearbeiten

Eine traurige Zahl zur Basis   führt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen.

Eigenschaften von traurigen Zahlen in anderen BasenBearbeiten

  • Eine traurige Zahl zur Basis   führt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen, welche (mit zu oben analogen Argumenten) allesamt kleiner als   sind. Wenn   ist, dann ist die Summe   der Quadrate ihrer Basis- -Ziffern kleiner oder gleich   (was   ist für  ). Dies zeigt, dass wenn eine Iteration eine Zahl kleiner als   erreicht, sie für den Rest der Sequenz immer unter   bleibt und somit entweder in einen Zykel oder in die Zahl   übergehen muss (im ersten Fall ist sie traurig, im zweiten Fall fröhlich).

Verallgemeinerung von fröhlichen und nichtfröhlichen ZahlenBearbeiten

Man kann die Definition von fröhlichen Zahlen erweitern, indem man nicht die Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern einer Zahl   betrachtet, sondern die  -ten Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl  . Die Basis sei in diesem Abschnitt immer  , also immer das Dezimalsystem.

Beispiele für verallgemeinerte fröhliche und nichtfröhliche ZahlenBearbeiten

  • Die Zahl   ist eine verallgemeinerte fröhliche Zahl für  , weil gilt:
 
 
 
 
Kurz geschrieben:  
  • Die Zahl   ist eine verallgemeinerte nichtfröhliche Zahl für  , weil gilt:
 
 
 
 
 
Kurz geschrieben:  
Somit bleibt die Zahl   schon nach drei Iterationen "stecken" und verweilt dann quasi als Konstante bei der Zahl  . Weil sie somit nicht in der   mündet, ist sie keine verallgemeinerte fröhliche, sondern eine verallgemeinerte nichtfröhliche Zahl.

Eigenschaften von verallgemeinerten fröhlichen und nichtfröhlichen ZahlenBearbeiten

  • Sei   (man betrachte also die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl  ). Kubiert man die einzelnen Ziffern einer Zahl   und summiert man diese auf, so erhält man die Summe  , für welche gilt:  
(Wenn man die Ziffern nicht kubiert, sondern wie ursprünglich nur quadriert, so gilt diese Aussage für   und wurde zu Beginn dieses Artikels behandelt.)
Beweis:
Sei   eine  -stellige Zahl. Dann ist die Summe   der 3. Potenzen ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal, wenn die Zahl   ausschließlich aus  er besteht. Die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern ist somit maximal  .
  • Sei nun   eine mindestens  -stellige Zahl. Dann ist   mit  . Ein einzelner obiger Iterationsschritt führt dann auf eine Zahl   (die Ungleichung   stimmt für  ). Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl führt, die weniger Stellen hat.
  • Sei nun  . Die maximale Summe   der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei   und beträgt  . Das bedeutet, dass jede Zahl   durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl   führt, für welche   gilt.  
  • Sei   (man betrachte also die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl  ). Dann münden verallgemeinerte nichtglückliche Zahlen entweder in eine der folgenden Konstanten:
  oder   oder   oder  
oder in einen der folgenden vier Zykeln:
  (Zykel der Länge  )
  (Zykel der Länge  )
  (Zykel der Länge  )
  (Zykel der Länge  )
Beweis:
Wegen voriger Eigenschaft muss man nur alle Zahlen bis   kontrollieren, wozu ein nicht besonders schneller Rechner ausreicht. Man erkennt, dass verallgemeinerte nichtfröhliche Zahlen in eine der obigen acht Möglichkeiten münden.
Für die ersten vier Konstanten gilt:
  ergibt tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
  ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
  ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
  ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
Für die weiteren vier Zykel gilt:
  ergibt einen Zykel der Länge  .
  ergibt ebenfalls einen Zykel der Länge  .
  ergibt einen Zykel der Länge  .
  ergibt einen Zykel der Länge  .  
  • Die einzigen Zahlen, die gleich der Summe der 3. Potenzen ihrer Ziffern sind, sind die folgenden Zahlen:
0, 1, 153, 370, 371, 407 (Folge A046197 in OEIS)
Beweis:
Gäbe es noch weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft, so würde es bei der vorigen Eigenschaft noch weitere Varianten geben, dass verallgemeinerte nichtfröhliche Zahlen in speziellen Konstanten münden. Die vorige Eigenschaft gibt aber nur die Konstanten   und   an. Die beiden Zahlen   und   haben trivialerweise diese Eigenschaft.  
  • Sei   (man betrachte also die Summe der 4. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl  ). Dann münden verallgemeinerte nichtglückliche Zahlen   entweder in eine der folgenden Konstanten:
  oder   oder  
oder in einem der beiden folgenden Zykel:
  (Zykel der Länge  )
  (Zykel der Länge  )
Beweis:
Die Zahlen zwischen 1 und 100 kann man mit einem Computer schnell kontrollieren und stellt tatsächlich fest, dass sie in den folgenden Zahlen bzw. Zykel münden:
  ergibt tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
  ergibt ebenfalls eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
  ergibt ebenfalls eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
 
  ergibt einen Zykel der Länge  .
  ergibt einen Zykel der Länge  .  

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hao Pan: On consecutive happy numbers. (PDF) Cornell University, 2006, S. 1–8, abgerufen am 9. Dezember 2018.
  2. Chris K. Caldwell: 10150006 + 7426247·1075000 + 1. The Largest Known Primes, abgerufen am 9. Dezember 2018.
  3. Liste der größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 24. Dezember 2018.
  4. Chris K. Caldwell: 242643801 − 1. The Largest Known Primes, abgerufen am 14. Dezember 2018.
  5. N. J. A. Sloane: Smallest unhappy number in base n (or 0 if no unhappy numbers in the base) – Comments. OEIS, abgerufen am 9. Dezember 2018.