Hauptmenü öffnen

Duodezimalsystem

Zahlsystem mit der Basis Zwölf
Duodezimalziffern gemäß der Dozenal Society of Great Britain (Font: Symbola 8.0[1])

Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das „12-adische Stellenwertsystem“. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis zehn) gibt es zwölf Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab zwölf eine zweite Stelle benötigt wird.

Im Duodezimalsystem bedeutet die Zahl 10 nicht zehn, sondern 1 Dutzend + 0 (also zwölf) und die Zahl 0,1 bedeutet nicht ein Zehntel, sondern ein Zwölftel.

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Keine Zahl kleiner als Zwölf hat eine so gute Teilbarkeit. Die Zwölf hat vier nicht-triviale Teiler, 2, 3, 4 und 6, sie ist eine hochzusammengesetzte Zahl. Das hat praktische Vorteile bei der Verwendung als Größeneinteilung. Die Zehn hat dagegen nur zwei nicht-triviale Teiler, 2 und 5.

Die fünf elementarsten Brüche (14, 13, 12, 23 und 34) haben im Duodezimalsystem alle eine kurze, endliche Darstellung:

  • 14=0,3(12)
  • 13=0,4(12)
  • 12=0,6(12)
  • 23=0,8(12)
  • 34=0,9(12)

Im Dezimalsystem haben diese Brüche die Darstellungen:

  • 14=0,25
  • 13=0,33333…
  • 12=0,5
  • 23=0,66666…
  • 34=0,75

Das Duodezimalsystem wurde vereinzelt als das „optimale Zahlensystem“ bezeichnet.[2]

VerwendungBearbeiten

Es gibt nur wenige Kulturen, von denen ein Duodezimalsystem bekannt ist. Die Einteilung und die Gruppierung in 12 ist zwar kulturell sehr weit verbreitet und zeigt sich etwa im Begriff des Dutzends, des Gros (12 Dutzend), in den zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie, und der Einteilung alter Maßeinheiten (z. B. bei Zoll und Fuß). Sie ist jedoch noch kein Hinweis auf ein Duodezimalsystem.

Bei den römischen Zahlen basieren die Brüche auf der Basis 12. Der römische Name für ein Zwölftel ist Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtsmaß „Unze“ wurde.

Die gesprochenen Zahlen der Plateau-Sprachen in Nigeria stellen echte Duodezimalsysteme dar.[3] Auch die nepalesische Sprache Chepang und die Sprache Mahl der indigenen Bevölkerung des Atolls Minicoy verwenden ein Duodezimalsystem.

Im Deutschen und den anderen germanischen Sprachen sind die Wörter für Elf und Zwölf gegenüber den folgenden Zahlwörtern abweichend gebildet. Damit liegt zwar kein Duodezimalsystem vor, es wird aber als linguistischer Hinweis gedeutet, dass sich möglicherweise bei der Bildung der Zahlwörter das Dezimalsystem der Indogermanen mit einem zuvor maßgeblichen Duodezimalsystem vermischt hat.

Gruppierungen, die in moderner Zeit die Bekanntheit und Verwendung des Duodezimalsystems fördern wollen, sind unter anderem die Dozenal Society of America (gegründet 1944) und die Dozenal Society of Great Britain (gegründet 1959).

Duodezimales Zählen mit FingergliedernBearbeiten

Im gewohnten Dezimalsystem (10er-System) zählt man mit den zehn Fingern (2 mal 5) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf, zweihändig sogar zur Zahl 60 führt.[4] (Siehe ausführlich Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern)

Das Duodezimalzählsystem an einer Hand ist bezeugt in Indien, Indochina, Pakistan, Afghanistan, im Iran, in der Türkei, im Irak und in Ägypten.

Darstellung von ZahlenBearbeiten

ZiffernBearbeiten

Im Duodezimalsystem werden zwei Ziffern mehr als im Dezimalsystem benötigt. Die Dozenal Society of Great Britain verwendet zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch die von Isaac Pitman vorgeschlagenen[5] Zeichen 2 für Zehn und 3 für Elf (die um 180 Grad gedrehten Ziffern 2 und 3).

Die Dozenal Society of America verwendet stattdessen   für Zehn und   für Elf. Wo diese Zeichen nicht zur Verfügung stehen, können hilfsweise X und E geschrieben werden. Die Zahl mit dezimaler Darstellung 278 wird somit duodezimal als „1E2“   geschrieben.

Darstellung auf ComputersystemenBearbeiten

Die Zeichen   und   sind in Unicode seit Version 8.0.0 (Juni 2015) als ↊ U+218A turned digit two und ↋ U+218B turned digit three im Block Zahlzeichen auf Grundlage eines Vorschlags von 2013[6] als Sonderzeichen ohne intrinsischen numerischen Wert enthalten.

Diese Zeichen können in LaTeX durch Laden des Pakets \usepackage{tipx} als \textturntwo bzw. \textturnthree dargestellt werden.[7]

Diese Zeichen werden auch in diesem Artikel verwendet (bzw., solange sie noch nicht in genügend vielen verbreiteten Schriftarten enthalten sind, die ähnlichen Unicode-Zeichen ᘔ (U+1614 canadian syllabics carrier ju) und Ɛ (U+0190 latin capital letter open e)).

Die Zeichen   und   sind hingegen in keinem allgemein verfügbaren Zeichenstandard vorhanden (Stand Juni 2015). Ein Antrag zur Aufnahme in Unicode[6] wurde im Juni 2013 betreffs dieser Zeichen nicht angenommen. Behelfsweise können sie durch die entfernt ähnlichen Zeichen   (U+1D4B3 mathematical script capital x) und ℰ (U+2130 script capital e) dargestellt werden. (Das griechische Chi „χ“ eignet sich weniger, da es als Kleinbuchstabe mit Unterlänge nicht bündig mit anderen Ziffernzeichen steht.)

Viele Computerprogramme für die Umrechnung in verschiedene Basen benutzen der Einfachheit halber die Buchstaben A und B für Zehn und Elf in Anlehnung an den Gebrauch im Hexadezimalsystem.

Ganze und rationale ZahlenBearbeiten

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 234 nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch:

 

Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin.

Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie

1/2 = 0,6(12)
1/3 = 0,4(12)
1/4 = 0,3(12)
1/6 = 0,2(12)
1/8 = 0,16(12)
1/9 = 0,14(12)
1/12 = 0,1(12)

oder periodisch, wie

1/5 = 0,2497(12)
1/7 = 0,186ᘔ35(12)
1/10 = 0,1 2497(12)
1/11 = 0,1(12)

Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen.

GrundrechenartenBearbeiten

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Kleines Einmaleins im Duodezimalsystem
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ɛ 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ɛ 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1ᘔ 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 13 18 21 26 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 36 41 48 53 5ᘔ 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
18 26 34 42 50 5ᘔ 68 76 84 92 ᘔ0
Ɛ Ɛ 1ᘔ 29 38 47 56 65 74 83 92 ᘔ1 Ɛ0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ᘔ0 Ɛ0 100

Umrechnen in andere StellenwertsystemeBearbeiten

Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:

Duodezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ɛ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1ᘔ 20
Dezimalsystem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Vom Duodezimalsystem ins DezimalsystemBearbeiten

Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:

234(12) = 2 · 122 + 3 · 121 + 4 · 120 = 288 + 36 + 4 = 328.

Vom Dezimalsystem ins DuodezimalsystemBearbeiten

Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird.

Im Beispiel der 328(10) sähe das so aus:

328: 12 = 27 Rest 4,
 27: 12 = 2 Rest 3,
  2: 12 = 0 Rest 2.

Die gesuchte Ziffernfolge liest man nun von unten nach oben an den Resten ab: 234(12).

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Duodezimalsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. George Douros: Unicode Fonts for Ancient Scripts. Abgerufen am 19. Juni 2015.
  2. George Dvorsky: Why We Should Switch To A Base-12 Counting System. 18. Januar 2013. Abgerufen am 21. Dezember 2013.
  3. Gerhardt, Ludwig (1987): Some remarks on the numerical systems of Plateau languages. In: Afrika und Übersee 70: 19–29.
  4. Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Lizenzausgabe Zweitausendeins Auflage. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 978-3-86150-704-8, Das Sexagesimalsystem, S. 69–75 u. 90–92 (französisch: Histoire universelle des chiffres. Übersetzt von Alexander von Platen).
  5. Isaac Pitman (Hrsg.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860.
  6. a b Karl Pentzlin: Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS. (PDF; 276 kB) ISO/IEC JTC1/SC2/WG2, Document N4399, 30. März 2013, abgerufen am 29. Juni 2013 (englisch).
  7. Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. (PDF, 8,7 MB) 19. Januar 2017, S. 17, archiviert vom Original am 28. September 2017; abgerufen am 28. September 2017 (englisch, Verlinkung des Originals führt zu einem Spiegelserver des CTAN; zum Archivlink vergleiche Datei:Comprehensive LaTeX Symbol List.pdf).