Der Begriff der Fakultätenreihe (englisch factorial series) entstammt der Mathematik. Die Fakultätenreihen zählen zu den Funktionenreihen und stehen in enger Verwandtschaft mit den Dirichletreihen. Sie sind nicht zuletzt von besonderer Bedeutung beim Studium von Differenzengleichungen.

Definition

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Ist eine Folge   von reellen oder komplexen Zahlen gegeben, so ist die Funktionenreihe

 

mit   die (zu der Folge   gehörige) Fakultätenreihe.[1][2][3]

Dabei wird von manchen Autoren angenommen, dass das Anfangsglied   ist.[4][5] Andere Autoren lassen dagegen sogar zu, dass zu obigem   noch ein reelle oder komplexe Konstante   hinzuaddiert wird und bezeichnen die so gegebene Funktionenreihe   ebenfalls als Fakultätenreihe.[6] Alle diese Auffassungen des Begriffs der Fakultätenreihe sind im Wesentlichen gleichwertig.

Konvergenzverhalten

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Über das Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen geben einige Sätze Auskunft, welche nicht zuletzt auf Mathematiker wie Edmund Landau, Johan Ludwig Jensen, Salvatore Pincherle und Niels Erik Nørlund zurückgehen.

Der Satz von Landau

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Dieser von Edmund Landau gefundene Satz bringt die Frage nach dem Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen in Zusammenhang mit der entsprechenden Frage für die Dirichletreihen. Er besagt nämlich:[7][4][8]

Die oben beschriebene Fakultätenreihe   und die zugehörige Dirichletreihe
 
haben innerhalb des Gebietes   das gleiche Konvergenzverhalten. Dabei gilt im Einzelnen:
(I) Die beiden Reihen   und   sind für ein und dieselben   konvergent und divergent.
(II) Ist   auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe   gleichmäßig konvergent, so gilt dies auch für   und nur dann.

Die Sätze von Jensen und Pincherle

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Der Satz von Jensen (nach Johan Ludwig Jensen) behandelt die Frage nach der Beschaffenheit des Konvergenzbereichs der Fakultätenreihen. Er besagt folgendes:[9][10]

Zu einer Fakultätenreihe   gibt es stets eine – auch als Konvergenzabszisse[11] bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl   derart, dass   für jede komplexe Zahl des Gebietes   divergiert und für jede komplexe Zahl des Gebiets   konvergiert. Das Konvergenzgebiet[12] einer Fakultätenreihe ist also eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden.[13]

Der Satz von Pincherle (nach Salvatore Pincherle) behandelt die entsprechende Frage in Hinblick auf die absolute Konvergenz der Fakultätenreihen und lässt sich angeben wie folgt:[9][14]

Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist ebenfalls eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden. Zu einer Fakultätenreihe   gibt es also stets eine – auch als Abszisse der absoluten Konvergenz[15] bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl   derart, dass   im Gebiet   absolut konvergent ist. Dabei ist   für jede komplexe Zahl   mit   zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite des zwischen den beiden Abzissen gelegenen unendlichen Streifens ist höchstens  ; es gilt also die Ungleichung  .

Der Satz von Nørlund

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Diesen Satz hat Niels Erik Nørlund gefunden und damit in der Frage der gleichmäßigen Konvergenz von Fakultätenreihen Klarheit geschaffen. Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[16][17]

Die Fakultätenreihe   konvergiere in einem Punkte   . Weiterhin sei eine beliebige positive Zahl   gegeben und dazu das im Punkte   verankerte, nach rechts geöffnete Winkelfeld  , dessen beiden Schenkel durch zwei  -Radiant-Drehungen aus den beiden von   ausgehenden, zur reellen Achse senkrechten Halbgeraden hervorgehen.[18]
Dann gilt:
  ist auf dem Winkelfeld   stets gleichmäßig konvergent.

Analogon

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Wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II ausführt, sind – einem Satz von Konrad Knopp zufolge – hinsichtlich des Konvergenzverhaltens die Beziehungen zwischen einer Fakultätenreihe und ihrer Dirichletreihe ähnlich denen, welche zwischen einer Lambert-Reihe und der dieser Lambert-Reihe zugehörigen Potenzreihe bestehen.[19]

Holomorphie

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Die durch Fakultätenreihen gegebenen komplexen Funktionen weisen – in gleicher Weise wie die durch die zugehörigen Dirichletreihen gegebenen komplexen Funktionen – einige Regularitätseigenschaften auf. Dies beruht auf einer Verknüpfung des weierstraßschen Konvergenzsatzes mit dem Satz von Nørlund.[20] Insgesamt gilt der folgende Satz:[21][22][23]

Zu einer wie oben gegebenen Fakultätenreihe wird durch die Zuordnung   auf der Konvergenzhalbebene   eine holomorphe Funktion definiert. Diese (ebenfalls mit   bezeichnete Funktion) hat die folgende Ableitungsfunktion:
   .

Weitere Darstellungen

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Fakultätenreihen lassen sich auch mit Hilfe der Gammafunktion und der eulerschen Betafunktion darstellen. Es gilt nämlich:[3][24]

Eine wie oben gegebene Fakultätenreihe erfüllt stets die Gleichungen:
 

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. E. Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 151 ff
  2. L. M. Milne-Thomson: The Calculus of Finite Differences. 1981, S. 271 ff
  3. a b Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Kapitel XVII 1965, S. 237 ff
  4. a b G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 322
  5. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 1964, S. 462 ff
  6. Niels Erik Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. 1924, S. 256 ff
  7. E. Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 167
  8. Knopp, op. cit., S. 462
  9. a b Nielsen, op. cit., S. 245
  10. L. M. Milne-Thomson, op. cit., S. 275 ff
  11. (englisch abscissa of convergence)
  12. (englisch region of convergence)
  13. Im Grenzfall   ist das Konvergenzgebiet die leere Menge. Dennoch greift man auch hier den Terminus Gebiet zurück. Genauso spricht man in dem anderen Grenzfall  , obwohl hier das Konvergenzgebiet das gesamte Gebiet   ist, also eine unendlich oft punktierte Ebene, auch von einer Halbebene.
  14. Milne-Thomson, op. cit., S. 276
  15. (englisch abscissa of absolute convergence)
  16. Nörlund, op. cit., S. 258
  17. L. M. Milne-Thomson, op. cit., S. 284–287
  18. Die Winkel werden hier im Bogenmaß angegeben. Der Punkt   ist sowohl Drehzentrum der beiden Drehungen als auch Scheitelpunkt des durch das Winkelfeld bestimmten Winkels, welcher   beträgt. Bei den beiden Drehungen wird die untere Halbgerade   durch Drehung um den Winkel   in mathematisch positiver Drehrichtung in den unteren Schenkel des Winkelfeldes überführt und die obere Halbgerade   durch Drehung um den Winkel   in mathematisch negativer Drehrichtung in den oberen Schenkel.
  19. Fichtenholz, op. cit., S. 323
  20. Der Satz von Nørlund zieht nach sich, dass eine Fakultätenreihe in jedem Punkt ihres Konvergenzgebiets lokal gleichmäßig konvergent ist.
  21. E. Landau: Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 39, S. 7
  22. Nörlund, op. cit., S. 258, S. 262 ff
  23. Milne-Thomson, op. cit., S. 287, S. 297
  24. Milne-Thomson, op. cit., S. 287–288