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Die Bloch-Kugel (nach ihrem Entwickler Felix Bloch) ist eine grafisch-geometrische Darstellung in der Quantenmechanik. Sie stellt die Überlagerungen der Zustände eines Zweizustandssystems (beispielsweise eines Qubits) als Punkte auf einer Kugeloberfläche dar.

Anschauliche DarstellungBearbeiten

 
Bloch-Kugel

Die Vektoren, die zu den Polen der Bloch-Kugel zeigen, sind die Vektoren der vorgegebenen Basis. Punkte, die auf dem Äquator der Bloch-Kugel liegen, entsprechen jenen Zuständen, die zu gleichen Anteilen aus beiden Basiszuständen bestehen. Die Punkte, die auf der oberen Halbkugel liegen, setzen sich zum größeren Teil aus dem Basiszustand des oberen Basisvektors zusammen, und Punkte auf der unteren Halbkugel setzen sich zu einem größeren Teil aus dem unteren Basiszustand zusammen.

In der rechten Abbildung sind eingezeichnet:

  • die Standardbasis-Vektoren   (für Spin-Systeme wählt man gewöhnlicherweise  )
  • der Bloch-Vektor  , der wie folgt definiert ist:
 

Mit   und   erhält man so alle Zustände, bei denen die Betragsquadrate der Koeffizienten als Wahrscheinlichkeiten mit der Summe Eins interpretiert werden können. Der Koeffizient bei   wird auf reelle Werte eingeschränkt, um den physikalisch nicht vorhandenen Freiheitsgrad einer gemeinsamen komplexen Phase beider Komponenten zu eliminieren.

Der Bloch-Vektor entspricht dem Eigenvektor   des Spinoperators   in  -Richtung, wobei

  • die Richtung   im realen Anschauungsraum durch die Winkel   vorgegeben wird und
  •   der Spinoperator-Vektor ist.

Der Eigenvektor   ist kein Vektor im Anschauungsraum, in dem z. B. die Richtung   lebt. Stattdessen ist er Element des Raumes, der durch die Eigenvektoren des Operators   aufgespannt wird.

ZusammenhängeBearbeiten

Mit der Riemannschen ZahlenkugelBearbeiten

Die Linearkombination der den beiden Polen zugeordneten Zustandsvektoren (nachfolgend durch   und   bezeichnet) kann, weil es bei einem Quantenzustand nicht auf die Phase ankommt und der Betrag des Ergebnisses auf eins normiert wird, mit einer einzigen komplexen Zahl   dargestellt werden:

 

Man beachte, dass der Zähler dieses Bruches ein Vektor ist, der Nenner aber nur eine für die Normierung erforderliche Zahl.

Die Bloch-Kugel ist nun die Riemannsche Zahlenkugel für die komplexe Zahl  .

Mit der Poincaré-KugelBearbeiten

Eng verwandt mit der Bloch-Kugel ist die Poincaré-Kugel, die zur Darstellung der Polarisation von Transversalwellen (z. B. Licht) und für die mean-field Beschreibung größerer Spinsysteme verwendet wird.

Reine und gemischte ZuständeBearbeiten

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und bilden zusammen mit der Einheitsmatrix   eine Basis des Vektorraums der komplexen  -Matrizen. Die Dichtematrix eines Qubits kann bezüglich einer festen Basis immer dargestellt werden als

 

Fasst man   als Vektor im   auf, dann ist   immer dann positiv semidefinit, also eine zulässige Dichtematrix, wenn   in der abgeschlossenen Einheitskugel des   liegt. Den Vektor   nennt man den Bloch-Vektor. Der Zustand ist genau dann rein, wenn der Bloch-Vektor die Länge Eins hat, also auf der Kugeloberfläche liegt.

Zwei reine Zustände sind orthogonal, wenn ihre Bloch-Vektoren sich an genau gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel befinden. In der Mitte der Blochkugel liegt der vollständig gemischte Zustand, dessen Blochvektor der Nullvektor ist.

Bildet man eine Mischung aus einem Anteil   des Zustands mit Bloch-Vektor   und einem Anteil   des Zustands mit Bloch-Vektor  , dann wird das Gemisch durch den Bloch-Vektor   beschrieben. Man kann also alle Zustände als Konvexkombination reiner Zustände schreiben, und die Bloch-Kugel zeigt auch, dass der Zustandsraum eine konvexe Menge ist, deren Extremalpunkte die reinen Zustände sind.

Geometrische DeutungBearbeiten

Sind   und   Spinzustände zur Spinquantenzahl 1/2, etwa Parallelstellung und Antiparallelstellung eines Elektrons im Magnetfeld, dann zeigt im Überlagerungszustand der Erwartungswert des (vektoriellen) Spinoperators in die Richtung, die der zugeordnete Punkt auf der Bloch-Kugel andeutet.

WeblinksBearbeiten