Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus
,
der von der durch
gegebenen Abbildung
induziert wird. (Die Wahl von als Basispunkt ist willkürlich, Wahl eines anderen Basispunktes würde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren.) Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in .
Unter dem Isomorphismus
entspricht ein 4-Tupel von Elementen aus seinem Doppelverhältnis. Entsprechend bildet also der Homomorphismus
ein 4-Tupel auf das Doppelverhältnis der 4 Punkte ab.
und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung
.
Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung, die die Funktionalgleichung
für alle
erfüllt. Man kann die Definition der Bloch-Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe, auf der der Bloch-Wigner-Dilogarithmus wohldefiniert ist. Verallgemeinerungen dieses Ansatzes für höhere Polylogarithmen führen zu Definitionen höherer Bloch-Gruppen.
Bloch-Gruppe und Homologie der linearen GruppeBearbeiten
Anwendung des durch die Wirkung von auf der projektiven Geraden definierten kanonischen Homomorphismus (siehe die geometrische Interpretation oben) liefert einen Isomorphismus[4]
Bezeichne die Milnorsche K-Theorie, dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz
mit K3(K)ind = coker(K3M(K) → K3(K)) und Tor(K*, K*)~ die eindeutige nichttriviale Erweiterung von Tor(K*, K*) mit Z/2, oder äquivalent
,
wobei die Gruppe der Einheitswurzeln von K und die nichttriviale Erweiterung von mit (bzw. in Charakteristik 2: ) bezeichnet.
Bloch-Gruppe und hyperbolische GeometrieBearbeiten
Für ist die von den nicht-ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe. Das einem Simplex unter dem Isomorphismus
entsprechende Element ist das Doppelverhältnis der 4 Ecken, der Bloch-Wigner-Dilogarithmus gibt das Volumen des idealen Simplexes.
Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Sei eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien die Doppelverhältnisse der Simplizes, dann ist
ein Element von (die Dehn-Invariante ist Null) und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit, aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch-Wigner-Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann.
Bloch-Gruppe und sekundäre charakteristische KlassenBearbeiten
Mittels der Bloch-Gruppe und des Rogers-Dilogarithmus kann man explizite Formeln für die sekundären charakteristische Klassen und angeben, wobei man für den Realteil von den erweiterten Rogers-Dilogarithmus und die erweiterte Bloch-Gruppe benötigt.
Spencer Bloch: Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-2114-8
Johan Dupont, Chi Han Sah: Scissors congruences. II. J. Pure Appl. Algebra 25 (1982), no. 2, 159–195.
Andrei Suslin: K3 of a field, and the Bloch group. (Russisch, ins Englische übersetzt in: Proc. Steklov Inst. Math. 1991, no. 4, 217–239.) Galois theory, rings, algebraic groups and their applications (russisch). Trudy Mat. Inst. Steklov. 183 (1990), 180–199, 229.
Johan Dupont: Scissors congruences, group homology and characteristic classes. Nankai Tracts in Mathematics, 1. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001. ISBN 981-02-4507-6; 981-02-4508-4
↑Die Folge ist eine Umformulierung eines unveröffentlichten Resultats von Bloch und Wigner, ein Beweis findet sich in Dupont-Sah, op.cit., siehe auch Dupont, op.cit., Theorem 8.19