Polylogarithmus

mathematische Funktion

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und RekursionenBearbeiten

 
Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von  :

 
 
 
 
 
 

Formal kann man   mit der (für alle   divergierenden) Reihe   definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte von   kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Für die drei kleinsten positiven Werte von   sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle   angegeben:

 
 
 

  ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für größeres   sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

 

und

 

mit der dirichletschen  -Funktion.[1]

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
       
     

AbleitungBearbeiten

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

 

IntegraldarstellungBearbeiten

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen   durch

 

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist   die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Mehrdimensionale PolylogarithmenBearbeiten

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:[2]

 

Lerchsche Zeta-FunktionBearbeiten

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

 

Nielsens verallgemeinerte PolylogarithmenBearbeiten

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:[3]

 

Es gilt:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).