Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index $j$ definiert als

F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t

wobei $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2 Bearbeiten

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral $F_{1/2}(x)$ berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen $t:={\tfrac {E-E_{c}}{kT}}$ sowie $x:={\tfrac {\mu -E_{c}}{kT}}$ , sodass $\mathrm {d} E=kT\,\mathrm {d} t$ :

n=N\int _{E_{c}}^{\infty }{\frac {\sqrt {E-E_{c}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,\mathrm {d} E=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {t}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,\mathrm {d} t=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}F_{1/2}(x)

Näherung für F_1/2 Bearbeiten

Das Integral $F_{1/2}(x)$ lässt sich für verschiedene Wertebereiche von $x$ näherungsweise lösen:

{\tilde {F}}_{1/2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{-x}+0{,}27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1{,}3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{3/4}&{\text{wenn }}\ \,1{,}3\leq x<\infty \end{cases}}

Der relative Fehler dieser Näherungslösung $\left({\tilde {F}}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)$ beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei $x=0$ und bei $x=1{,}3$ ). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich $F_{1/2}(x)$ durch zwei Funktionen annähern: