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Die Steifigkeit ist eine Größe in der Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen elastische Verformung durch eine Kraft oder ein Moment (Biegemoment oder Torsionsmoment, je nach Beanspruchung). Entsprechend gibt es verschiedene Arten von Steifigkeiten: Dehn-, Biege- und Torsionssteifigkeit.

Die Steifigkeit eines Bauteils hängt nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffs (dem Elastizitätsmodul), sondern entscheidend auch von der Geometrie des Bauteils ab.

Die Steifigkeit gilt im linearen (elastischen) Bereich, also nur für kleine Verformungen, bei denen die Verformung noch proportional zur wirkenden Kraft ist.

Die Steifigkeit ist nicht mit der Festigkeit zu verwechseln. Diese ist ein Maß für die Grenz-Belastung (Elastizitätsgrenze) eines Werkstoffs, also für die Spannung, an der die elastische in eine plastische Verformung übergeht oder an der es zum Bruch des Materials kommt.

Für schlanke Körper mit einheitlicher Querschnittsfläche (in Größe und Form) über die Länge kann mit Steifigkeit auch die relative, auf die Länge bezogene Steifigkeit gemeint sein. Der Kehrwert der Steifigkeit wird Nachgiebigkeit genannt.

Für kompliziertere Geometrien ist die Trennung der Steifigkeiten nach Belastungsarten oft nicht möglich. So kann eine Belastung auf Zug auch zu einer Verwindung führen, z. B. bei einer Helix. Die (absolute) Steifigkeit ist dann ein Tensor.

Inhaltsverzeichnis

Relative SteifigkeitenBearbeiten

DehnsteifigkeitBearbeiten

Die Dehnsteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul   des Werkstoffs in Belastungsrichtung und der Querschnittsfläche   senkrecht zur Belastungsrichtung (unabhängig von der Form des Querschnitts):

  zum Beispiel in  

Diese Formulierung gilt für freie Querkontraktion des Querschnitts; bei behinderter Querkontraktion wird statt des Elastizitätsmoduls der querkontraktionsbehinderte Modul eingesetzt.

Die Längsdehnung   des Körpers ist proportional zur angreifenden Normalkraft   und umgekehrt proportional zur Dehnsteifigkeit in Längsrichtung (Längssteifigkeit):

 

mit der Normalspannung  

Wie stark die absolute Längenänderung   eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last (Zugkraft) ist, hängt neben der Dehnsteifigkeit auch von seiner Länge ab, s. u. absolute Steifigkeiten.

SchubsteifigkeitBearbeiten

Die Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul   des Werkstoffs und der Querschnittsfläche  :

  zum Beispiel in  

Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor   berücksichtigt dabei die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung  . Oft wird die Schubsteifigkeit auch mithilfe der Schubfläche   ausgedrückt.

Die Schubverzerrung   des Körpers ist proportional zur angreifenden Querkraft   und umgekehrt proportional zur Schubsteifigkeit:

 

BiegesteifigkeitBearbeiten

Die Biegesteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul des Werkstoffs und dem Flächenträgheitsmoment   des Querschnitts (das wiederum wesentlich von der Form des Querschnitts abhängt):

  zum Beispiel in  

Die Krümmung   des Körpers ist proportional zum angreifenden Biegemoment   und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit:

 

Wie stark die absolute Durchbiegung bzw. Absenkung eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last (Biegemoment) ist, hängt neben der Biegesteifigkeit auch von seiner Länge und den Lagerungsbedingungen ab.

TorsionssteifigkeitBearbeiten

Die Torsionssteifigkeit (auch mit Verwindungssteifigkeit bezeichnet) ist das Produkt aus dem Schubmodul   des Werkstoffs und dem Torsionsträgheitsmoment  :

  zum Beispiel in  

Das Torsionsträgheitsmoment   ist auf die Achse bezogen, um die der Körper tordiert wird. Oft wird irrtümlicherweise behauptet, es entspräche dem polaren Flächenträgheitsmoment   eines Querschnitts. Das gilt aber in Wirklichkeit ausschließlich für Kreis- und geschlossene Kreisring-Querschnitte. Ansonsten lässt sich für das Torsionsträgheitsmoment nur in besonderen Fällen eine geschlossene Formel angeben.

Die Drillung oder Verwindung   des Körpers (Verdrehung pro Längeneinheit) ist proportional zum angreifenden Torsionsmoment   und umgekehrt proportional zur Torsionssteifigkeit:

 

Um welchen absoluten Winkel   ein Körper unter einer bestimmten Last verdreht wird, hängt neben dem Torsionsträgheitsmoment auch von seiner Länge und den Lagerungsbedingungen ab.

FederkonstanteBearbeiten

In der Praxis ist oft nicht die Dehnung  , sondern die absolute Längenänderung   relativ zur wirkenden Kraft von Interesse. Daher wird bei Federn die Federkonstante durch das Verhältnis der notwendigen Kraft   für eine bestimmte Auslenkung   beschrieben:

 

Für einen einheitlichen Querschnitt ist die Federkonstante gleich der Steifigkeit des Federquerschnitts dividiert durch die Länge der Feder:

 

Daraus folgt, dass sich die Federkonstante halbiert, wenn die Länge der Feder verdoppelt wird.

Beispiel: Ein Zugstab mit dem Querschnitt A = 100 mm2 und einem Elastizitätsmodul von 210.000 N/mm2 hat eine (Dehn-)Steifigkeit von E·A = 2,1·107 N. Ist der Stab L = 100 mm lang, so beträgt seine Federkonstante E·A / L = 210.000 N/mm.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit. WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM; Google Books)
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik, Springer Verlag, 10., neu bearbeitete Auflage, 2009, ISBN 978-3-642-00565-7
  • Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 102f, ISBN 978-3-433-03134-6.