Der Satz von Paley, benannt nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley, ist ein mathematischer Lehrsatz über die Konstruktion von Hadamard-Blockplänen mit Hilfe der Methoden der Gruppentheorie. Er liegt als solcher im Übergangsfeld von Kombinatorik, Geometrie und Algebra.[1][2][3][4][5]

Blockpläne, welche nach dem Satz von Paley konstruierbar sind, werden manchmal auch als Paley-Blockpläne (engl. Paley designs) bzw. Paley-Hadamard-2-Blockpläne (engl. Paley-Hadamard 2-designs) bezeichnet.[6][7]

Formulierung des Satzes

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Für eine Primzahlpotenz   der Gestalt  [8] zu einer natürlichen Zahl   gilt stets:

(I) Es existiert ein  -Blockplan, also ein symmetrischer Blockplan mit den Parametern  ,  ,  ,  .
(II) Die zugehörige Inzidenzstruktur   lässt sich dabei in folgender Weise konstruieren:
  1. Den zu   gehörenden Galois-Körper   wählt man als Punktmenge von  ; das heißt man wählt  , also die Körperelemente als die Punkte der Inzidenzstruktur.
  2. Für die Konstruktion des Blocksystems   geht man aus von der multiplikativen Gruppe   des Galoiskörpers und betrachtet hier die Untergruppe   der Quadrate  , also  . Dann setzt man  .
  3. Die Inzidenzrelation   ist die Elementrelation, also  .

Beispiele von Paley-Blockplänen

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Die beiden kleinsten Beispiele von Paley-Blockplänen sind diejenigen für die beiden Primzahlen   und  .[9]

So ergibt für   auf   der  -Blockplan, dessen geometrische Struktur der der Fano-Ebene entspricht. Die oben beschriebene Untergruppe der Quadrate von   ist  .[10][11]

Für   ergibt sich auf   der  -Blockplan. Die Untergruppe der Quadrate von   ist hier  .

Weitere Beispiele ergeben sich aus anderen Artikeln der Kategorie:Blockplan:

Anmerkungen zum Beweis des Satzes

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Der Beweis des Satzes von Paley lässt sich führen mit Hilfe der Ungleichung von Fisher und der Tatsache, dass eine spezielle Permutationsgruppe   existiert, welche 2-fach homogen auf   operiert.

Wie sich nämlich zeigt, lässt sich so das Blocksystem   auch noch auf andere Weise beschrieben, nämlich als Menge der  -Bilder von   über alle  , also in der Form  .

Man gewinnt die Permutationsgruppe   dabei aus der obigen Untergruppe  , indem man diejenigen Permutationen   betrachtet, welche die Form   haben, wobei   und   fest gewählte Elemente sind. All diese Permutationen, versehen mit der üblichen Verkettung, bilden dann  .

Es lässt sich nun zeigen, dass die Untergruppe   die Ordnung   hat, während sich für die Permutationsgruppe   die Ordnung   ergibt. Also hat   ungerade Ordnung und enthält nach dem Satz von Lagrange kein Element der Ordnung 2. Daher ist  , woraus dann die 2-fache Homogenität von   folgt.[12]

Verwandtes Resultat

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Auf Raymond Paley geht ein weiteres Resultat über Hadamard-Blockpläne zurück:[13][14]

Zu jeder Primzahlpotenz   der Gestalt       existiert ein Hadamard-Blockplan mit den Parametern  ,  ,  ,  , also ein symmetrischer  -Blockplan.

Aus diesem Resultat ergibt sich beispielsweise die Existenz folgender Hadamard-Blockpläne:

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. A. Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. 1982, S. 104–108.
  2. H. Lüneburg: Kombinatorik. 1971, S. 75 ff.
  3. T. Beth, D. Jungnickel, H. Lenz: Design Theory. 1985, S. 70 ff., 262, 264.
  4. D. R. Hughes, F. C. Piper: Design Theory. 1985, S. 107 ff.
  5. K. Jacobs, D. Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik. 2004, S. 251 ff.
  6. P. Dembowski: Finite Geometries. 1968, S. 97.
  7. D. R. Hughes, F. C. Piper: Design Theory. 1985, S. 107, 180.
  8. Also  .
  9. T. Beth, D. Jungnickel, H. Lenz: Design Theory. 1985, S. 262, 264.
  10. Wegen der Unterschiede in der Darstellung in dem zugehörigen Hauptartikel beachte man den Hinweis auf den Singer-Zyklus.
  11. Auch alle Primzahlpotenzen der Gestalt      , mit einer Basisprimzahl   liefern stets Paley-Blockpläne. So sieht man etwa für  , also für die Primzahlpotenzen   , dass ein  -Blockplan, ein  -Blockplan und auch ein  -Blockplan existiert. Siehe auch
  12. Der wesentliche Beweisschritt besteht hier darin zu zeigen, dass allein die identische Abbildung von   eine beliebige 2-elementige Teilmenge festlässt, dass also für   und       die Gleichung   stets   nach sich zieht; s. A. Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. 1982, S. 106. Und auch H. Lüneburg: Kombinatorik. 1971, S. 79.
  13. K. Jacobs, D. Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik. 2004, S. 252.
  14. T. Beth, D. Jungnickel, H. Lenz: Design Theory. 1985, S. 70–72.