Reidemeister-Torsion

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Reidemeister-Torsion (auch Reidemeister-Franz-Torsion) eine topologische Invariante, mit der auch Räume unterschieden werden können, für welche klassische Invarianten der algebraischen Topologie wie Fundamentalgruppe und Homologiegruppen übereinstimmen.

Eine Variante der heute üblichen Konstruktion wurde 1935 von Kurt Reidemeister verwendet, um die Homöomorphietypen 3-dimensionaler Linsenräume zu klassifizieren. Wolfgang Franz benutzte wenig später die unten dargestellte Konstruktion um auch höher-dimensionale Linsenräume klassifizieren zu können.

KonstruktionBearbeiten

Sei   ein kompakter CW-Komplex mit verschwindender Euler-Charakteristik   und   eine Darstellung der Fundamentalgruppe.

Sei   die universelle Überlagerung, auf der   durch Deckbewegungen wirkt, und   ihr singulärer Kettenkomplex. Der getwistete Kettenkomplex

 

ist der Quotient des Tensorprodukts   unter der Identifikation   für alle  . Der Randoperator   von   induziert einen Randoperator   auf  . Um die Reidemeister-Torsion definieren zu können, müssen wir annehmen, dass   azyklisch ist, also  .

Sei nun   die Untergruppe der Ränder. Wähle eine Basis   von   und setze sie mit dem Basisergänzungssatz zu einer Basis   von   fort. Wegen   haben wir eine exakte Sequenz

 

und können zu den   Urbilder   finden, so dass   eine Basis von   ist.

Zu den Basen   und   gibt es eine eindeutige Matrix, welche die erste Basis auf die zweite abbildet. Wir bezeichnen die Determinante dieser Matrix mit  . Dann definieren wir die Reidemeister-Torsion von   durch

 .

Die  -Unbestimmtheit entsteht durch die Abhängigkeit der Determinante von der Anordnung der Basiselemente. Alle anderen Wahlen haben keinen Einfluss auf das Ergebnis, insbesondere heben sich durch das alternierende Produkt die durch die Wahl einer anderen Basis   entstehenden Faktoren gegeneinander auf.

InvarianzBearbeiten

Reidemeister-Torsion ist im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen und kann deshalb verwendet werden, um homotopieäquivalente, aber nicht homöomorphe Räume zu unterscheiden. Die Reidemeister-Torsion (zu einer gegebenen Darstellung der Fundamentalgruppe) ist invariant unter einfachen Homotopieäquivalenzen.[1]

Eine relative Version der Reidemeister-Torsion kann benutzt werden, um PL-Komplexe zu unterscheiden, die homöomorph, aber nicht PL-äquivalent sind.[2]

BeispieleBearbeiten

  • Für den Linsenraum   und die Darstellung   mit   für eine  -te Einheitswurzel   erhält man  , wobei   die Lösung von  , also das Inverse von   in   bezeichnet. Insbesondere erhält man für   unterschiedliche Reidemeister-Torsionen, womit diese Linsenräume nicht homöomorph sein können.[3][4]
  • Eine sphärische Raumform ist durch ihre Fundamentalgruppe und ihre Reidemeister-Torsionen aller Darstellungen   eindeutig festgelegt.[5]
  • Für eine  -dimensionale rationale Homologiesphäre   und die triviale Darstellung   ist  , die Reidemeister-Torsion hängt also mit der Torsion der Homologiegruppen zusammen.
  • Für ein Knotenkomplement und die mittels der Abelisierung   durch   gegebene Darstellung   ist   das Alexander-Polynom.[6]

Satz von Cheeger-MüllerBearbeiten

Der Satz von Cheeger-Müller besagt die Gleichheit von analytischer Torsion und Reidemeister-Torsion (bis auf Vorzeichen, weil die Reidemeister-Torsion nur bis auf Vorzeichen definiert ist). Er wurde zunächst von Cheeger und Müller für orthogonale oder unitäre Darstellungen bewiesen[7][8] und später von Müller auf unimodulare Darstellungen verallgemeinert.[9]

LiteraturBearbeiten

  • John Milnor: Whitehead torsion. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 358–426.
  • G. de Rham, S. Maumary, M. Kervaire: Torsion et type simple d'homotopie. Exposés faits au séminaire de Topologie de l'Université de Lausanne. Lecture Notes in Mathematics, No. 48, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967.
  • Vladimir Turaev: Torsions of 3-dimensional manifolds. Progress in Mathematics, 208. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. ISBN 3-7643-6911-6
  • Kiyoshi Igusa: Higher Franz-Reidemeister torsion. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 31. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2002. ISBN 0-8218-3170-4
  • Liviu Nicolaescu: The Reidemeister torsion of 3-manifolds. De Gruyter Studies in Mathematics, 30. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. ISBN 3-11-017383-2

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. T. A. Chapman: Topological invariance of Whitehead torsion. Amer. J. Math. 96 (1974), 488–497.
  2. John Milnor: Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct. Ann. of Math. (2) 74 (1961), 575–590.
  3. Kurt Reidemeister: Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11: 102–109 (1935).
  4. Wolfgang Franz: Über die Torsion einer Überdeckung. J. Reine Angew. Math. 173 (1935), 245–254.
  5. Georges de Rham: Complexes à automorphismes et homéomorphie différentiable. Ann. Inst. Fourier Grenoble 2 (1950), 51–67 (1951).
  6. John Milnor: A duality theorem for Reidemeister torsion. Ann. of Math. (2) 76 (1962), 137–147.
  7. Werner Müller: Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math. 28 (1978), no. 3, 233–305.
  8. Jeff Cheeger: Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 259–322.
  9. Werner Müller: Analytic torsion and R -torsion for unimodular representations. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 721–753.