Analytische Torsion

Die analytische Torsion, auch Ray-Singer-Torsion (nach Daniel Burrill Ray, Isadore M. Singer), ist eine Invariante aus dem mathematischen Teilgebiet der Globalen Analysis. Sie wird mittels der regularisierten Determinante des Laplace-Operators definiert und stimmt mit der Reidemeister-Torsion überein (Satz von Cheeger-Müller).

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und   eine orthogonale Darstellung der Fundamentalgruppe, so dass der mittels der Wirkung der Fundamentalgruppe auf der universellen Überlagerung definierte Kettenkomplex   azyklisch ist.

Das zu   assoziierte flache Bündel   hat eine kompatible Metrik, mit der man den auf Differentialformen   wirkenden Hodge-Laplace-Operator   definiert. Seien   die Eigenwerte von  , dann definiert man seine Zeta-Funktion durch

 

für   und durch analytische Fortsetzung dieser Funktion für  , und seine regularisierte Determinante durch

 .

Die analytische Torsion   wird definiert durch

 

oder äquivalent durch

 .

Satz von Cheeger-MüllerBearbeiten

Der Satz von Cheeger-Müller (vormals Ray-Singer-Vermutung) besagt die Gleichheit von analytischer Torsion und Reidemeister-Torsion. Er wurde zunächst von Cheeger und Müller für orthogonale oder unitäre Darstellungen bewiesen und später von Müller auf unimodulare Darstellungen verallgemeinert. Die Gleichheit der beiden Invarianten findet Verwendung in der perturbativen Chern-Simons-Theorie.

LiteraturBearbeiten

  • Ray, D. B.; Singer, I. M.: R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. Advances in Math. 7, 145–210. (1971).
  • Müller, Werner: Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math. 28 (1978), no. 3, 233–305.
  • Cheeger, Jeff: Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 259–322.
  • Müller, Werner: Analytic torsion and R -torsion for unimodular representations. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 721–753.
  • Bismut, Jean-Michel; Lott, John: Flat vector bundles, direct images and higher real analytic torsion. J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), no. 2, 291–363.

WeblinksBearbeiten