Primzahltupel

Begriff aus der Zahlentheorie
(Weitergeleitet von Primzahlsechsling)

Als Primzahltupel – auch englisch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.[1]

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime -Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form Primzahlencousins (engl. cousin primes)[2] und Tupel von zwei Primzahlen der Form werden auch sexy Primzahlen (englisch sexy primes)[3] genannt.

Definition

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Ist für die Primzahltupel   mit   Elementen die Menge   aller möglichen Konstellationen   (die selbst wieder  -Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

  1. Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
     
  2. Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl   im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl   mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
     
    Lies: Für alle primen Module   kleiner-gleich   existiert ein Rest   kleiner als  , der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls  .
    Die Aussagen "[…] zu allen […] nicht […]" und "[…] zu keiner […]" sind äquivalent, siehe Quantor.
  3. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der  -spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
     
  4. Die Differenzen der Elemente zum ersten Element   müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
     
    Wobei   für das  -te Element aus dem  -Tupel   steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen   ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen  .

Für prime 2-Tupel (also  ) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind   und   wohlbekannt. Diese lauten:

 
 

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel  :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Durch die Bedingung 2 wird für jedes   eine endliche Anzahl an primen  -Tupeln ausgeschlossen. Im Falle   wird die Konstellation   bzw. das Primzahltupel   ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von   und da alle prime  -Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls   vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation  , welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul   enthalten. Im Falle von   kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation   in der Form   für   darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle   entweder   oder   größer als und teilbar durch   ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle

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Für die kleinsten  -Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling

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Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).

Primzahldrilling

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Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also  . 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form   bilden die beiden ersten, bei jenen der Form   die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation   ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls  .

Die vier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel mit zwei gemeinsamen Primzahlen bilden ein Primzahl-Quadrupel, sind Primzahlvierlinge.

Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, so sind fünf Primzahlen beteiligt und bilden ein Primzahl-Quintupel.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf sechs reduziert werden.

Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit 20.008 Dezimalstellen gefunden. Es lautet   mit  .[5][6]

Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis   (erzeugt mit Matheass 9.0):

p p+2 p+4 p+6
5 7 11
7 11 13
11 13 17
13 17 19
17 19 23
37 41 43
41 43 47
67 71 73
97 101 103
101 103 107
103 107 109
107 109 113
191 193 197
193 197 199
223 227 229
227 229 233
p p+2 p+4 p+6
277 281 283
307 311 313
311 313 317
347 349 353
457 461 463
461 463 467
613 617 619
641 643 647
821 823 827
823 827 829
853 857 859
857 859 863
877 881 883
881 883 887
1087 1091 1093
1091 1093 1097
p p+2 p+4 p+6
1277 1279 1283
1297 1301 1303
1301 1303 1307
1423 1427 1429
1427 1429 1433
1447 1451 1453
1481 1483 1487
1483 1487 1489
1487 1489 1493
1607 1609 1613
1663 1667 1669
1693 1697 1699
1783 1787 1789
1867 1871 1873
1871 1873 1877
1873 1877 1879
p p+2 p+4 p+6
1993 1997 1999
1997 1999 2003
2081 2083 2087
2083 2087 2089
2137 2141 2143
2237 2239 2243
2267 2269 2273
2377 2381 2383
2657 2659 2663
2683 2687 2689
2687 2689 2693
2707 2711 2713
2797 2801 2803
3163 3167 3169
3251 3253 3257
3253 3257 3259
p p+2 p+4 p+6
3457 3461 3463
3461 3463 3467
3463 3467 3469
3527 3529 3533
3671 3673 3677
3847 3851 3853
3917 3919 3923
4001 4003 4007
4127 4129 4133
4153 4157 4159
4513 4517 4519
4517 4519 4523
4637 4639 4643
4783 4787 4789
4787 4789 4793
4931 4933 4937
p p+2 p+4 p+6
4967 4969 4973
5227 5231 5233
5231 5233 5237
5413 5417 5419
5437 5441 5443
5477 5479 5483
5501 5503 5507
5647 5651 5653
5651 5653 5657
5653 5657 5659
5737 5741 5743
6197 6199 6203
6547 6551 6553
6823 6827 6829
6827 6829 6833
7207 7211 7213
p p+2 p+4 p+6
7753 7757 7759
7873 7877 7879
7877 7879 7883
8087 8089 8093
8231 8233 8237
8287 8291 8293
8291 8293 8297
8537 8539 8543
8623 8627 8629
8861 8863 8867
9007 9011 9013
9277 9281 9283
9337 9341 9343
9431 9433 9437
9433 9437 9439
9461 9463 9467

Primzahlvierling

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Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also  . 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme   lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form   als auch in der Form   schreiben. Die Zahl in der Mitte ( ) ist daher immer durch   teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch   teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit   und  .

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von   zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als   asymptotisch durch die Formel

 

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat   Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch   mit  .[5][6]

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis  :

p p+2 p+6 p+8
n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4
- 5 7 11 13
1 11 13 17 19
7 101 103 107 109
13 191 193 197 199
55 821 823 827 829
99 1481 1483 1487 1489
125 1871 1873 1877 1879
139 2081 2083 2087 2089
217 3251 3253 3257 3259
231 3461 3463 3467 3469
377 5651 5653 5657 5659
629 9431 9433 9437 9439
867 13001 13003 13007 13009
1043 15641 15643 15647 15649
1049 15731 15733 15737 15739
1071 16061 16063 16067 16069
p p+2 p+6 p+8
n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4
1203 18041 18043 18047 18049
1261 18911 18913 18917 18919
1295 19421 19423 19427 19429
1401 21011 21013 21017 21019
1485 22271 22273 22277 22279
1687 25301 25303 25307 25309
2115 31721 31723 31727 31729
2323 34841 34843 34847 34849
2919 43781 43783 43787 43789
3423 51341 51343 51347 51349
3689 55331 55333 55337 55339
4199 62981 62983 62987 62989
4481 67211 67213 67217 67219
4633 69491 69493 69497 69499
4815 72221 72223 72227 72229
5151 77261 77263 77267 77269
p p+2 p+6 p+8
n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4
5313 79691 79693 79697 79699
5403 81041 81043 81047 81049
5515 82721 82723 82727 82729
5921 88811 88813 88817 88819
6523 97841 97843 97847 97849
6609 99131 99133 99137 99139
6741 101111 101113 101117 101119
7323 109841 109843 109847 109849
7769 116531 116533 116537 116539
7953 119291 119293 119297 119299
8147 122201 122203 122207 122209
9031 135461 135463 135467 135469
9611 144161 144163 144167 144169
10485 157271 157273 157277 157279
11047 165701 165703 165707 165709
11123 166841 166843 166847 166849

Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten   (Folge A007530 in OEIS)

Primzahlfünfling

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Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also  . 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form   oder in der Form   schreiben.

Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel  ) immer mit   und   oder   und  .

Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von   zueinander.

Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.

Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.

Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis  :

p p+2 p+4 p+6 p+8 p+10 p+12
5 7 11 13 17
7 11 13 17 19
11 13 17 19 23
97 101 103 107 109
101 103 107 109 113
1481 1483 1487 1489 1493
1867 1871 1873 1877 1879
3457 3461 3463 3467 3469
5647 5651 5653 5657 5659
15727 15731 15733 15737 15739
16057 16061 16063 16067 16069
16061 16063 16067 16069 16073
19417 19421 19423 19427 19429
p p+2 p+4 p+6 p+8 p+10 p+12
19421 19423 19427 19429 19433
21011 21013 21017 21019 21023
22271 22273 22277 22279 22283
43777 43781 43783 43787 43789
43781 43783 43787 43789 43793
55331 55333 55337 55339 55343
79687 79691 79693 79697 79699
88807 88811 88813 88817 88819
101107 101111 101113 101117 101119
144161 144163 144167 144169 144173
165701 165703 165707 165709 165713
166841 166843 166847 166849 166853
195731 195733 195737 195739 195743

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form   lauten   (Folge A022006 in OEIS)

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form   lauten   (Folge A022007 in OEIS)

Primzahlsechsling

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Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also  . 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form   als auch in der Form   schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch   teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch   teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit   und  .

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von   zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei unterschiedlichen Konstellationen.

Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis  :

p p+4 p+6 p+10 p+12 p+16
n 15n-8 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 15n+8
1 7 11 13 17 19 23
7 97 101 103 107 109 113
1071 16057 16061 16063 16067 16069 16073
1295 19417 19421 19423 19427 19429 19433
2919 43777 43781 43783 43787 43789 43793
72751 1091257 1091261 1091263 1091267 1091269 1091273
107723 1615837 1615841 1615843 1615847 1615849 1615853
130291 1954357 1954361 1954363 1954367 1954369 1954373
188181 2822707 2822711 2822713 2822717 2822719 2822723
189329 2839927 2839931 2839933 2839937 2839939 2839943

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten   (Folge A022008 in OEIS)

Primzahlsiebenling

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Primzahlsiebenlinge sind Elemente primer 7-Tupel, es gilt also  . 7-Tupel werden auch Septupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlsiebenlinge auch die Bezeichnungen prime Septupel oder Primzahl-Septupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahsiebenling in einer der zwei folgenden Konstellationen schreiben:

 
 

Alle primen Septupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Septupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Septupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Septupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form   zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form   am Ende.

Alle primen Septupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Ob es unendlich viele Primzahlsiebenlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsiebenlinge bis  :

p p+2 p+6 p+8 p+12 p+14 p+18 p+20
11 13 17 19 23 29 31
5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659
88799 88801 88807 88811 88813 88817 88819
165701 165703 165707 165709 165713 165719 165721
284729 284731 284737 284741 284743 284747 284749
626609 626611 626617 626621 626623 626627 626629
855719 855721 855727 855731 855733 855737 855739
1068701 1068703 1068707 1068709 1068713 1068719 1068721
1146779 1146781 1146787 1146791 1146793 1146797 1146799
6560999 6561001 6561007 6561011 6561013 6561017 6561019
7540439 7540441 7540447 7540451 7540453 7540457 7540459
8573429 8573431 8573437 8573441 8573443 8573447 8573449

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 1. Konstellation lauten   (Folge A022009 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 2. Konstellation lauten   (Folge A022010 in OEIS)

Primzahlachtling

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Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also  . 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:

 

Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Oktupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten kein Primzahl-Quadrupel.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form   zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten kein Primzahl-Quintupel.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form   am Ende.

Alle primen Oktupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Septupel der Form   zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten kein Primzahl-Septupel.

Die primen Oktupel der Konstellation   enthalten ein Primzahl-Septupel der Form   am Ende.

Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis  :

p p+2 p+6 p+8 p+12 p+14 p+18 p+20 p+24 p+26
11 13 17 19 23 29 31 37
17 19 23 29 31 37 41 43
1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303
88793 88799 88801 88807 88811 88813 88817 88819
113147 113149 113153 113159 113161 113167 113171 113173
284723 284729 284731 284737 284741 284743 284747 284749
855713 855719 855721 855727 855731 855733 855737 855739
1146773 1146779 1146781 1146787 1146791 1146793 1146797 1146799
2580647 2580649 2580653 2580659 2580661 2580667 2580671 2580673
6560993 6560999 6561001 6561007 6561011 6561013 6561017 6561019
15760091 15760093 15760097 15760099 15760103 15760109 15760111 15760117
20737877 20737879 20737883 20737889 20737891 20737897 20737901 20737903
25658441 25658443 25658447 25658449 25658453 25658459 25658461 25658467
58208387 58208389 58208393 58208399 58208401 58208407 58208411 58208413
69156533 69156539 69156541 69156547 69156551 69156553 69156557 69156559
73373537 73373539 73373543 73373549 73373551 73373557 73373561 73373563
74266253 74266259 74266261 74266267 74266271 74266273 74266277 74266279
76170527 76170529 76170533 76170539 76170541 76170547 76170551 76170553
93625991 93625993 93625997 93625999 93626003 93626009 93626011 93626017

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1. Konstellation lauten   (Folge A022011 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2. Konstellation lauten   (Folge A022012 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3. Konstellation lauten   (Folge A022013 in OEIS)

Konstellationen

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Im Folgenden steht   für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen  . Formal:  

Bei den Primzahlachtlingen (also bei  ) haben zwei der drei aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) je einen sehr großen 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

u = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550
v = 85942978608490853163266464829675186732716531436220205198524648761309585030760262728948076619827920

Bei den Primzahlneunlingen (also bei  ) habei alle vier aktuellen Rekordzahlen (die Startwerte der Primzahltupel) einen sehr großen 93-, 98-, 105- bzw. 103-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

wi = 182075127245948453356763852678412657384571384320476086323955359028566228121357180020362596219
x1 = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550
x2 = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889
x3 = 6981459541055817191260362842479625063402912945070015867718881817316331990854697141515826226327285164890

Bei den Primzahlzehnlingen (also bei  ) haben beide aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 105- bzw. 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

y1 = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889
y2 = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

Bei den Primzahlelf- und Primzahlzwölflingen (also bei   und  ) hat die aktuelle Rekordzahl (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 92-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

z = 13243795731372733191902494675154142263612189966992593522251560981597803197621024152571147501
    Konstellation  [7] Kleinstes Primzahltupel[8] Größtes bekanntes Primzahltupel
(Stand: 29. April 2024)[6]
Stellen
02 02 (0, 2) (3, 5) 2996863034895 · 21290000 − 1 + d 388342
03 06 (0, 2, 6)
(0, 4, 6)
(5, 7, 11)
(7, 11, 13)
4111286921397 · 266420 − 1 + d
6521953289619 · 255555 − 5 + d
020008
016737
04 08 (0, 2, 6, 8) (5, 7, 11, 13) 667674063382677 · 233608 − 1 + d 010132
05 12 (0, 2, 6, 8, 12)
(0, 4, 6, 10, 12)
(5, 7, 11, 13, 17)
(7, 11, 13, 17, 19)
585150568069684836 · 7757# : 85085 + 5 + d
566761969187 · 4733#: 2 − 8 + d
003344
002034
06 16 (0, 4, 6, 10, 12, 16) (7, 11, 13, 17, 19, 23) 23700 + 33888977692820810260792517451 + d 001114
07 20 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
113225039190926127209 · 2339# : 57057 + 1 + d
4733578067069 · 940# + 626609 + d
001002
000402
08 26 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)
(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
362079385668757696008683096558661746463
· 863# + 114023297140211 + d

u · 449# + 226554621544607 + d
v · 541# + 301570107719123 + d
000401
000282
000318
09 30 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30)
(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
w · 541# + 145933845312371 + d
x1 · 449# + 226554621544607 + d
x2 · 401# + 380284918609483 + d
x3 · 503# + 301713410008249 + d
000312
000282
000269
000312
10 32 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(9853497737, …)
y1 · 401# + 380284918609481 + d
y2 · 449# + 226554621544607 + d
000269
000282
11 36 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(1418575498573, …)
z + 49376500222690335 * 229# + d
613176722801194 · 151# + 177321217 + 6 + d
000108
000075
12 42 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42)
(0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(1418575498567, …)
z + 27407861785763183 * 229# + d
613176722801194 · 151# + 177321217 + d
000108
000075
13 48 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48)
(0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59)
(7697168877290909, …)
(10527733922579, …)
(1707898733581273, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(186460616596321, …)
9985637467 · 139# + 3629868888791261 + d
381955327397348 · 79# + 18393209 + d
4135997219394611 · 109# + 117092849 + d
1044 + 2004740564798426955633 + d
14815550 · 107# + 4385574275277313 + d
381955327397348 · 79# + 18393211 + d
000066
000046
000061
000045
000050
000046
14 50 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(79287805466244209, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + d
381955327397348 · 79# + 18393209 + d
000050
000046
15 56 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
(1158722981124148367, …)
(14094050870111867483, …)
107173714602413868775303366934621 + d
10004646546202610858599716515809907 + d
33554294028531569 · 61# + 57800747 + d
299 + 49408572140248891027005 + d
000033
000035
000040
000030
16 60 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)
(47710850533373130107, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
322255 · 73# + 1354238543317302647 + d
94 · 79# + 1341680294611244014363 + d
000035
000033
17 66 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66)
(0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66) 
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)
(734975534793324512717947, …)
(1620784518619319025971, …)
100845391935878564991556707107 + d
11413975438568556104209245223 + d
5867208169546174917450987997 + d
3684 · 73# + 880858118723497737821 + d
000030
000029
000028
000033
18 70 (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(2845372542509911868266807, …)
183837276562811649018077773 + d
5867208169546174917450987997 + d
000027
000028
19 76 (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76)
(0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76) 
(622803914376064301858782434517, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89)
(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(630134041802574490482213901, …)
622803914376064301858782434517 + d
13 + d
248283957683772055928836513597 + d
2406179998282157386567481191 + d
000030
000002
000030
000028
20 80 (0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80) 
(14374153072440029138813893241, …)
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109)
1135540756371356698957890225821 + d
1236637204227022808686214288579 + d
000031
000031
21 84 (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84)
(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84) 
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(622803914376064301858782434517, …)
248283957683772055928836513589 + d
622803914376064301858782434517 + d
000030
000030

Es existiert für jedes beliebig hohe   mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden.[9] Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere   mit großem Rechenaufwand verbunden.

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal   existieren.[10]

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen  -Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Zusammenfassung

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Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2) Primzahlzwilling
(p, p+4) Primzahlencousin
(p, p+6) Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6) Primzahldrilling
(p, p+6, p+12) Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8) Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18) Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12) Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24) Sexy Primzahlfünfling

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  2. Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  3. Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  4. a b Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014.
  5. a b Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu
  6. a b c Prime k-tuplets. ; abgerufen am 29. April 2024.
  7. Patterns. forbes.googlepages.com; abgerufen am 11. Juni 2014.
  8. Smallest Prime k-tuplets.
  9. T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen
  10. Bounded gaps between primes. PolyMath, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 8. Dezember 2020; abgerufen am 29. Januar 2021.