Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611–1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

6 ganzzahlige Lösungen der Pellsche Gleichung für

mit positiv ganzzahligem .

Ist eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen . Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen und werden oft ebenfalls Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.[1][2]

Die Gleichung war schon Brahmagupta und Bhaskara II. bekannt. Die Lösung dieser Gleichung war als Problem von Pierre de Fermat in einem Brief an Bernard Frénicle de Bessy gestellt worden und 1657 als Problem veröffentlicht. Pell befasste sich nie mit der Lösung der Gleichung. Brouncker fand einige Lösungen (veröffentlicht im Commercium epistolicum of John Wallis 1658). Leonhard Euler stieß auf die Lösung von Brouncker in der lateinischen Ausgabe des Treatise of Algebra von John Wallis und benannte die Gleichung fälschlich nach Pell.[3][4] Euler veröffentlichte zuerst 1732 über die Pell-Gleichung und fand später die Verbindung mit Kettenbrüchen (veröffentlicht 1765), die im Grunde schon hinter der Lösung von Brouncker steckt. Joseph-Louis Lagrange befasste sich nach Euler ausführlich mit der Gleichung und gab als Erster einen Beweis, dass es für jedes eine Lösung gibt, wobei Fermat möglicherweise auch einen Beweis hatte.[5]

Algebraische Zahlentheorie

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Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle   äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings des reellquadratischen Zahlkörpers   zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, d. h., es gibt eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit)   mit der sich alle Lösungen als   darstellen lassen.

Beispielsweise ist für   die Einheit   eine Fundamentaleinheit und man kann die anderen Lösungen

 

aus ihr erzeugen.

Lösungen

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Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung

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Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl   ist unendlich und periodisch.   hat die Kettenbruchentwicklung   (siehe Periodische Kettenbrüche). Sei

 

mit ganzzahligen  , dann ist   die kleinste Lösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung  . Die anderen Lösungen lassen sich wie erwähnt daraus konstruieren.[6] Auch alle weiteren

 

mit   lösen  .

Die negative Pellsche Gleichung   hat genau dann eine Lösung, wenn die Kettenbruchentwicklung von   eine ungerade Periode hat. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür ist, dass   die Summe von zwei Quadratzahlen ist.[7]

Das ist für 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... der Fall (siehe Folge A031396 in OEIS).

Beispiel

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  hat die Kettenbruchentwicklung

 

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle   ab, so erhält man beginnend mit  

 

und findet an den Stellen   und   die Lösungen

   von     und
   von   .

Weiter stellt man fest, dass für   jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge   eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite   ist, die Näherungsbrüche dazwischen lösen die Gleichung mit   und  .

Generieren weiterer Lösungen

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Ist eine Lösung   bekannt, so lassen sich weitere Lösungen daraus bestimmen. Es gelten die rekursiven Gleichungen

 
 

Dies ergibt sich aus dem Koeffizientenvergleich aus der Gleichung  .

Das kann auch mit einer Matrizenmultiplikation dargestellt werden. Es gilt

 

Auf diese Weise können aus der kleinsten Lösung alle weiteren Lösungen bestimmt werden.[8]

Die Lösungen können auch mit folgenden expliziten Formeln berechnet werden:[9]

 
 

Beispiel

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Die Pellsche Gleichung für   hat die kleinste Lösung  . Die nächsten drei Lösungen berechnen sich dann wie folgt:

 
 
 

Spezialfälle

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Für spezielle   lässt sich die kleinste Lösung von   auf einfache Weise explizit bestimmen. Im Folgenden sei   eine ganze Zahl mit  .

  •  :  
  •  :  
  •  :  
  •  :  
  •  :  

Außerdem ergeben sich für folgende   die kleinsten Lösungen

  •  :   für  
  •  :  
  •  :  
  •  :  

Das sind Verallgemeinerungen der oben genannten Lösungsformeln.

Tabelle der Fundamentaleinheiten für die Pellsche Gleichung

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Hier eine Tabelle der kleinsten Lösungen (Fundamentaleinheiten) von   mit  . Ist   ein Quadrat gibt es nur die trivialen Lösungen  .

Die Werte von   und   bilden die Folgen A002350[10] und A002349[11] in OEIS.

n x y
1 triviale Lösung
2 3 2
3 2 1
4 triviale Lösung
5 9 4
6 5 2
7 8 3
8 3 1
9 triviale Lösung
10 19 6
11 10 3
12 7 2
13 649 180
14 15 4
15 4 1
16 triviale Lösung
17 33 8
18 17 4
19 170 39
20 9 2
21 55 12
22 197 42
23 24 5
24 5 1
25 triviale Lösung
26 51 10
27 26 5
28 127 24
29 9801 1820
30 11 2
31 1520 273
32 17 3
n x y
33 23 4
34 35 6
35 6 1
36 triviale Lösung
37 73 12
38 37 6
39 25 4
40 19 3
41 2049 320
42 13 2
43 3482 531
44 199 30
45 161 24
46 24335 3588
47 48 7
48 7 1
49 triviale Lösung
50 99 14
51 50 7
52 649 90
53 66249 9100
54 485 66
55 89 12
56 15 2
57 151 20
58 19603 2574
59 530 69
60 31 4
61 1766319049 226153980
62 63 8
63 8 1
64 triviale Lösung
n x y
65 129 16
66 65 8
67 48842 5967
68 33 4
69 7775 936
70 251 30
71 3480 413
72 17 2
73 2281249 267000
74 3699 430
75 26 3
76 57799 6630
77 351 40
78 53 6
79 80 9
80 9 1
81 triviale Lösung
82 163 18
83 82 9
84 55 6
85 285769 30996
86 10405 1122
87 28 3
88 197 21
89 500001 53000
90 19 2
91 1574 165
92 1151 120
93 12151 1260
94 2143295 221064
95 39 4
96 49 5
n x y
97 62809633 6377352
98 99 10
99 10 1
100 triviale Lösung
101 201 20
102 101 10
103 227528 22419
104 51 5
105 41 4
106 32080051 3115890
107 962 93
108 1351 130
109 158070671986249 15140424455100
110 21 2
111 295 28
112 127 12
113 1204353 113296
114 1025 96
115 1126 105
116 9801 910
117 649 60
118 306917 28254
119 120 11
120 11 1
121 triviale Lösung
122 243 22
123 122 11
124 4620799 414960
125 930249 83204
126 449 40
127 4730624 419775
128 577 51

Verallgemeinerung

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Eine verallgemeinerte Pellsche Gleichung ist eine diophantische Gleichung der Form

 

wobei   eine positive ganze Zahl, aber keine Quadratzahl und   eine ganze Zahl ungleich 0 ist. Um diese Gleichung vollständig zu lösen, muss als vorbereitender Schritt eine Lösung   dieser Gleichung und außerdem die kleinste Lösung   der entsprechenden (normierten) Pellschen Gleichung   bekannt sein. Dann kann man unendlich viele weitere Lösungen   von   darstellen als

 

Es gelten also die rekursiven Gleichungen

 
 

Für   kann es sein, dass die verallgemeinerte Pellsche Gleichung keine Lösungen besitzt, im Gegensatz zum schon betrachteten Fall  . Dies lässt sich oft mithilfe der Division mit Rest beweisen.

Um alle Lösungen der verallgemeinerten Pellsche Gleichung zu bestimmen, reicht es, endlich viele Lösungen   in einem bestimmten Bereich zu finden und daraus mithilfe der rekursiven Gleichungen alle weiteren Lösungen zu berechnen. Für diese endlich viele Lösungen   gilt

 
 

mit  .[12]

Beispiel

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Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

 

Dafür wird die kleinste Lösung der Gleichung   bestimmt. Diese lautet  . Also ist  ,  ,  . Es müssen zunächst die Lösungen mit   bestimmt werden. Das sind  ,  ,   und  . Daraus ergeben sich mithilfe der Rekursion alle Lösungen. Aus   und   erhält man

 ,  ,  ,  ,  , ...
 ,  ,  ,  ,  , ...

Aus   und   ergeben sich die gleichen Lösungen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Anwendungsbeispiele

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Quadratzahlen und Dreieckszahlen

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16 Münzen bilden ein Quadrat.
 
10 Münzen bilden ein Dreieck.

Eine bestimmte Anzahl 1-Euro-Münzen kann sowohl in Form eines Quadrats als auch in Form eines Dreiecks angeordnet werden. Die Bilder rechts veranschaulichen das. Für welche Anzahl von Münzen ist das möglich?

Die gesuchte Anzahl muss sowohl eine Dreieckszahl als auch eine Quadratzahl sein. Daraus erhält man die äquivalenten Gleichungen

 

Die Substitutionen   und   ergeben die Pellsche Gleichung

 

Die kleinste Lösung ist  . Aus den rekursiven Gleichungen

 
 

erhält man die weiteren Lösungen. Die ersten vier Lösungen mit der entsprechenden Anzahl von Münzen zeigt die folgende Tabelle.[13]

i xi yi n m Anzahl der Münzen
0 3 2 1 1 1
2 17 12 8 6 36
4 99 70 49 35 1225
6 577 408 288 204 41616

Hausnummern

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An einer Straße befinden sich   Häuser mit den ungeraden Hausnummern  . Die Häuser sind von links nach rechts durchnummeriert. Eines dieser Häuser ist weiß. Die Summe der Hausnummern links vom weißen Haus ist gleich der Summe der Hausnummern rechts vom weißen Haus. Für welche Anzahl   von Häusern ist das möglich? Welche Hausnummer hat dann das weiße Haus?

Hat das weiße Haus die Hausnummer  , dann ist die Summe der Häuser links davon gleich der Summe der Häuser rechts davon:

 

Jede Quadratzahl   ist die Summe der ersten   ungeraden natürlichen Zahlen. Also ist diese Gleichung äquivalent zu

 

Die Substitutionen   und   ergeben die negative Pellsche Gleichung

 

Die kleinste Lösung ist  . Aus den rekursiven Gleichungen

 
 

erhält man die weiteren Lösungen. Die ersten vier Lösungen mit der Anzahl von Häusern, der größten Hausnummer und der Hausnummer des weiße Hauses zeigt die folgende Tabelle.

i Hausnummer weißes Haus Anzahl der Häuser größte Hausnummer
xi = 2 · m − 1 yi = n 2 · n − 1
0 1 1 1
2 7 5 9
4 41 29 57
6 239 169 337

Das Rinderproblem des Archimedes

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Bei der Lösung des Rinderproblems des Archimedes stößt man (wenn man geschickt rechnet) auf die Pellsche Gleichung   zum Parameter  , die als Minimallösung

 
 

hat. Für das Rinderproblem braucht man allerdings nicht die Minimallösung, sondern die kleinste Lösung, bei der   ein Vielfaches von   ist.

Alternativ dazu kann man für die Pellsche Gleichung mit Parameter   die Minimallösung (jetzt ohne Nebenbedingung) suchen, die von folgender Größenordnung ist:

 
 

Nicht zufällig ist  , wodurch numerisch der Zusammenhang zwischen den Minimallösungen der beiden Pellschen Gleichungen hergestellt ist.

Für das Rinderproblem selbst ist als Zwischenergebnis die Zahl   von Belang. Das Endergebnis ist das  -Fache davon, also ca.  .[1]

Rechtwinklige Dreiecke und pythagoreische Tripel

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Gesucht sind die rechtwinkligen Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen, wo die Kathetenlängen eine bestimmte Differenz haben. Diese Seitenlängen sind sogenannte pythagoreische Tripel mit besonderen Eigenschaften.

Ist   die Differenz der Kathetenlängen, dann sind die ganzzahligen Seitenlängen der rechtwinkligen Dreiecke die pythagoreischen Tripel der Form  . Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann

 

Die Substitutionen   und   ergeben die verallgemeinerte Pellsche Gleichung

 

Die kleinste Lösung der Gleichung   ist  .

Für den Fall   ist   die einzige positive Basislösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung mit  ,  ,  . Die weiteren Lösungen mit den entsprechenden Seitenlängen der rechtwinkligen Dreiecke sind

i xi = 2 · a + 1 yi = c a a + 1
0 1 1 0 1
1 7 5 3 4
2 41 29 20 21
3 239 169 119 120

Für   ist  . Daher gehört diese Lösung zu keinem Dreieck. Die Seitenlängen der gesuchten rechtwinkligen Dreiecke sind (3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), ... Das sind die rechtwinkligen Dreiecke, wo die Kathetenlängen die Differenz   haben. Für   sind die Lösungen der verallgemeinerten Pellsche Gleichung die entsprechenden Vielfachen. Für die Differenz   zum Beispiel ergeben sich die rechtwinkligen Dreiecke mit den Seitenlängen (18, 24, 30), (120, 126, 174), (714, 720, 1014), ...

Für   hat die verallgemeinerte Pellsche Gleichung mehrere Basislösungen, darunter  ,   und  . Daraus ergeben sich alle weiteren positiven Lösungen und, wenn alle positiv, die entsprechenden Seitenlängen der rechtwinkligen Dreiecke:

i xi = 2 · a + 7 yi = c a a + 7 i xi = 2 · a + 7 yi = c a a + 7 i xi = 2 · a + 7 yi = c a a + 7
0 −1 5 −4 3 0 1 5 −3 4 0 7 7 0 7
1 17 13 5 12 1 23 17 8 15 1 49 35 21 28
2 103 73 48 55 2 137 97 65 72 2 287 203 140 147
3 601 425 297 304 3 799 565 396 403 3 1673 1183 833 840

Zerlegungen gleichseitiger Dreiecke

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Das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a wird in zwei Dreiecke mit den ganzzahligen Seitenlängen s, t, a und a − s, a, t zerlegt. Das Dreieck mit den Seitenlängen h, k, t ist rechtwinklig.

Gesucht sind gleichseitige Dreiecke, die in zwei Teildreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen zerlegt werden können.

Ist   die Seitenlänge und   die Höhe des gleichseitigen Dreiecks, ist   die Länge der Strecke, die das gleichseitige Dreieck teilt, und sind   und   die Längen der geteilten Seite, dann bildet die Höhe zusammen mit der Teilungsstrecke und einer Strecke der Länge   ein rechtwinkliges Dreieck, wobei   die Hypotenusenlänge ist. Die Abbildung rechts zeigt das.

Nach dem Satz des Pythagoras und wegen   gilt dann

 

Die Substitutionen   und   ergeben die verallgemeinerte Pellsche Gleichung

 

Die kleinste Lösung der Gleichung   ist  .

Für den Fall   ist   die einzige positive Basislösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung mit  ,  ,  . Die weiteren Lösungen mit die entsprechenden Seitenlänge   des gleichseitigen Dreiecks und die Seitenlängen   und   der zwei Teildreiecke sind

i xi = t yi = a/2 a s = a/2 − 1 a − s
0 2 1 2 0 2
1 7 4 8 3 5
2 26 15 30 14 16
3 97 56 112 55 57

Für   sind die Lösungen der verallgemeinerten Pellsche Gleichung die entsprechenden Vielfachen.

Für den Fall   hat die verallgemeinerte Pellsche Gleichung mehrere Basislösungen, darunter  ,   und  . Daraus ergeben sich alle weiteren positiven Lösungen und, wenn alle positiv, die entsprechenden Seitenlängen des gleichseitigen Dreiecks und der zwei Teildreiecke:

i xi = t yi = a/2 a s = a/2 − 11 a − s i xi = t yi = a/2 a s = a/2 − 11 a − s i xi = t yi = a/2 a s = a/2 − 11 a − s
0 11 0 0 −11 11 0 13 4 8 −7 15 0 14 5 10 −6 16
1 22 11 22 0 22 1 38 21 42 10 32 1 43 24 48 13 35
2 77 44 88 33 55 2 139 80 160 69 91 2 158 91 182 80 102
3 286 165 330 154 176 3 518 299 598 288 310 3 589 340 680 329 351

Literatur

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  • H. W. Lenstra Jr.: Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society, Band 49, Heft 2, 2002, S. 182–192, online (PDF; 237 kB).
  • M. J. Jacobson Jr., H. C. Williams: Solving the Pell Equation, CMS Books in Mathematics, Springer 2009, ISBN 978-0-387-84922-5
  • Leonard Dickson: History of the theory of numbers, Washington D.C.: Carnegie Institution, 1920, Kapitel 12 (zur Geschichte der Pellschen Gleichung)
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Einzelnachweise

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  1. a b Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.
  2. So auch Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, S. 341 (Kapitel 12 zur Geschichte der Pellschen Gleichung)
  3. Noel Malcolm, Jacqueline Steadall: John Pell in his correspondence with Sir Charles Cavendish, Oxford UP, 2005, S. 320
  4. André Weil, Number theory - An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, S. 174
  5. Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 353. Er benutzte seine Methode des unendlichen Abstiegs
  6. Max Lahn, Jonathan Spiegel: Continued Fractions and Pell’s Equation. In: Mixed Math - Explorations in math and number theory. David Lowry-Duda, Mai 2016, abgerufen am 31. Mai 2020 (englisch).
  7. Erick Knight, Stanley Yao Xiao, University of Toronto: The Negative Pell Equation
  8. Keith Conrad, University of Connecticut: Pell’s Equation
  9. Wolfram MathWorld: Pell Equation
  10. A002350, auf oeis.org
  11. A002349, auf oeis.org
  12. Keith Conrad, University of Connecticut: Pell’s Equation
  13. Wolfram MathWorld: Square Triangular Number