Spurklasseoperator

Klasse mathematischer Operatoren
(Weitergeleitet von Nuklearer Operator)

Die Spurklasse-Operatoren werden in der mathematischen Disziplin der Funktionalanalysis untersucht. Sie bilden eine wichtige Klasse von linearen Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen. Bei ihnen bleiben im Gegensatz zu allgemeinen Operatoren einige Eigenschaften aus dem endlichdimensionalen Fall erhalten, das betrifft insbesondere ihre Darstellung als Summe eindimensionaler Operatoren. In wichtigen Fällen überträgt sich der aus der linearen Algebra bekannte Begriff der Spur auf diese Operatoren, was zu ihrem Namen geführt hat. In der Quantenmechanik treten die Spurklasseoperatoren als Dichtematrix auf.

Alexander Grothendieck stieß bei seiner Untersuchung des Satzes vom Kern aus der Distributionentheorie ebenfalls auf Operatoren der hier behandelten Art und nannte sie nukleare Operatoren (lat. nucleus = Kern). Dies führte dann zum Begriff des nuklearen Raums.

Die Terminologie ist nicht einheitlich, manche Autoren definieren Spurklasse-Operatoren nur auf Hilberträumen und nukleare Operatoren auf Banach-Räumen. Dieser Artikel behandelt die nuklearen Operatoren zunächst auf Hilberträumen, dann allgemeiner auf Banachräumen und schließlich auf lokalkonvexen Räumen.

MotivationBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Ein eindimensionaler Operator   ist ein Operator der Form   mit   und  , wobei   den Dualraum von   bezeichnet. In der linearen Algebra, d. h. im Fall  , kann jede lineare Abbildung   als Matrix   bzgl. einer Basis   dargestellt werden. Für   gilt dann

 .

  ist also eine Summe eindimensionaler Operatoren. Um das auf unendlichdimensionale Räume übertragen zu können, muss man unendliche Summen eindimensionaler Operatoren bilden und daher Vorkehrungen für deren Konvergenz treffen. Das führt zu folgender Definition:

DefinitionBearbeiten

Seien   und   zwei normierte Vektorräume. Ein Operator   heißt nuklear, falls es Folgen   in   und   in   gibt mit

 

und

 

für alle  . Eine solche Formel für   heißt eine nukleare Darstellung von  . Diese ist jedoch nicht eindeutig.

Die nukleare Norm oder Spurnorm eines nuklearen Operators ist definiert als

 

wobei das Infimum über die Folgen   in   und   in   gebildet wird, welche eine nukleare Darstellung von   ergeben.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   und sei   definiert durch  . Dann ist   nuklear mit  . Im Hilbertraumfall   gilt Gleichheit.
  • Sei   stetig,   sei definiert durch  . Dann ist   nuklear mit  .
  • Sei   definiert durch  . Dann ist   ein kompakter Operator, der nicht nuklear ist.

Einfache EigenschaftenBearbeiten

Sei   die Menge aller nuklearen Operatoren  . Ist   vollständig, so ist   mit der nuklearen Norm ein Banachraum. Die Operatoren   mit endlichdimensionalem Bild liegen dicht in   und jeder nukleare Operator ist kompakt.

Die nuklearen Operatoren haben die sogenannte Ideal-Eigenschaft: Seien   und   normierte Räume,   sei nuklear und   sowie   seien stetige lineare Operatoren. Dann ist auch   nuklear und es ist  , wobei   die Operatornorm sei. Es gilt stets  

Speziell ist   ein Ideal in der Algebra   der stetigen linearen Operatoren auf  , und   mit der nuklearen Norm ist eine Banachalgebra.

Nukleare Operatoren auf HilberträumenBearbeiten

Im Hilbertraum   sind die Verhältnisse einfacher. In diesen Räumen sind die nuklearen Operatoren 1946 erstmals durch Robert Schatten und John von Neumann untersucht worden.

Jedes   ist nach dem Satz von Fréchet-Riesz von der Form   mit einem  . Eine nukleare Darstellung eines Operators   hat daher die Gestalt

 

mit   und

 

Ist   eine beliebige Orthonormalbasis von  , so konvergiert für jedes  

 ,

wobei die linke Summe als Limes des Netzes aller endlichen Teilsummen in   zu lesen ist (d. h. als unbedingte Konvergenz). Diese Zahl ist daher unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis und auch unabhängig von der Wahl der nuklearen Darstellung, sie wird die Spur von   genannt und mit   bezeichnet. Wegen des englischen Wortes trace für Spur findet man auch häufig die Bezeichnung  .

Ist   selbstadjungiert und ist   die Folge der mit Vielfachheiten gezählten Eigenwerte von  , so gilt   und  . Für allgemeines   ist die Eigenwertfolge   absolut summierbar und es ist  .

Als weitere Charakterisierung kann man zeigen, dass ein Operator   genau dann nuklear ist, wenn er das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

  spielt eine zentrale Rolle in der Dualitätstheorie von Operatoralgebren. Es bezeichne   die Algebra der kompakten linearen Operatoren auf  . Jedes   definiert durch   ein stetiges, lineares Funktional auf  . Man kann zeigen, dass  ,   ein isometrischer Isomorphismus ist, wobei   mit der nuklearen Norm und   mit der Operatornorm versehen sei. In diesem Sinne gilt also  . Genauso definiert jedes   durch die Formel   ein stetiges lineares Funktional auf   und man kann wieder zeigen, dass  ,   ein isometrischer Isomorphismus ist, wenn man   mit der nuklearen Norm und   mit der Operatornorm versieht. In diesem Sinne gilt also  . Insbesondere ist also  , das heißt die Räume   und   sind bei unendlichdimensionalem Hilbertraum nicht reflexiv.

Eine Analogie zu FolgenräumenBearbeiten

Die folgende Aufstellung enthält eine Analogie zwischen Folgenräumen komplexer Zahlen und Operatoralgebren auf einem Hilbertraum. Im Sinne dieser Analogie kann man die nuklearen Operatoren als eine nicht-kommutative Version der  -Folgen betrachten, sie ist zumindest eine Merkhilfe.

Folgenraum Operatoralgebra
  = Raum der endlichen Folgen   = Algebra der Operatoren endlichen Ranges
  = Raum der Nullfolgen   = Algebra der kompakten Operatoren
  = Raum der absolut summierbaren Folgen   = Algebra der nuklearen Operatoren
  = Raum der quadratisch summierbaren Folgen   = Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren
  = Raum der  -fach summierbaren Folgen,     =  -Schatten-Klasse
  = Raum der beschränkten Folgen   = Algebra aller beschränkten Operatoren
   
  liegt dicht in   bzgl. der Supremumsnorm  .   liegt dicht in   bzgl. der Operatornorm.
  liegt dicht in   bzgl. der Norm  .   liegt dicht in   bzgl. der nuklearen Norm.
  liegt dicht in   bzgl. der Supremumsnorm.   liegt dicht in   bzgl. der Operatornorm.
  ist ein Ideal in  ,   und in  .   ist ein Ideal in  ,   und in  .
  ist ein Ideal in   und in  .   ist ein Ideal in   und in  .
  ist ein Ideal in  .   ist ein Ideal in  .
  ist ein stetiges linearen Funktional auf  . Die Spur ist ein stetiges lineares Funktional auf  .
 .  .
 .  .
Eine Folge aus   ist genau dann aus  , wenn sie das Produkt zweier  -Folgen ist. Ein stetiger linearer Operator ist genau dann nuklear, wenn er das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

Nukleare Operatoren auf BanachräumenBearbeiten

Die Untersuchung nuklearer Operatoren auf Banachräumen begann 1951 mit einer Arbeit von A. F. Ruston. Wegen der hier fehlenden Orthonormalbasen sind die Verhältnisse nicht so einfach wie im Hilbertraum-Fall, zudem sind deutlich andere Methoden erforderlich.

Während im Hilbertraum-Fall die Eigenwertfolge eines nuklearen Operators nach obigen Ausführungen absolut summierbar ist, kann man im Banachraum-Fall nur folgende schwächere Aussage beweisen:

Ist   ein Banachraum und ist   die Eigenwertfolge eines nuklearen Operators  , so gilt   und  .

Dieses Ergebnis kann man nicht verbessern; R. J. Kaiser und James Ronald Retherford haben zu vorgegebener  -Folge einen nuklearen Operator aus   mit dieser Eigenwertfolge angegeben. Nach einem Satz von Johnson, König, Maurray und Retherford ist ein Banachraum genau dann isomorph zu einem Hilbertraum, wenn die Eigenwertfolge eines jeden nuklearen Operators aus   ist.

Die Spur eines nuklearen Operators lässt sich nicht für alle Banachräume definieren. Ist eine nukleare Darstellung   eines Operator aus   gegeben, so legt der Hilbertraum-Fall die Definition   nahe. Diese Zahl erweist sich genau dann als wohldefiniert, das heißt, als unabhängig von der gewählten nuklearen Darstellung, wenn der Banachraum die Approximationseigenschaft hat.

Die im Hilbertraum-Fall vorliegende Dualität verallgemeinert sich wie folgt auf Banachräume   mit Approximationseigenschaft. Jedes   definiert ein stetiges, lineares Funktional   auf  , wobei   wenn   eine nukleare Darstellung von   ist. Die Approximationseigenschaft sichert die Wohldefiniertheit, d. h. die Unabhängigkeit von der Wahl der nuklearen Darstellung. Man kann zeigen, dass   ein isometrischer Isomorphismus ist, wenn man   mit der nuklearen Norm und   mit der Operatornorm versieht. In diesem Sinne ist  . Ist daher   zusätzlich reflexiv, so hat man   wie im Hilbertraum-Fall.

Nukleare Operatoren auf lokalkonvexen RäumenBearbeiten

Alexander Grothendieck hat 1951 mit der Untersuchung nuklearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen begonnen. Da man auf lokalkonvexen Räumen keine Norm zur Verfügung hat, muss die Definition wie folgt formuliert werden: Ein linearer Operator   heißt nuklear, falls es eine Darstellung der Art

 

gibt, wobei

  •  ,
  •   eine gleichstetige Folge im starken Dualraum   ist (d. h. es gibt eine stetige Halbnorm   auf   mit   für alle  ),
  •   eine beschränkte Folge in   ist.

Da die geforderte Gleichstetigkeit im Banachraum-Fall der Beschränktheit gleichkommt, führt die hier gegebene Definition im Banachraum-Fall auf denselben Begriff des nuklearen Operators, wie er oben definiert wurde.

Die Ideal-Eigenschaft verallgemeinert sich auf lokalkonvexe Räume: Ist   nuklear und sind   und   stetige, lineare Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen, so ist auch   nuklear. Nukleare Operatoren   sind stetig und, falls   vollständig ist, sogar kompakt. Man kann zeigen, dass es zu jedem nuklearen Operator   einen weiteren nuklearen Operator   zwischen normierten Räumen und stetige lineare Operatoren   gibt mit  . Damit kann man das Studium der nuklearen Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen auf den normierten Fall zurückführen.

In der lokalkonvexen Theorie spielen die nuklearen Operatoren eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit nuklearen Räumen.

Anwendung in der statistischen PhysikBearbeiten

Das physikalische Gebiet der Statistischen Physik beruht auf der zentralen Annahme, dass die Spur jeder mit der Exponentialfunktion des sog. Hamilton-Operators (Energieoperator)   bei der Temperatur   gewichteten Messgröße (Observable)   der Quantenstatistik existiert, und zwar obwohl der Hamiltonoperator selbst keineswegs zur Spurklasse gehört und in der Regel auch für den (nur selbstadjungierten!) Operator   dasselbe zutrifft. Für den thermischen Erwartungswert   der betrachteten Messgröße gilt trotzdem aufgrund dieser Annahme die Beziehung

 

Anders gesagt: die eingeklammerten Ausdrücke befassen sich i. W. mit nuklearen Räumen und den darin definierten Operatoren bzw. Messgrößen.

LiteraturBearbeiten

  • R. Schatten, J. v. Neumann: The Cross Space of Linear Transformations II. In: Ann. of Math., 47, 1946, S. 608–630
  • A.F. Ruston: On the Fredholm theory of integral equations for operators belonging to the trace class of a general Banach space. In: Proc. London Math. Soc., 2, 53, 1951, S. 109–124
  • A. Grothendieck: Sur une notion de produit tensoriel topologique d’espaces vectoriels topologiques, et une classe remarquable d’espaces vectoriels liée à cette notion. In: C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 233, 1951, S. 1556–1558
  • A. Pietsch: Nukleare lokalkonvexe Räume. Akademie-Verlag, (1965)
  • A. Pietsch: Eigenvalues and s-Numbers. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1987
  • R. J. Kaiser, J. R. Retherford: Preassigning eigenvalues and zeros of nuclear operators. In: Studia Math., 81, 1985, S. 127–133
  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. In: Lecture Notes in Mathematics, 56, S. 1968
  • H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-61904-6