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Leuchtdichte

physikalische Größe für die menschliche Wahrnehmung von Helligkeit einer Fläche
Physikalische Größe
Name Leuchtdichte
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI cd·m−2 L−2·J

Die Leuchtdichte Lv (englisch luminance) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit des von einer Lichtquelle abgegebenen Lichtstroms. Die Leuchtdichte einer Fläche bestimmt, mit welcher Flächenhelligkeit das Auge die Fläche wahrnimmt und hat daher von allen photometrischen Größen den unmittelbarsten Bezug zur optischen Sinneswahrnehmung. Die Leuchtdichte beschreibt die Helligkeit von ausgedehnten, flächenhaften Lichtquellen; für die Beschreibung der Helligkeit von punktförmigen Lichtquellen ist die Lichtstärke besser geeignet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

EinführungBearbeiten

 
Die meisten Objekte geben von unterschiedlichen Stellen ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Licht ab.

Man betrachte einen als Lichtquelle dienenden Körper (beispielsweise eine Glühlampe, ein beleuchtetes Blatt Papier), welcher einen Lichtstrom (gemessen in Lumen) in seine Umgebung abgibt. In der Regel werden verschiedene Punkte des Körpers verschieden viel Licht abgeben, und er wird auch in verschiedene Richtungen verschieden viel Licht aussenden. Soll diese Charakteristik detailliert beschrieben werden, so ist das Konzept der Leuchtdichte nötig.

Es ist nämlich nicht möglich, anzugeben, wie viele Lumen von einem unendlich kleinen Punkt auf der Oberfläche des Körpers ausgehen, da die endliche Anzahl abgestrahlter Lumen sich auf eine unendliche Anzahl solcher Punkte verteilt und auf einen einzelnen Oberflächenpunkt daher Null Lumen entfallen. Stattdessen betrachtet man eine kleine Umgebung des betreffenden Punktes, setzt den von dieser Umgebung ausgehenden (endlichen) Lichtstrom ins Verhältnis zu ihrer (endlichen) Fläche und lässt die Umgebung gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl der abgestrahlte Lichtstrom wie auch die abstrahlende Fläche dabei jeweils gegen Null gehen, strebt beider Verhältnis gegen einen endlichen Grenzwert, die spezifische Lichtausstrahlung des Punktes, gemessen in Lumen pro Quadratmetern oder gleichbedeutend Lux.

 
Die meisten Objekte geben in unterschiedliche Richtungen unterschiedlich viel Licht ab.

Ebenso ist es nicht möglich anzugeben, wie viele Lumen in eine bestimmte Richtung abgegeben werden, da die endliche Anzahl abgestrahlter Lumen sich auf unendlich viele mögliche Richtungen verteilt und auf jede einzelne Richtung daher Null Lumen entfallen. Stattdessen betrachtet man einen kleinen, die gewünschte Richtung umgebenden Raumwinkel, setzt den in diesen Raumwinkel abgegebenen (endlichen) Lichtstrom ins Verhältnis zur (endlichen) Größe des Raumwinkels und lässt den Raumwinkel gedanklich auf Null schrumpfen. Wiederum streben dabei sowohl der Raumwinkel als auch der in ihm enthaltene abgestrahlte Lichtstrom jeweils gegen Null, ihr Verhältnis aber gegen einen endlichen Grenzwert, die in die betreffende Richtung abgegebene Lichtstärke, gemessen in Lumen pro Steradiant oder gleichbedeutend Candela.

Der Begriff der Leuchtdichte kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit des von einem unendlich kleinen Flächenelement abgegebenen Lichtstroms.

Für die Definition der Leuchtdichte ist es unerheblich, ob es sich bei dem vom Flächenelement abgegebenen Licht um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittiertes oder reflektiertes Licht oder eine Kombination daraus handelt.

Die Leuchtdichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Licht vorhanden ist.[1] Man denke sich anstelle eines Licht abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives von Licht durchstrahltes Flächenelement im Raum.

LeuchtdichteBearbeiten

Die Leuchtdichte   gibt an, welches Lichtstromelement   in die durch den Polarwinkel   und den Azimutwinkel   gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement   der Licht emittierenden Oberfläche und pro Raumwinkelelement   ausgesendet wird:

 

  ist hierbei der Winkel zwischen Abstrahlrichtung und Flächennormale, die senkrecht auf dem Flächenelement   steht.

Die Definition der Leuchtdichte weist die Besonderheit auf, dass der abgegebene Lichtstrom nicht wie üblich auf das abstrahlende Flächenelement  , sondern auf das in Abstrahlrichtung projizierte Flächenelement   bezogen wird. Der in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom hängt nämlich zum einen von den (möglicherweise richtungsabhängigen) physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche und zum anderen rein geometrisch von der in Abstrahlrichtung wirksamen Projektion des strahlenden Flächenelements ab. Der zweite Effekt bewirkt, dass der unter dem Polarwinkel   abgegebene Lichtstrom um den Faktor   geringer ist als der senkrecht abgegebene Lichtstrom. Die Division durch den Faktor   rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass in der Leuchtdichte nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften (z. B. dem Leuchtdichtekoeffizient) übrig bleibt.

Lambertscher StrahlerBearbeiten

Oberflächen, welche nach Herausrechnen des  –Faktors keine Richtungsabhängigkeit der Leuchtdichte mehr aufweisen, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler. Ein lambertsches Flächenelement gibt in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte   ab. Die Leuchtdichte ist daher nicht mehr winkelabhängig:

 

Der von einem lambertschen Strahler in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom   variiert nur noch mit dem Kosinus des Abstrahlwinkels  . Solche Strahler sind daher mathematisch besonders einfach zu behandeln:

 

Insbesondere kann bei der Integration über den Raumwinkel   die nunmehr winkelunabhängige Leuchtdichte   als Konstante vor das Integral gezogen werden, was die Integration oft wesentlich vereinfacht (siehe unten).

Ein Beispiel für eine diffus leuchtende Fläche ist ein beleuchtetes Blatt Papier. Betrachtet man es aus verschiedenen Richtungen, so bleibt die wahrgenommene Leuchtdichte der Fläche dabei konstant, während die den Betrachter erreichende gesamte Lichtmenge (die Lichtstärke) von der projizierten Fläche abhängt und daher mit dem Cosinus des Betrachtungswinkels variiert.

Empfindlichkeit der Wahrnehmung
Bemerkung Leuchtdichte (cd/m2)
Sehschwelle ca. 3 · 10−6
skotopisches Sehen reines Nachtsehen 3 · 10−6  bis  3…30 · 10−3
mesopisches Sehen 3…30 · 10−3  bis  3…30
photopisches Sehen reines Tagsehen über 3…30
Zapfen­sättigung Blendung ab 105…106

Empfindlichkeit der AugenBearbeiten

Der Beobachter nimmt die Leuchtdichten der ihn umgebenden Flächen unmittelbar als deren Flächenhelligkeiten wahr. Aufgrund der Anpassungsfähigkeit des Auges können die wahrnehmbaren Leuchtdichten zahlreiche Größenordnungen überstreichen. Die angegebenen Werte schwanken von Mensch zu Mensch und sind auch von der Frequenz des Lichts abhängig.

BeispieleBearbeiten

Natürliche Lichtquellen
Leuchtdichte (cd/m2)
mittlerer klarer Himmel 8000
mittlerer bedeckter Himmel 2000
Nachthimmel bei Vollmond 0000,1
sternklarer Nachthimmel 0000,001
bewölkter Nachthimmel 10−6…10−4
Sonnenscheibe am Mittag 1600 · 106
Sonnenscheibe am Horizont 0006 · 106
Oberfläche des Mondes 2500
Flächenhelligkeit technischer Strahler
Leuchtdichte (cd/m2)
Xenon-Gasentladungslampe 5000 · 106 [2]
Natriumdampflampe 0005 · 106
weiße LED 0050 · 106
Draht einer Halogenlampe 0020…30 · 106
matte 60-W-Glühlampe 120.000
T8 Fluoreszenzröhre, kaltweiß 011.000
Elektrolumineszenz-Folie 0030…200
Leuchtdichte von Monitoren
Leuchtdichte (cd/m2)
Röhrenmonitor: weiß 0080…200
Röhrenmonitor: schwarz teilweise < 0,01
LCD: weiß 0150…500
LCD: schwarz 0000,15…0,8
LED Outdoor Videowall 5000…7500

Zusammenhang mit anderen photometrischen GrößenBearbeiten

AllgemeinesBearbeiten

Die Leuchtdichte gibt an, wie viel Licht von einem gegebenen infinitesimalen Flächenelement in eine gegebene Richtung abgestrahlt wird, und liefert so die detaillierteste Beschreibung der Leuchteigenschaften der betreffenden Oberfläche. Umstellen der Definitionsgleichung für die Leuchtdichte liefert den infinitesimalen Lichtstrom, der von dem an der Stelle  ,   liegenden Flächenelement   in das Raumwinkelelement   gestrahlt wird, welches in der durch die Winkel   und   beschriebenen Richtung liegt:

 

Soll die Lichtausstrahlung einer endlich großen Abstrahlfläche   in einen endlich großen Raumwinkel   ermittelt werden, so ist über   und   zu integrieren:

 

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in Kugelkoordinaten verwendet:

 

Da   im Allgemeinen vom Ort  ,   auf der Leuchtfläche   und von den überstrichenen Richtungen   und   abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral. Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Leuchtfläche ein lambertscher Strahler (die Leuchtdichte also richtungsunabhängig) mit konstanten Oberflächeneigenschaften (die Leuchtdichte also ortsunabhängig) ist. Dann ist die Leuchtdichte eine konstante Zahl   und kann vor das Integral gezogen werden:

 

Das verbleibende Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels   ab und kann unabhängig von   gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt und fertig tabelliert werden.

Wird beispielsweise die Lichtausstrahlung in den gesamten von der Leuchtfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert  

 ,

und der Lichtstrom eines flächenhomogenen lambertschen Strahlers der Fläche   in den gesamten Halbraum ist einfach:

 

Auf ähnliche Weise können aus der Leuchtdichte die anderen photometrischen Größen durch Integration über die Gesamtfläche und/oder alle Richtungen des Halbraumes abgeleitet werden.

LichtstärkeBearbeiten

Betrachtet man statt der Abstrahlung eines Flächenelementes die Abstrahlung der Gesamtfläche eines Körpers in eine gegebene Richtung, so ist   über die Abstrahlfläche, aber nicht über die Richtungen zu integrieren, und man erhält die Lichtstärke   des Körpers in dieser Richtung:

 ,

wobei die Koordinaten  ,   die Position des Flächenelements auf der Gesamtfläche beschreiben und die Winkel  ,   die betrachtete Ausstrahlrichtung bezüglich der Flächennormalen von   angeben. Insbesondere ist   wieder der Winkel zwischen betrachteter Ausstrahlrichtung und Flächennormale. Das Integral ist über jenen Teil   der gesamten Oberfläche   zu erstrecken, für den   ist.

Die Lichtstärke ist gewissermaßen die Summe aller in einer bestimmten Richtung abgegebenen Leuchtdichten der Körperoberfläche.

Spezifische LichtausstrahlungBearbeiten

Betrachtet man statt der Abstrahlung des Flächenelements in eine bestimmte Richtung seine Abstrahlung in den gesamten vom Flächenelement überschauten Halbraum, so ist   über alle Richtungen aber nicht über die Gesamtfläche zu integrieren und man erhält die spezifische Lichtausstrahlung   des Flächenelements:

 

Im Spezialfall eines lambertschen Strahlers ist   unabhängig von den Winkeln   und   und kann vor das Integral gezogen werden. Das verbleibende Integral hat, wie oben erläutert, den Wert  , und es ergibt sich der einfache Zusammenhang

   (für einen lambertschen Strahler).

LichtstromBearbeiten

Integriert man die Leuchtdichte über alle Richtungen des Halbraums und alle Flächenelemente der strahlenden Fläche, oder die Lichtstärke über alle Richtungen, oder die spezifische Lichtausstrahlung über alle Flächenelemente, so erhält man den gesamten Lichtstrom   des leuchtenden Körpers:

 

Im Spezialfall eines lambertschen Strahlers ist   und der Lichtstrom lässt sich direkt aus der Leuchtdichte berechnen:

 , für einen lambertschen Strahler

Ist die Leuchtdichte darüber hinaus auch flächenhomogen (also auf der gesamten Fläche   dieselbe), dann vereinfacht sich das Integral zu einer einfachen Multiplikation:

   (für einen flächenhomogenen lambertschen Strahler),

wie oben bereits durch eine direkte Integration gezeigt.

Fotometrisches GrundgesetzBearbeiten

LichtausstrahlungBearbeiten

 
Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im fotometrischen Grundgesetz

Betrachtet man ein Flächenelement  , welches mit der Leuchtdichte   ein im Abstand   befindliches Flächenelement   beleuchtet, so spannt   von   aus betrachtet den Raumwinkel   auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

 

Dabei sind   und   die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das fotometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich der insgesamt von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Lichtstrom  .

LichteinstrahlungBearbeiten

Die Beleuchtungsdichte   ist analog zur Leuchtdichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welcher Lichtstrom   aus der durch den Polarwinkel   und den Azimutwinkel   gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement   und pro Raumwinkelelement   empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für den auf Flächenelement   empfangenen, von   abgegebenen Lichtstrom:

 

wobei diesmal der von   aufgespannte Raumwinkel   auftritt.

FolgerungBearbeiten

Der von   nach   ausgesandte und der auf   von   empfangene Lichtstrom müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Licht durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

 

Die von Flächenelement   ausgesandte Leuchtdichte ist identisch mit der auf Flächenelement   eintreffenden Beleuchtungsdichte.

Man beachte also, dass die Leuchtdichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Der gesamte übertragene Lichtstrom   bzw.   nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors   im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt.

Wird die Beleuchtungsdichte   über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Beleuchtungsstärke genannte Einstrahl-Lichtstromflächendichte   auf der Empfängerfläche in lm/m2. Falls die in eine bestimmte Richtung abgegebene Leuchtdichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die mit ihr identische aus derselben Richtung stammende Beleuchtungsdichte der Empfängerfläche bekannt und die Beleuchtungsstärke auf der Empfängerfläche kann aus der Leuchtdichteverteilung der Senderfläche sofort berechnet werden:

 

BeispielBearbeiten

Vergleicht man eine nahe Plakatwand mit einer identisch beleuchteten weiter entfernten, so erscheinen beide gleich hell (sie haben eine abstandsunabhängige und daher in beiden Fällen identische Leuchtdichte). Die nähere Wand nimmt aber für den Beobachter einen größeren Raumwinkel ein, so dass den Beobachter aus diesem größeren Raumwinkel insgesamt ein größerer Lichtstrom erreicht (die nähere Wand erzeugt wegen ihres größeren Raumwinkels eine größere Beleuchtungsstärke beim Beobachter; er kann in ihrer Beleuchtung Zeitung lesen).

MaßeinheitenBearbeiten

Die SI-Einheit der Leuchtdichte ist Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Im englischsprachigen Raum, vor allem in den USA, wird dafür auch die Bezeichnung Nit (Einheitenzeichen nt, von lateinisch nitere = „scheinen“, Mehrzahl Nits) verwendet:

 [3]

Die Angabe der Leuchtdichte wird für die Helligkeit von Computer-Bildschirmen verwendet, die typischerweise 200 bis 300 cd/m² aufweisen. Ebenso wird die Helligkeit von LED-Videowänden, wie sie in der Veranstaltungsbranche verwendet werden, oftmals in Nit angegeben. Üblich sind hier Werte im unteren bis mittleren vierstelligen Bereich. Das Nit ist in Deutschland und der Schweiz keine gesetzliche Einheit.

Daneben ist in den USA auch die Einheit Lambert gebräuchlich:

 

Umrechnungsfaktoren zu anderen Einheiten der Leuchtdichte sind u. a.:

  • Stilb: 1 sb = 1 cd/cm² = 10.000 cd/m²
  • Apostilb, Blondel: 1 asb = 1 blondel = 1/π × 10−4 sb = 1/π cd/m²
  • Skot: 1 skot = 0,001 blondel = 0,001 asb = 10−3/π cd/m²
  • Footlambert: 1 fL = 1/π cd/ft² ≈ 3,426 cd/m²
  • Candela pro Quadratfuß: 1 cd/ft² ≈ 10,764 cd/m²
  • Candela pro Quadratzoll: 1 cd/in² ≈ 1550 cd/m².
Übersicht über photometrische Größen und Einheiten
Bezeichnung Formelzeichen Definition Einheitenname Einheitenumformung Dimension
Lichtstrom
luminous flux, luminous power
    Lumen (lm)    
Beleuchtungsstärke
illuminance
    Lux (lx), früher Nox (nx), Phot (ph)    
Spezifische Lichtausstrahlung
luminous emittance
    Lux (lx)    
Leuchtdichte
luminance
    keine eigene Einheit, manchmal Nit genannt, früher
in Stilb (sb), Apostilb (asb), Lambert (la), Blondel
   
Lichtstärke
luminous intensity
    Candela (cd) (SI-Basiseinheit), früher in Hefnerkerze
(HK), Internationale Kerze (IK), Neue Kerze (NK)
   
Lichtmenge
luminous energy
    Lumensekunde (lm s), Talbot, Lumberg    
Belichtung
luminous exposure
    Luxsekunde (lx s)    
Lichtausbeute
luminous efficacy
    Lumen / Watt    
Raumwinkel
solid angle
    Steradiant (sr)     (Eins)

LiteraturBearbeiten

  • Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin/Offenbach 1997, ISBN 3-8007-2163-5.
  • Wilhelm Gerster: Moderne Beleuchtungssysteme für drinnen und draussen. 1. Auflage, Compact Verlag, München 1997, ISBN 3-8174-2395-0.
  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
  • Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung – Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996, für den analogen Fall der radiometrischen Strahldichte.
  2. Datenblatt Xenonstrahler (PDF; 5,5 MB).
  3. Lumitex: Tech Note 1-1: Light Energy/Brightness Units and Conversions (Memento vom 17. März 2006 im Internet Archive) (englisch).