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Coulombsches Gesetz

Elektrostatik: Kraft der Anziehung zweier Ladungen
(Weitergeleitet von Coulombsche Kraft)

Das coulombsche Gesetz oder Coulomb-Gesetz ist die Basis der Elektrostatik. Es beschreibt die Kraft zwischen zwei Punktladungen oder kugelsymmetrisch verteilten elektrischen Ladungen. Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach Vorzeichen der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem Gravitationsgesetz.

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem Superpositionsprinzip addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der Influenz.

Inhaltsverzeichnis

Coulomb-KraftBearbeiten

 
Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.
 
Torsionspendel von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte

Das coulombsche Gesetz wurde von Charles Augustin de Coulomb um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im Internationalen Einheitensystem, in skalarer Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

 ,
 ,   kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen
  Abstand zwischen den Mittelpunkten der Ladungsmengen
  elektrische Feldkonstante

VektorformBearbeiten

Die vektorielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-Kraftfeld, dem eine Probeladung   im Feld einer zweiten Ladung   ausgesetzt ist, wie folgt:

 

(sprich: Die Kraft   auf die Probeladung  , hervorgerufen von der Ladung  ; und: der Vektor   vom Punkt der Ladung   ausgehend zum Punkt der Probeladung   )

Hierbei sind

 

der Einheitsvektor, der von   (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung   zeigt; sowie   und   die Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte. Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft   in solchem Fall dieselbe Orientierung wie   besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft   dann (analog zum newtonschen Gravitationsgesetz) die entgegengesetzte Orientierung von   besitzt.

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung   gelegt, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

 .

Weiter ist dann

 

der Vektor der Feldstärke des von der Zentralladung   erzeugten elektrischen Feldes an der Stelle  , d. h. im Abstand   vom Ursprung.

Wird die das Feld erzeugende Zentralladung   durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit der Ladungsverteilung   ersetzt, tritt an die Stelle der eingangs gegebenen Formel für die Coulomb-Kraft auf die Probeladung   das Integral

 .

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

Coulomb-KonstanteBearbeiten

Der in den obigen Gleichungen auftretende Term

 

wird auch als Coulomb-Konstante bezeichnet. Dabei ist   die Lichtgeschwindigkeit. Da die magnetische Feldkonstante   fast genau den Wert   hat (bis zur Neudefinition der SI-Einheiten 2019 galt der Wert exakt), hat   fast genau den Zahlenwert von  .

Form im CGS-SystemBearbeiten

In Gaußschen Einheiten und in anderen CGS-Einheiten wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, CGS-ESU und CGS-EMU unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von  

  • Im CGS-ESU ist  . Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert  .
  • Im CGS-EMU ist  . Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert  .

Coulomb-PotentialBearbeiten

Das elektrische Feld ist, solange keine zeitliche Änderung des magnetischen Felds auftritt, wirbelfrei und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von A nach B daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg. Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein Potential beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung Q wie folgt beschrieben werden kann:

 

Dabei wird die Integrationskonstante C typischerweise null, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der Spannungsabfall U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch Magnetfelder ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein Liénard-Wiechert-Potential.

Die potentielle elektrische Energie   ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

 

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird,   also auch hier gleich null ist.

Coulomb-Kraft in einem MediumBearbeiten

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in homogenen, isotropen, linearen Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:

  • Es ist elektrisch neutral.
  • Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum gleichmäßig (homogen) aus.
  • Die Polarisierbarkeit des Mediums ist richtungsunabhängig.
  • Die Polarisierung ist proportional zum elektrischen Feld, das von den Ladungen erzeugt wird.

Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass   durch   ersetzt wird:

 

Die relative Permittivität   ist bei isotropen Medien eine Materialkonstante, die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum  .

LiteraturBearbeiten

  • Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.