Alephformel

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Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre. Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt mit den Namen der Mathematiker Gerhard Hessenberg, Felix Hausdorff und Felix Bernstein verbunden.[1][2][3] [4][5][6][7][8]

Der Terminus Alephformel(n) wird vor allem von Arnold Oberschelp und Dieter Klaua in ihren jeweiligen Monographien Allgemeine Mengenlehre benutzt, wobei Oberschelp mit diesem Terminus explizit die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel (s. u.) meint.[1][7]

Hessenbergs Formel

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Die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel – die auch als Satz von Hessenberg zitiert wird – ist von grundlegender Bedeutung für die gesamte Kardinalzahlarithmetik. Sie lässt sich folgendermaßen angeben:[9][10][11][12]

Für jede Ordinalzahl   gilt
 .

Folgerungen

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Die hessenbergsche Formel zieht eine Reihe von weiteren Alephformeln nach sich.

I
Für je zwei Ordinalzahlen   und   gilt die hessenbergsche Gleichung
 .[13][14][15][16][17]
II

Unter Anwendung der hessenbergschen Gleichung ergibt sich auch die von Felix Bernstein vorgelegte bernsteinsche Formel:[18][19][20]

Für je zwei Ordinalzahlen   und   mit   gilt
 .
III

Felix Bernstein hat eine weitere Alephformel geliefert, die bei Klaua auch als bernsteinscher Alephsatz bezeichnet wird und die auf Bernsteins Publikation aus dem Jahre 1905 zurückgeht:[21][22]

Für je zwei Ordinalzahlen   und   mit und alle natürlichen Zahlen   gilt
 .

Formel von Hausdorff

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Weitergehend als der bernsteinsche Alephsatz ist ein Satz, der von Felix Hausdorff im Jahre 1904 bewiesen wurde und in dem er die bekannte hausdorffsche Rekursionsformel (englisch Hausdorff recursion formula) formuliert:[23][21][24][22]

Für je zwei Ordinalzahlen   und   mit und alle natürlichen Zahlen   gilt
 .
Insbesondere gilt für jede Ordinalzahl  , die keine Limeszahl ist, und jede Ordinalzahl   die Formel
 .

Verwandte Formeln

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Jenseits der oben dargestellten klassischen Alephformeln gibt es eine Anzahl von verwandten Formeln, welche die Alephs in einen weiteren Kontext stellen.

Formel von König

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Im Jahre 1904 bewies Julius König eine Formel, welche die bekannte Ungleichung   verschärft und die zugleich für die Alephs eine obere Abschätzung mittels Konfinalitäten liefert. Diese Formel, die auf dem Satz von König beruht, besagt nämlich:[25][26][27]

Für jede Ordinalzahl   gilt die Ungleichung
 .

Bezug zur Kontinuumshypothese

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Auch die von Hausdorff im Jahre 1908 formulierte Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) lässt sich als Alephformel verstehen. Man spricht daher auch von der Alephhypothese (AH). Diese besagt nämlich:[28][29][26]

Für jede Ordinalzahl   gilt die Gleichung
 .

Hierzu hat man die folgenden Formeln:[30]

I
Unter Annahme der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) gilt für Ordinalzahlen   und   im Falle, dass   regulär ist:
 , falls  
 , falls  
II
Unter Annahme der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) gilt für Ordinalzahlen   und   im Falle, dass  singulär ist:
 , falls  
 , falls  
 , falls  

Erläuterungen und Anmerkungen

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  • Die Alephs sind als Ordinalzahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie unendlich und – in Bezug auf die auf der Ordinalzahlenklasse   gegebene Wohlordnungsrelation – mit keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig sind.[31]
  • Dieter Klaua definiert in seiner Allgemeine Mengenlehre nicht explizit, was er unter Alephformeln versteht. Aus dem Kontext wird jedoch klar, was gemeint ist.
  • Die Formel von Hessenberg umfasst (offenbar) den schon von Georg Cantor mit Hilfe seiner Paarungsfunktion bewiesenen Satz, demzufolge   und   gleichmächtige Mengen sind.
  • Die Formel von Hessenberg wurde im Jahre 1908 von Philip Jourdain wiederentdeckt.[32]
  • Der Terminus Alephhypothese geht auf Felix Hausdorff und dessen Arbeit aus dem Jahre 1908 zurück. Hausdorff benutzt dort sogar den Terminus Cantorsche Alefhypothese.[33]
  • Einige Autoren – wie Walter Felscher in Naive Mengen und abstrakte Zahlen III – unterscheiden zwischen der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) und der Alephhypothese (AH).[34] Laut Felscher gilt dabei: "In einer Mengenlehre mit Fundierungsaxiom sind (GCH) und (AH) äquivalent; in jedem Falle folgt aus (GCH) auch (AH)."[35] Wie Ulrich Felgner in 1971 zeigte, sind die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) und die Alephhypothese (AH) in einer Mengenlehre ohne Auswahlaxiom und ohne Fundierungsaxiom nicht miteinander äquivalent.[36]

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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Satz von Hausdorff

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Der Satz von Hausdorff ist einer der zahlreichen mathematischen Lehrsätze, die der deutsche Mathematiker Felix Hausdorff (1868–1942) zu den Gebieten Mengenlehre und Ordnungstheorie beigetragen hat. Der Satz geht zurück auf Hausdorffs Arbeiten über Konfinalität und Ordnungstypen.[37][38]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:[39][40]

In einer nichtleeren linear geordneten Menge   existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation   wohlgeordnete Teilmenge  , die in   konfinal ist.
Hat   dabei die Mächtigkeit   und besitzt   den Ordnungstypus  , so gilt in Bezug auf die zu   gehörige Anfangszahl die Ungleichung  .

Folgerungen

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Aus dem Hausdorff'schen Satz ergibt sich unmittelbar folgendes Resultat:[41]

In einer nichtleeren teilweise geordneten Menge   existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation   wohlgeordnete Teilmenge  , mit der   konfinal im Sinne von Hausdorff ist.

Weiterhin gewinnt man aus dem Satz ein Resultat über reguläre Ordinalzahlen:[42]

Jede unendliche reguläre Ordinalzahl ist eine Anfangszahl  , während die einzigen endlichen regulären Ordinalzahlen   und   sind.

Der Satz besitzt zudem eine weitere Verschärfung, die im Wesentlichen auch auf Hausdorff zurückgeht:[43][44]

Für eine linear geordnete Menge   ist die Konfinalität   stets entweder   oder   oder aber – nämlich dann, wenn   kein größtes Element besitzt – eine reguläre Anfangszahl und daneben gibt es keine andere reguläre Ordinalzahl, die als Ordnungstypus   einer in   enthaltenen konfinalen Teilmenge   vorkommt.

Anmerkungen

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Literatur

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Einzelnachweise

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Anfangszahl

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Der Begriff der Anfangszahl (engl. initial number oder initial ordinal) entstammt der Mengenlehre.

Er hängt direkt zusammen mit der Klasseneinteilung der unendlichen Ordinalzahlen nach ihrer Mächtigkeit. In jeder der dabei gebildeten Zahlklassen bildet die jeweils zugehörige Anfangszahl die kleinste Ordinalzahl innerhalb dieser Zahlklasse. Auf diesem Wege stehen Anfangszahlen und Alephs zueinander in umkehrbar eindeutiger Beziehung (Bijektion).

Definition

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Gegeben sei eine beliebige unendliche Kardinalzahl  . Zu dieser bildet man innerhalb der Ordinalzahlenklasse   die zugehörige Zahlklasse   derjenigen Ordinalzahlen  , für die   ist. In   existiert eine eindeutig bestimmte kleinste Ordinalzahl.

Diese Zahl nennt man die zu   gehörige Anfangszahl[46] oder die Anfangszahl der Mächtigkeit  [47] und bezeichnet sie mit  .

Ist dabei   ein Aleph, etwa   für  , so setzt man  .

Eigenschaften

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Die Anfangszahlen haben folgende Eigenschaften:[48][49][50][51][52][53]

(1) Keine Anfangszahl ist gleichmächtig einer Ordinalzahl, welche innerhalb der Ordinalzahlenklasse   echt kleiner ist als sie selbst.
(2)  [54]
(3) Bezeichnet man mit   die Hartogs-Zahl-Funktion, so ist stets  .
(4)  , falls   eine Limeszahl ist
(5)  
(6)  
(7) Zu jeder Anfangszahl   gibt es ein   mit  .
(8) Jede Anfangszahl ist eine Limeszahl.
(9) Für jedes   hat   den Ordnungstypus   und somit die Mächtigkeit  .
(10) Für   gilt   dann und nur dann, wenn  .
(11) Für   gilt   dann und nur dann, wenn  .

Anmerkungen

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  1. Neben der Schreibung   findet man auch die Schreibung  [55]
  2. Manche Autoren fassen die Begriffe Aleph und Anfangszahl gleich auf.[56][57]
  3. Die obige Eigenschaft (1) ist in gewissem Sinne charakteristisch für die Anfangszahlen, könnte also zur Definition herangezogen werden.[58] Geht man so vor, so hat man auch endliche Anfangszahlen, also die natürlichen Zahlen, zu betrachten.
  4. Georg Cantor folgend bezeichnet man als erste Zahlklasse die Menge der natürlichen Zahlen, während man   die zweite Zahlklasse nennt.[59][60] Die erste Zahlklasse hat demnach die Mächtigkeit  , die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit  . Das berühmte Kontinuumsproblem lässt sich daher auch mit der Frage gleichsetzen, ob die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit des Kontinuums hat.[61]
  5. Im Zusammenhang mit den Anfangszahlen hat Felix Hausdorff den nach ihm benannten Satz von Hausdorff formuliert.

Literatur

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Einzelnachweise

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Satz von Kurepa

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Der Satz von Kurepa (englisch Theorem of Kurepa) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Mengenlehre. Er geht zurück auf den jugoslawischen Mathematiker Đuro Kurepa.[62])[63][64]

Der Satz beinhaltet eine logisch äquivalente Formulierung des Auswahlaxioms in der Sprache der Ordnungstheorie.

Formulierung des Satzes

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Der Satz von Kurepa lässt sich wie folgt formulieren:[65][62][63]

Das Auswahlaxiom ist logisch äquivalent mit der Bedingung, dass jedes der beiden folgenden Prinzipien   ) und      Gültigkeit hat:
      : Auf jeder Menge       existiert eine lineare Ordnung    .
    : Jede Antikette einer jeden teilweise geordneten Menge   ist in einer bezüglich   maximalen Antikette enthalten.

In formelhafter Kurzdarstellung lässt sich der Satz auch so angeben:

Auswahlaxiom         

Literatur

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Originalarbeiten

  • G. Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. Band 126, 1953, S. 381–384 (MR0058686).

Monographien

Einzelnachweise

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Hausdorffs Maximalkettensatz

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Der Maximalkettensatz, auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet, englisch Hausdorff's maximal principle, ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie. Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre.[66] Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) zum Auswahlaxiom logisch äquivalent.[67]

Formulierung

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Das Maximalitätsprinzip lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben sei eine teilweise geordnete Menge   und darin eine Teilmenge   die bzgl. der gegebenen Ordnungsrelation   eine Kette darstellt, d. h., für je zwei Elemente   und   von   gilt entweder   oder  
Dann existiert eine   umfassende Kette   von   die ihrerseits von keiner anderen Kette von   echt umfasst wird.

In Kurzform besagt das Maximalitätsprinzip also, dass in einer geordneten Menge jede Kette zu einer bezüglich der Inklusionsrelation maximalen Kette erweitert werden kann. Dies motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz.

Herleitung aus dem Auswahlaxiom nach Paul Halmos

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Eine gut nachvollziehbare direkte Herleitung des Maximalkettensatzes aus dem Auswahlaxiom (ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes) gibt Walter Rudin im Anhang seines bekannten Lehrbuches Reelle und komplexe Analysis. Wie Rudin zeigt, liegt der entscheidende Beweisschritt in folgendem Hilfssatz, den Paul Halmos in seinem Lehrbuch Naive Mengenlehre (siehe Literatur) benutzt, um das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten.[68][69]

Hilfssatz von Halmos

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Sei   eine gegebene Grundmenge und   ein nicht-leeres induktives Teilmengensystem in der zugehörigen Potenzmenge   also ein Teilmengensystem mit der Eigenschaft, dass für jede nicht-leere Kette von Teilmengen[70]   deren Vereinigung   wiederum zu   gehört.
Weiter sei gegeben eine Funktion   mit   für   sodass folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:
(1)  
(2)  
Dann existiert ein   mit  

Eigentliche Herleitung

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Für die gegebene teilweise geordnete Menge   sei   das Mengensystem der Ketten bezüglich   innerhalb von  

  ist stets nicht-leer und ein induktives Mengensystem.

Das vorausgesetzte Auswahlaxiom sichert nun die Existenz einer Auswahlfunktion für   also eine Funktion   mit   für alle  

Damit setzt man für  

 

und definiert dann:

 

Nach dem Halmosschen Hilfssatz ist nun für mindestens ein  

 

Dieses   ist nun nach Definition ein bezüglich der Inklusionsrelation maximales Element von  

Dieser Schluss zeigt, dass das Auswahlaxiom den Hausdorffschen Maximalkettensatz nach sich zieht.[71]

Historische Anmerkungen

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Felix Hausdorff veröffentlichte den Maximalkettensatz im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Die oben wiedergegebene Formulierung ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise genannt wird. Streng bewiesen – ausgehend vom Wohlordnungssatz – hat Felix Hausdorff in den Grundzügen eine äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung:

In einer geordneten Menge   existiert stets mindestens eine Kette, die von keiner anderen Kette von   echt umfasst wird.

Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an seinen Beweis darauf hin, dass der Maximalkettensatz in seiner obigen Formulierung mit einem ganz gleichartigen Beweis ebenfalls abgeleitet werden kann.[66]

Manche Autoren der englischsprachigen Literatur ordnen den Maximalkettensatz Kazimierz Kuratowski zu und bezeichnen ihn als Kuratowski Lemma.[72] Hinsichtlich der mathematikgeschichtlichen Zusammenhänge ist anzumerken, dass der Maximalkettensatz in einer jeweils anderen, jedoch äquivalenten, Form mehrfach entdeckt oder wiederentdeckt wurde. Das bekannteste Beispiel ist hier wohl das Lemma von Zorn.[73][74]

Interessant ist in diesem Zusammenhang der Hinweis von Walter Rudin in seiner Reellen und komplexen Analysis,[75] dass der Beweis des Maximalkettensatzes auf dem Wege über den Hilfssatz von Halmos demjenigen ähnelt, den Ernst Zermelo im Jahre 1908 als zweite Herleitung des Wohlordnungsatzes aus dem Auswahlaxiom vorgelegt hat.

Zur Entwicklungsgeschichte von Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Maximalkettensatz, Lemma von Zorn und anderen gleichwertigen Maximalprinzipien gibt die Monographie von Moore eine ausführliche Darstellung (siehe Literatur).

Literatur

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Originalarbeiten

  • Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Math. Ann. Band 59, 1904, S. 514–516.
  • Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Math. Ann. Band 65, 1908, S. 107–128.

Monografien

Einzelnachweise und Anmerkungen

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KKKategorie:Mengenlehre]] KKKategorie:Ordnungstheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)]] KKKategorie:Felix Hausdorff]]

  1. a b Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. 1964, S. 507 ff.
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 2003, S. 127 ff.
  3. Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen III. 1979, S. 107 ff.
  4. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 176 ff.
  5. Kuratowski/Mostowski: Set Theory. 1976, S. 267 ff.
  6. Azriel Lévy: Basic Set Theory. 1979, S. 92 ff.
  7. a b Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, S. 237 ff.
  8. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. 1958, S. 389 ff.
  9. Ebbinghaus, op. cit., S. 127
  10. Kamke, op. cit., S. 176
  11. Klaua, op. cit., S. 507
  12. Lévy, op. cit., S. 94.
  13. Klaua, op. cit., S. 509
  14. Kamke, op. cit., S. 177.
  15. Lévy, op. cit., S. 95.
  16. Oberschelp, op. cit., S. 239
  17. Sierpiński, op. cit., S. 395.
  18. Klaua, op. cit., S. 510
  19. Felscher, op. cit., S. 109.
  20. Oberschelp, op. cit., S. 241.
  21. a b Klaua, op. cit., S. 512
  22. a b Sierpiński, op. cit., S. 402.
  23. Felix Hausdorff: Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 13, S. 570
  24. Lévy, op. cit., S. 187.
  25. Oberschelp, op. cit., S. 246.
  26. a b Hrbacek/Jech: Introduction to Set Theory. 1999, S. 165.
  27. Obwohl hier die Jahreszahl 1904 genannt ist, erfolgte die Veröffentlichung erst in den Mathematische Annalen des Jahres 1905.
  28. Klaua, op. cit., S. 500
  29. Oberschelp, op. cit., S. 241–242.
  30. Hrbacek/Jech, op. cit., S. 166–167.
  31. Felscher, op. cit., S. 107.
  32. Lévy, op. cit., S. 97.
  33. Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Ann. 65, S. 494
  34. Felscher, op. cit., S. 173–175.
  35. Felscher, op. cit., S. 174.
  36. Oberschelp, op. cit., S. 242.
  37. P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. 1994, S. 86 ff.
  38. Egbert Harzheim: Ordered Sets. 2005, S. 271 ff.
  39. Alexandroff, op. cit., S. 87
  40. a b Harzheim, op. cit., S. 72.
  41. a b c Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
  42. Harzheim, op. cit., S. 73.
  43. Harzheim, op. cit., S. 74.
  44. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. 1958, S. 458–459.
  45. Alexandroff, op. cit., S. 88–89
  46. Kamke: S. 174
  47. Alexandroff: S. 79
  48. Alexandroff: S. 79 ff.
  49. Fraenkel: S. 192 ff.
  50. Kamke: S. 174 ff.
  51. Hrbacek-Jech: S. 132 ff.
  52. Oberschelp: S. 189 ff.
  53. Sierpiński: S. 391 ff.
  54.   besteht also genau aus den natürlichen Zahlen.
  55. Klaua: S. 289
  56. Ebbinghaus: S. 134 ff.
  57. Hrbacek-Jech: S. 135
  58. Vgl. Hrbacek-Jech: S. 133
  59. Kamke: S. 181
  60. Klaua: S. 290
  61. Kamke: S. 181
  62. a b Harzheim: S. 52.
  63. a b Sierpiński, S. 428
  64. Oft auch unter dem Namen Đuro Kurepa genannt oder (meist im englischen Sprachraum) unter Djuro Kurepa; kyrillisch Ђуро Курепа (* 16. August 1907; † 2. November 1993) – Dura Kurepa. history.mcs.st-andrews.ac.uk
  65. Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. Band 126, 1953, S. 381.
  66. a b Grundzüge der Mengenlehre. S. 140–141.
  67. Vgl. etwa Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, 2002, S. 602–604. und Harzheim: Ordered Sets. 2005, S. 50–52.
  68. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 473–475, 483–484.
  69. Der Beweis dieses Hilfssatzes lässt sich im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Benutzung des Auswahlaxioms führen.
  70. Kette in Bezug auf die Inklusionsrelation
  71. Da nun das Lemma von Zorn aus dem Maximalkettensatz gefolgert werden kann und dieses wiederum das Auswahlaxiom impliziert, findet man, dass es sich um drei logisch äquivalente Prinzipien handelt.
  72. Etwa Kelley oder Hamilton; siehe Literatur!
  73. Vgl. Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, S. 603.
  74. Daher wird das Zornsche Lemma auch als Lemma von Kuratowski-Zorn bezeichnet; vgl. Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, S. 603.
  75. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 483–484.