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Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

DefinitionBearbeiten

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse   der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl   mit der kleinsten zu   gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus   von   auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von   an der Stelle   bezeichnet man mit  , das heißt   ist die  -te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

  •   ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
  •  , also die kleinste Kardinalzahl, die größer als   ist,
  •   für Limes-Ordinalzahlen  .

EigenschaftenBearbeiten

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist  , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als  , ist  , und so weiter. Die Frage, ob   gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist   eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls   eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet   die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich  , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise.   ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als   geschrieben werden.

Es gilt stets   für alle Ordinalzahlen  . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen  , für die   gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge  , der informal als   dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus dem Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
  • Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.