In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, englisch cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.

Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definitionen

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  • Sei   eine durch   partiell geordnete Menge und  . Die Menge   heißt konfinal (kofinal) in   oder auch konfinal in  , falls zu jedem   ein   mit   existiert.
  • Die Konfinalität von   wird mit   bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.
 .
  • Für eine Ordinalzahl   und damit auch für eine jede Kardinalzahl   hat man folgende Begriffsbildung:
Falls  , so heißt   singulär.
Falls  , so heißt   regulär.

Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff

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In Hausdorffs Grundzüge der Mengenlehre findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalität, welche im Falle, dass eine linear geordnete Menge vorliegt, mit der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt sich folgendermaßen darstellen:[1][2]

  • Ist   eine nichtleere teilweise geordnete Menge und   eine darin liegende nichtleere Teilmenge, so sagt man,   sei mit   konfinal, wenn kein Element   existiert, welches echt größer ist als jedes Element  .[3]

Folgerungen

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  ist kofinal in  
ist transitiv und reflexiv, also eine Quasiordnung.
Transitivität: Ist   und  , dann ist erstens  . Zweitens gibt es zu jedem   ein   mit  . Ist nun  , dann gibt es ein   mit  , also auch ein   mit  . Zusammengenommen folgt  .
Die Reflexivität ist trivial.
  • Die Konfinalität ist genau dann  , wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
  • Die Konfinalität ist genau dann  , wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
  • Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also   (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
  • Für totalgeordnetes   gilt  , das heißt,   ist regulär.
  • Für eine Limeszahl   (aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge   genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung   gleich   ist.
  • Besitzt eine unendliche Menge   reguläre Kardinalität  , so benötigt man mindestens   viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als  , um   als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
  • Für eine Limeszahl   ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von   gegen   konvergiert.

Beispiele

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  • Die Konfinalität von   mit der natürlichen Ordnung ist  , denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
  •   ist regulär.
  • Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
  • Die Kardinalzahl   ist singulär. Es gilt  , denn   ist eine konfinale Teilmenge.
  • Ist   eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist   stets regulär. Die Frage, ob es neben   weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der Große-Kardinalzahl-Axiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965, S. 140.
  2. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
  3. In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation   .