Der Satz von Hausdorff ist einer der zahlreichen mathematischen Lehrsätze, die der deutsche Mathematiker Felix Hausdorff (1868–1942) zu den Gebieten Mengenlehre und Ordnungstheorie beigetragen hat. Der Satz geht zurück auf Hausdorffs Arbeiten über Konfinalität und Ordnungstypen.[1][2]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:[3][4]

In einer nichtleeren linear geordneten Menge   existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation   wohlgeordnete Teilmenge  , die in   konfinal ist.
Hat   dabei die Mächtigkeit   und besitzt   den Ordnungstypus  , so gilt in Bezug auf die zu   gehörige Anfangszahl die Ungleichung  .

Folgerungen

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Aus dem Hausdorff'schen Satz ergibt sich unmittelbar folgendes Resultat:[5]

In einer nichtleeren teilweise geordneten Menge   existiert stets eine durch die gegebene Ordnungsrelation   wohlgeordnete Teilmenge  , mit der   konfinal im Sinne von Hausdorff ist.

Weiterhin gewinnt man aus dem Satz ein Resultat über reguläre Ordinalzahlen:[6]

Jede unendliche reguläre Ordinalzahl ist eine Anfangszahl  , während die einzigen endlichen regulären Ordinalzahlen   und   sind.

Der Satz besitzt zudem eine weitere Verschärfung, die im Wesentlichen auch auf Hausdorff zurückgeht:[7][8]

Für eine linear geordnete Menge   ist die Konfinalität   stets entweder   oder   oder aber – nämlich dann, wenn   kein größtes Element besitzt – eine reguläre Anfangszahl und daneben gibt es keine andere reguläre Ordinalzahl, die als Ordnungstypus   einer in   enthaltenen konfinalen Teilmenge   vorkommt.

Anmerkungen

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. 1994, S. 86 ff.
  2. Egbert Harzheim: Ordered Sets. 2005, S. 271 ff.
  3. Alexandroff, op. cit., S. 87
  4. a b Harzheim, op. cit., S. 72.
  5. a b c Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
  6. Harzheim, op. cit., S. 73.
  7. Harzheim, op. cit., S. 74.
  8. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. 1958, S. 458–459.
  9. Alexandroff, op. cit., S. 88–89