Kubikzahl

Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert
(Weitergeleitet von ³)
n³ = n⋅n⋅n

Eine Kubikzahl (von lateinisch cubus, „Würfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert. Beispielsweise ist eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … (Folge A000578 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Würfels her. Die Anzahl der Steine, die man zum Bauen eines Würfels benötigt, entspricht immer einer Kubikzahl. So lässt sich beispielsweise ein Würfel mit der Seitenlänge 3 mit Hilfe von 27 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Kubikzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Tetraederzahlen gehören.

Eigenschaften

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  • Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von einer, zwei, drei, vier, fünf, … ungeraden natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch Summation die Kubikzahlen erzeugen:
     
  • Ausgehend von der Folge der zentrierten Sechseckszahlen 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … erhält man die  -te Kubikzahl als Summe der ersten   Folgenglieder:
     
  • Die Summe der ersten   Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der  -ten Dreieckszahl:
     
  • Jede natürliche Zahl kann als Summe von höchstens neun Kubikzahlen dargestellt werden (Lösung des Waringschen Problems für den Exponenten 3). Dass 9 Summanden notwendig sein können, zeigt die Zahl 23. Diese hat die Darstellung
         ,
    aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden.
  • Jede Kubikzahl lässt sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen:
     
  • Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein. Anders formuliert heißt dies, dass die Gleichung
         
    keine Lösung mit natürlichen Zahlen   besitzt. Dieser Spezialfall der Fermatschen Vermutung wurde 1753 von Leonhard Euler bewiesen. Lässt man mehr als zwei Summanden zu, kann es vorkommen, dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist, wie das folgende Beispiel (sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen) zeigt:
         .
  • Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt, erhält man die periodische Folge   (Folge A167176 in OEIS). Dies ergibt sich aus  . Hieraus schließt sich ebenfalls, dass eine Zahl, die als Summe von drei Kubikzahlen darstellbar ist, niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann.

Summe der Kehrwerte

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Die Summe der Kehrwerte aller Kubikzahlen wird Apéry-Konstante genannt. Sie entspricht dem Wert der riemannschen  -Funktion an der Stelle 3.

 

Erzeugende Funktion

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Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen   kann man eine formale Potenzreihe zuordnen, die sogenannte erzeugende Funktion  . In diesem Kontext ist es allerdings üblich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge   zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann

 

Geometrische Generierung

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In der Kubikzahl   ist die Basis   eine reelle Zahl und der Exponent   eine positive ganze Zahl. Aus diesem Grund ist der Potenzwert von   auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis   größer oder kleiner als die Zahl   ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

Vorgehensweise für Basis > 1

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  1. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um   mit der Basis   als Radius, bis er die Zahlengerade in   schneidet.
  2. Bestimme den Abstand mit der Länge   zum Punkt   und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt  , bis sie den Kreisbogen in   schneidet.
  3. Verlängere die Basis   mit einer Halbgeraden und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt  , bis sie die Halbgerade in   schneidet.
  4. Abschließend schneidet eine Senkrechte zur Strecke   im Punkt   die Zahlengerade in der Kubikzahl  

Vorgehensweise für Basis < 1

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  1. Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis   als Strecke  .
  2. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um   mit Radius  , er schneidet die Zahlengerade in  .
  3. Bestimme auf der Zahlengeraden ab   die Strecke   mit der Länge   und ziehe einen Kreisbogen um   mit Radius   bis er den Halbkreis in   schneidet.
  4. Fälle das Lot von   auf   mit Fußpunkt   und verbinde den Punkt   mit  .
  5. Fälle das Lot von   auf   mit Fußpunkt  .
  6. Der abschließende Kreisbogen um   mit Radius   bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl   .

Tastatur

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Auf der deutschen PC-Tastatur liegt das ³-Zeichen als dritte Belegung auf der 3-Taste und kann mit Hilfe der Alt-Gr-Taste eingegeben werden. Oft kann man auch statt Alt Gr die beiden Tasten Strg und Alt verwenden. Bei einer Apple-Tastatur hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination für das ³-Zeichen. Das ³-Zeichen ist mit der Codenummer 179 (hexadezimal B3) Bestandteil der Zeichenkodierung ISO 8859-1 (bzw. ISO 8859-15) und damit auch des Unicodeblock Lateinisch-1, Ergänzung.

Siehe auch

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Wiktionary: Kubikzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen