Summe von drei Kubikzahlen

Das mathematische Problem der Charakterisierung welche Zahlen als Summe dreier Kubikzahlen geschrieben werden können

Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen und mit ganzzahligen Basen darstellbar ist?
Wie lauten zu einer gegebenen Zahl mögliche Zahlentripel und , so dass erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl ?

Einfach-logarithmischer Graph der Lösungen der Gleichung x3 + y3 + z3 = n mit ganzzahligen x, y und z, und n aus [0, 100]. Grüne Balken bedeuten, dass es für diese n nachweislich keine Lösungen gibt.

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie.[1]

Lösungen der GleichungBearbeiten

Darstellungen für n = 0Bearbeiten

Die einfachste triviale Darstellung für   als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

 .

Weitere triviale Darstellungen lauten:

   mit   .

Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.

Beweis:
Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form   mit   . Genau eine oder zwei der Variablen   müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass   (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung  ). Bringt man   auf die rechte Seite, erhält man mit   eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung   mit  . Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung   für positive ganze Zahlen   keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form   geben kann.  ∎ 

Darstellungen für n = 1Bearbeiten

Die triviale Darstellung für   als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

 

Die einfachsten nichttrivialen Darstellungen lauten:

   mit   .

Es existieren aber auch weitere Darstellungen, wie z. B.:

 
 
 

Eine kompliziertere Darstellungs-Familie ist die im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckte:[1]

   mit   .

wie auch folgende:[1]

   mit   

Für   lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien[2]. Sei

 ,
 .

Nun gilt[2]

 ,
 ,
 .

Darstellungen für n = 2Bearbeiten

Die triviale Darstellung für   als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

 .

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet[1]

   mit   .

Weitere bekannte Darstellungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

 

Darstellungen für n = 3Bearbeiten

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für   als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

   und
 

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:[3]

 

Man weiß nicht, ob es nur diese drei, endlich viele oder unendlich viele Darstellung gibt für   gibt.

Darstellungen für n = 4 und 5Bearbeiten

Für   und   gibt es keine Lösungen.

Darstellungen für n = 6Bearbeiten

Es gibt mehrere Darstellungen; die für   lauten:

 
 
 
 

Darstellungen für n = 7Bearbeiten

Es gibt mehrere Darstellungen; die für   lauten:

 
 
 

Konstruierbare Lösungen für n = k3mBearbeiten

Lässt sich   als Produkt einer Kubikzahl   und einer Zahl   darstellen, erbt diese Zahl   alle Lösungen der Zahl   auf folgende Weise:

 
Beispiel
 

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107Bearbeiten

Folgende Tabelle enthält für   die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung   mit  ,  :[4]


Eine umfangreichere Tabelle befindet sich im Diskussionsteil dieses Artikels.[5][6][7][8][9]

Chronologie der EntdeckungenBearbeiten

1954
Miller und Woolet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für   per Brute Force-Suche aller Kombinationen  .[1]
Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen   und  .
Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:
 
 
 
 
 
1963
Gardiner, Lazarus und Stein suchten weiter mit   und   für  .[1]
Für   fanden sie folgende weitere Lösung:
 
Für   fanden sie 708 der 778 Lösungen.
Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:
 
 
 
 
 
1992
Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:
 
1994
Conn and Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:
 
1999
Für   waren bereits für 75 verschiedene   Lösungen bekannt.
Es kamen hinzu:
 
 
 
Damit fehlten nur noch die Lösungen für   und  .
Für   fanden sie 751 der 778 Lösungen.[1]
2007
fehlten nur noch für folgende   zwischen   und   obige Darstellungen:[1]
  und  
2016
wurde das Problem für   von Sander Huisman gelöst:[6]
 
2019
wurde das Problem für   vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:[10][11]
 
September 2019
wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl  , nämlich für   ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:[12][13]
 
Da   das letzte ungelöste Problem bis   für diese Art von Gleichung war, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.[14]
bis Mitte 2020
wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:
 
 
 
Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden acht Werte für   unbekannt (Stand: 1. Juni 2020):[12]
  und  
Momentan ist also die Gleichung   diejenige mit dem kleinsten natürlichen  , für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Sei   ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für   die folgende:
 
Leider ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für   auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung   für alle   unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.[15]
  • Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen   und  , wie zum Beispiel die folgenden:[16]
Sei   ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem   gelten die folgenden Bedingungen für  :
Wenn   ist, muss gelten:   oder  .
Wenn   ist, muss gelten:   oder  .
Wenn   ist, muss gelten:   oder  .
Wenn   ist, muss gelten:   oder  .

Wenn   ist, muss gelten:  .
Wenn   ist, muss gelten:  .
Wenn   ist, muss gelten:  .
Wenn   ist, muss gelten:  .

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmenBearbeiten

Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind. Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n, x, y und z für Werte von n, für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit   enthalten.

Folge A060464 in OEIS enthält die  :

00, 01, 02, 03,  06, 07, 08,
09, 10, 11, 12,  15, 16, 17,
18, 19, 20, 21,  24, 25, 26,
27, 28, 29, 30,  33, 34, 35,
36, 37, 38, 39,  42, 43, 44, …

Folge A060465 in OEIS enthält die  :

0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,
0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,
−1, 0, 1, −11, −2901096694, −1, 0,
0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,
1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, …

Folge A060466 in OEIS enthält die  :

0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,
1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,
−2, −2, −2, −14, −15550555555, −1, −1,
0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,
2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7,

Folge A060467 in OEIS enthält die  :

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,
3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3,
3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,
3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …

Beispiel für n = 24, dem 19. EintragBearbeiten

In obigen vier Listen wurde jeweils der 19. Eintrag fett markiert. Die Werte lauten:

n = 24
x = −2901096694
y = −15550555555
z = 15584139827

Die kleinstmögliche Darstellung für n = 24 lautet damit:

 

TriviaBearbeiten

  • Für   existieren immer Lösungen. Für eine gegebene Zahl   und einen frei wählbaren Parameter   erhält man Lösungen z. B. durch:
 
 
 
  • Sobald eine der Basen     sein dar, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar:
 ,     gegeben,   beliebig

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e f g h Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 18. September 2019.
  2. a b Eric S. Rowland: Known families of integer solutions of x^3+y^3+z^3=n. (psu.edu [PDF]).
  3. Mark McAndrew: Insanely huge Sum-Of-Three-Cubes für 3 discovered – After 66 year search. Twitter, 16. September 2018, abgerufen am 18. September 2019.
  4. Hisanori Mishima: Solutions of n=x³+y³+z³, 0 <= n <= 99. Abgerufen am 18. September 2019.
  5. Tito Piezas III: Integer solutions to the equation a³+b³+c³=30. Abgerufen am 18. September 2019.
  6. a b Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019.
  7. W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019.
  8. Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100).
  9. D. J. Bernstein: threecubes. Abgerufen am 29. September 2019 (weitere Lösungen).
  10. Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33. University of Bristol, 2019, S. 1–6, abgerufen am 18. September 2019.
  11. Lance Fortnow, Bill Gasarch: x³ + y³ + z³ = 33 has a solution in Z. And its big! Computational Complexity.org, 28. April 2019, abgerufen am 18. September 2019.
  12. a b Robin Houston: 42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” The Aperiodical, 6. September 2019, abgerufen am 18. September 2019.
  13. Michelle Starr: Mathematicians Solve '42' Problem With Planetary Supercomputer. science alert, 9. September 2019, abgerufen am 18. September 2019.
  14. Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42
  15. D. R. Heath-Brown: The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails. Band 59, Nr. 200. mathematics of computation, Oktober 1992, S. 613–623 (ams.org [PDF]).
  16. Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n, Property 1 und 2. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 843–844, abgerufen am 28. September 2019.