Zylinderspule

Spule, bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt

Eine Zylinderspule ist eine Spule, bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt, also dünn gegenüber dem Zylinderdurchmesser ist.

Zylinderspule

Eine ideale Zylinderspule hat weiterhin einen im Verhältnis zum Durchmesser sehr kleinen Abstand der Drahtwindungen voneinander und damit eine sehr hohe Anzahl von Windungen. Eine Zylinderspule zum Erzeugen eines (räumlich möglichst konstanten) Magnetfeldes wird manchmal auch als Solenoid bezeichnet. Bauformen von Zylinderspulen sind unter Luftspule beschrieben. Zylinderspulen sind in der Regel einlagig, das heißt, sie haben einen schraubenförmigen Verlauf des Drahtes.

Im Grenzfall einer sehr kurzen Länge geht die Zylinderspule in eine kreisförmige Leiterschleife über.

Technische BedeutungBearbeiten

Zylinderspulen haben neben der einfachen Herstell- und Berechenbarkeit folgende Merkmale bei technischen Anwendungen:

  • besonders für hohe Frequenzen geeignet, weil
    • geringere kapazitive Kopplung zwischen den Anschlüssen als mehrlagige Spulen oder Toroidspulen
    • hohe Eigenresonanzfrequenz
  • für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Probleme einer Lagenisolation
  • größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Zylinderspulen lassen sich gut abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder -gezogen werden oder ein Aluminium- oder Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben wird. Siehe auch Variometer. Der damit erreichbare Variationsbereich ist höher als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule.

Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) am CERN ist ein prominentes Beispiel für die großtechnische Anwendung von Zylinderspulen.

DrahtlängeBearbeiten

Bei einer einfachen, einlagig gewickelten, Zylinderspule mit Radius  , Windungszahl   und konstanten Abstand zwischen den Windungen   (von Mittelpunkt zu Mittelpunkt), beträgt die Länge des gewickelten Drahtes

 

Wenn die Wicklungen direkt aufeinander liegen und somit Kontakt haben, ergibt sich  , wobei   der Durchmesser des Drahtes ist.

Für Spulen mit   , wobei also der Abstand zwischen den Windungen gegenüber dem Radius vernachlässigbar ist, folgt somit aus obiger Formel die Näherung

 

wobei demnach jede Windung als Umfang eines planaren Kreises genähert wird.

Herleitung:

Man betrachte eine Kurve in Parameterform, welche die gewünschte Helixform ergibt. Dazu wähle man die Kurve

 

Die Bogenlänge ergibt sich dann zu

 

wobei   den Anfangswert und   den Endwert für den Parameter angibt, so dass genau   Windungen durchlaufen werden. Dabei folgt

 

und damit

 

MagnetfeldBearbeiten

 
Magnetfeld einer Zylinderspule (im Querschnitt). Die Drahtwicklungen sind durch „ד (Strom fließt in die Bildebene hinein) und „·“ (Strom fließt aus der Bildebene heraus) markiert.
 
Magnetfeld einer Zylinderspule mit zehn Windungen. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum.
 
Magnetfeld |B| einer idealen Zylinderspule. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum. An den Endkanten divergiert das radiale Feld.

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl N, Stromstärke I, Länge l und Radius R. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor  , wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ρ mit entsprechendem Einheitsvektor   (Zylinderkoordinaten). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:

 

Die Feldkomponenten betragen: [1][2][3][4][5][6]

 
 

Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß  . Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante μ0, die Substitutionen

 ,      

sowie die vollständigen elliptischen Integrale erster (K), zweiter (E) und dritter Art (Π) verwendet:

 
 
 

Neben der Darstellung durch die klassischen elliptischen Integrale existieren auch alternative Ausdrücke mit verbesserter numerischer Stabilität und effizienter Berechenbarkeit, beispielsweise mit Carlson-Formen.[7]

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld:

 

Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:

 

Für lange Spulen   beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden

 

und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände   nähert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment   an:[7]

 

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung  , wobei  .[7]

InduktivitätBearbeiten

Die Induktivität einer Zylinderspule im Vakuum beträgt[7]

 .

Hierbei ist cel das elliptische Bulirsch-Integral und   ist die Magnetische Feldkonstante. Für konkrete Aspektverhältnisse ist dies:

  0,01 0,1 0,5 1 2 5 10 100
  0,0197 0,124 0,365 0,526 0,688 0,850 0,920 0,9916 1

Eine einfache Näherungsformel für nicht zu kurze Spulen ist

 .

Diese Formel hat für   weniger als 1 % Fehler.[8]

Im Fall einer sehr langen Zylinderspule ( ) mit Querschnittsfläche   lässt sich die Näherung noch weiter vereinfachen:

 .

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitätszahl   des Kernmaterials.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. J. C. Maxwell: Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, England 1873 (archive.org).
  2. Karl Friedrich Müller: Berechnung der Induktivität von Spulen. In: Archiv für Elektrotechnik. 17, Nr. 3, 1. Mai 1926, S. 336–353. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01655986.
  3. Kuno Foelsch: Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule. In: Archiv für Elektrotechnik. 30, Nr. 3, 3. März 1936, S. 139–157. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01657310.
  4. E. E. Callaghan, S. H. Maslen: The Magnetic Field of a Finite Solenoid. In: NASA Technical Reports. NASA-TN-D-465, E-900, 1. Oktober 1960 (nasa.gov).
  5. M. W. Garrett: Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals. In: Journal of Applied Physics. 34, Nr. 9, September 1963, S. 2567–2573. doi:10.1063/1.1729771.
  6. Herleitung: Finite length Solenoid potential and field (Memento vom 7. März 2017 im Internet Archive) (enthält Fehler)
  7. a b c d Norman Derby, Stanislaw Olbert: Cylindrical magnets and ideal solenoids. In: American Journal of Physics. 78, Nr. 3, 2010, ISSN 0002-9505, S. 229–235. arxiv:0909.3880. doi:10.1119/1.3256157.
  8. H. A. Wheeler: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. Band 16, Nr. 10, 1928, S. 1398–1400, doi:10.1109/JRPROC.1928.221309.