Vektorpotential

Ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld ergibt
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Das Vektorpotential ist im Bereich der Vektoranalysis ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld erzeugt.

Formal lautet die Definition eines Vektorpotentials für ein festes Vektorfeld mit dem Nabla-Operator

Der Zusammenhang ist analog zum Skalarpotential und seinem Gradientenfeld.[1]

Historisch war das magnetische Vektorpotential der Anlass, das Vektorpotential zu beschreiben. Es wurde eingeführt, um in der klassischen Elektrodynamik Berechnungen mit der magnetischen Flussdichte und der elektromagnetischen Induktion zu vereinfachen.[2]

Berechnung

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Sei   ein zweifach stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld, das für   mindestens so schnell abfällt wie  . Dann ist durch

 ,

ein Vektorpotential   von   definiert[1].

Dies ist ein Spezialfall des Helmholtz-Theorems.

Uneindeutigkeit

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Das Vektorpotential eines quellfreien Vektorfeldes ist nicht eindeutig definiert. Ist   ein Vektorpotential von  , so ist auch

 

ein Vektorpotential von   für beliebige, stetig differenzierbare Skalarfelder  . Dies folgt aus der Rotationsfreiheit von Gradientenfeldern. In der Physik wird diese Eigenschaft des Vektorpotentials unter dem Thema Eichtransformation behandelt.[1]

Eigenschaften des erzeugten Feldes

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Wenn ein Vektorfeld durch ein Vektorpotential erzeugt werden kann, muss es ein quellfreies Vektorfeld sein.

Dies liegt daran, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist.

 

Anwendung

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Das Vektorpotential wird vor allem in der Physik angewendet. Beispiele dafür sind

Einzelnachweise

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  1. a b c Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.
  2. A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.