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Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht. Die Addition und die Multiplikation von Ordinalzahlen ist von Cantor (1897) durch Komposition eingeführt worden, das Potenzieren dagegen funktional mittels Grenzübergang.[1] Die erste ausführliche und systematische Studie über transfinite Arithmetik stammt von Ernst Jacobsthal („Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik“, Math. Ann., 1909). Sie zeigt, dass beide Methoden – die funktionale und die Kompositionsmethode – zu denselben Rechenoperationen führen.

Inhaltsverzeichnis

AdditionBearbeiten

Falls eine von zwei Ordinalzahlen die leere Menge ist, dann ist ihre Summe gleich der anderen Ordinalzahl. Um die Summe zweier nichtleerer Ordinalzahlen   und   zu definieren, geht man so vor: Man benennt die Elemente von   so um, dass   und die umbenannte Menge   disjunkt sind, und „schreibt   links neben  “, d. h. man vereinigt   mit   und definiert die Ordnung so, dass innerhalb von   und   jeweils die vorige Ordnung gilt und jedes Element von   kleiner ist als jedes Element von  .[2][3] Auf diese Weise wird die neue Menge wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl, die man mit   bezeichnet. Diese Addition ist assoziativ und verallgemeinert die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen, man bezeichnet sie mit  . Veranschaulichen wir uns die Summe  : Wir schreiben die zweite Kopie als  , dann haben wir

 

Diese Menge ist nicht  , denn in   ist die   die einzige Zahl ohne unmittelbaren Vorgänger, und   hat zwei Elemente ohne unmittelbaren Vorgänger (  und  ). Die Menge   sieht so aus:

 

Wir haben also  . Dagegen ist

 

ungleich  , denn   ist das größte Element von  , aber   hat kein größtes. Also ist die Addition nicht kommutativ.[4] Man kann die Summe   von zwei Ordinalzahlen   und   funktional folgendermaßen definieren, wobei beide Definitionen in ZF äquivalent sind:

  • falls  , dann sei  ,
  • falls   isoliert ist und   der Vorgänger von   ist, dann sei  ,
  • falls   eine Limeszahl ist, dann sei  .

Die Addition ist monoton. Das heißt:   und  . Falls  , dann existiert eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl  , so dass  . Man bezeichnet sie mit:  .[5] Seien   und   zwei Ordinalzahlen. Falls die Gleichung   eine Lösung   hat, dann hat sie im Falle   unendlich viele Lösungen und im Falle   genau eine. Hat   überhaupt Lösungen, dann versteht man unter   die kleinste unter ihnen. In diesem Sinne gilt für jede isolierte Zahl  :  . Jede transfinite Ordinalzahl lässt sich auf genau eine Weise als Summe   von einer Limeszahl   und einer endlichen Ordinalzahl   darstellen. Eine Ordinalzahl   heißt Rest von  , falls es eine Ordinalzahl   gibt, so dass  . Jede Ordinalzahl hat endlich viele Reste.[6]

MultiplikationBearbeiten

Um zwei Ordinalzahlen   und   zu multiplizieren, schreibt man   hin und ersetzt jedes Element von   durch eine andere Kopie von  .[7] Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, die man mit   bezeichnet.[8] Auch diese Verknüpfung ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen.

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

 

Man erkennt, dass ω·2 = ω + ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

 

und nach Umbenennen sehen wir, dass 2·ω = ω ist. Also ist auch die Multiplikation von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen:  . Das kann man direkt aus den Definitionen ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht allgemein, denn z. B. ist (1+1)ω = 2·ω = ω, aber 1·ω + 1·ω = ω + ω.

Das neutrale Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Keine Ordinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Ordinalzahlen mit der Addition keine Gruppe und erst recht keinen Ring. Die funktionale Definition der Multiplikation lautet:

  • falls  , dann sei  ,
  • für jede Ordinalzahl   sei  ,
  • falls   eine Limeszahl ist, dann sei  .

Es gelten die Monotoniegesetze:[9]

  •  
  •  
  •  

Für je zwei Ordinalzahlen   und   gilt  .[9] Falls  , dann heißt   Linksteiler von   und   Rechtsteiler.[10] Man sagt auch, dass   rechtsseitiges Vielfaches von   und linksseitiges Vielfaches von   ist. Die Limeszahlen sind die linksseitigen Vielfachen von  .[10] Jede Ordinalzahl hat endlich viele Rechtsteiler und nur dann endlich viele Linksteiler, wenn sie keine Limeszahl ist.[10] Mengen aus positiven Ordinalzahlen haben einen größten gemeinsamen Rechtsteiler, einen größten gemeinsamen Linksteiler und ein kleinstes linksseitiges gemeinsames Vielfaches. Ein rechtsseitiges gemeinsames Vielfaches ist nicht immer vorhanden. Gegenbeispiel ist  .[10] Für zwei Ordinalzahlen   und   existieren eindeutig bestimmte Ordinalzahlen   und  , so dass  .

Allgemeine SummeBearbeiten

Sei   ein Netz aus Ordinalzahlen mit der Ordinalzahl   als Indexmenge.   seien die Ordnungsrelationen der Kopien   für  . Die allgemeine Summe aller   wird wie folgt definiert:

 

Die Multiplikation ist also ein Spezialfall der allgemeinen Summe:

 

Für jedes Ordinalzahlnetz   existiert genau eine Funktion:   mit den folgenden drei Eigenschaften:

  •  
  •   für jede Ordinalzahl  
  •   für jede Limeszahl  

Dem Wert   entspricht genau die allgemeine Summe von  .

Allgemeines ProduktBearbeiten

Für ein Ordinalzahlnetz   sei

 

wobei

 
 

die Bezeichnung für die kanonische Projektion ist. Man definiere in   die Relation:  

Das allgemeine Produkt aller Elemente von   wird durch

 

definiert. Das allgemeine Produkt besteht also aus Tupeln der Länge  , die antilexikografisch geordnet sind und nur endlich viele positive Komponenten besitzen. Für jedes Ordinalzahlnetz   existiert genau eine Funktion:   mit den folgenden vier Eigenschaften:

  •  
  •   für jede Ordinalzahl  
  •   für Limeszahl  , falls  
  •   für Limeszahl  , falls  

Dem Wert   entspricht genau das allgemeine Produkt von    

Die Folge

  

ist ein Beispiel für eine antilexikografische Ordnung und stellt laut der Definition eine zu   ordnungsisomorphe Menge dar. Es gilt also   und  !  , was nicht überraschend ist, weil ja      ! .

PotenzierenBearbeiten

Die Potenzen sind Spezialfälle von allgemeinen Produkten:

 

BeispielBearbeiten

Man kann eine zu   ordnungsisomorphe Menge konstruieren, indem man (gemäß Produktdefinition) Folgen aus natürlichen Zahlen mit endlicher Anzahl von positiven Elementen betrachtet:

 

und diese antilexikografisch ordnet:

 

EigenschaftenBearbeiten

Für Ordinalzahlen   gilt:

  •  
  •  
  •  
  •  .

Für zwei Ordinalzahlen   und   gilt  . Aus   folgt  . Für zwei Ordinalzahlen   und   existieren eindeutig bestimmte Ordinalzahlen:   – genannt Logarithmus von   zur Basis  , positives   und  , so dass   (Logarithmus-Satz). Die Potenzregel   aus der finiten Arithmetik ist in das Unendliche nicht übertragbar:

 
 

Cantorsche NormalformBearbeiten

Für zwei Ordinalzahlen   und   existieren endlich viele eindeutig bestimmte   und  , so dass

 .

Diese Darstellung ist unter dem Namen Cantorsche Polynomdarstellung (oder  -adische Normalform) bekannt. Sie heißt für   Cantorsche Normaldarstellung (oder Cantorsche Normalform). Man kann die Cantorsche Normaldarstellung rekursiv verwenden und die Ordinalzahlen   genau so wie   in ihrer Normalform darstellen. Wenn dieser Prozess nach endlich vielen Schritten in endlichen Ordinalzahlen endet, erhält man einen elementaren Ausdruck für  , der aus  , natürlichen Zahlen und Zeichen für Rechenoperationen besteht. Allerdings ist dies nicht für jede Ordinalzahl möglich. Noch allgemeiner: durch endlich viele Zeichen lassen sich nur abzählbar viele Ordinalzahlen darstellen – also nur ein „verschwindend kleiner“ Teil der gesamten Klasse  .[11] Es existieren Ordinalzahlen  , für die   in ihrer Cantorschen Normaldarstellung gleich   ist. In diesem Fall führt die Normaldarstellung also zu keiner Vereinfachung. Die kleinste solche Zahl bezeichnet man mit  . Mit Hilfe der Cantorschen Normaldarstellung werden die Hessenbergschen natürlichen Operationen definiert.

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

BemerkungenBearbeiten

  1. Cantor G.: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. (Zweiter Artikel), Mathematische Annalen, 1897, 49, S. 207–246
  2. An dieser Stelle ist es angebracht zu erklären, was man unter Umbenennen der Elemente einer Ordinalzahl versteht und womit dieses Umbenennen überhaupt gerechtfertigt ist. Sei   eine nichtleere Ordinalzahl. Für beliebiges Element   von   und beliebige Ordinalzahl   wird mit   die Menge   bezeichnet. Hier ist wichtig, dass die Definition für geordnetes Paar nach Kuratowski verwendet wird. Damit ist garantiert, dass keine der Mengen   eine Ordinalzahl ist. Die Menge   wird als umbenannte Ordinalzahl oder Kopie bezeichnet. Die Wohlordnung in   sei durch   festgelegt. Ordinalzahlen sind ordnungsisomorph zu ihren Kopien. Keine Kopie ist Ordinalzahl und keine Ordinalzahl ist Element oder Untermenge einer Kopie. Alle Kopien einer Ordinalzahl und die Ordinalzahl selbst sind zueinander paarweise disjunkt.
  3. Es gilt also    , wobei   die Ordnungsrelation der wohlgeordneten Menge   bezeichnet.
  4. Es ist sogar so, dass     (s. Komjath, 2006, 8.17).
  5. In manchen Quellen wird die Bezeichnung   verwendet, die wohl auf Cantor zurückgeht (s. Sierpinski, 1965, XIV., §4, Th. 2 und Kuratowski, Mostowski, 1968, VII., § 5.). Wir halten uns an die Bezeichnung  , die man bei Jacobsthal, 1909, S. 166 sowie Hausdorff, 1914, Kap. V., § 2. und Bachmann, § 17.2 findet.
  6. s. Sierpinski, 1965, XIV., § 5.
  7. Dabei wird also jedes Element   von   durch   ersetzt.
  8. In unseren Bezeichnungen ist also   mit   und  . Man nennt eine solche Wohlordnung in einem kartesischen Produkt   antilexikographisch.
  9. a b s. Bachmann, § 10.
  10. a b c d s. Bachmann, § 17.3, § 18. sowie Sierpinski, 1965, XIV., § 11–12. und Komjath, Totik, 2006, 9.2, 9.8–9 und Jacobsthal, 1909, S. 176–188
  11. s. auch: Königs Paradoxie
  12. Diesem Buch liegt ein spezielles Axiomensystem zugrunde.