Satz von Pohlke

mathematischer Satz

Der Satz von Pohlke, auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie. Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zurück und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie.

Formulierung des SatzesBearbeiten

 
Satz von Pohlke

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

(P) Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums   , dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen, kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins.
Etwas allgemeiner ausgedrückt:
(P') Drei in einer Ebene des   von einem gegebenen Punkt   ausgehende Strecken beliebiger Länge und beliebiger Richtung können aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt   zusammenstoßenden Würfelkanten, sofern vorausgesetzt ist, dass höchstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind.
Ganz allgemein gilt sogar:
(PS) Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum   eine Ebene   und zudem zwei Punkte   und   gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken   aus, die zwar   als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen,
während von letzterem drei weitere beliebige Strecken   ausgehen, die zwar   als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch – obwohl in der Ebene   liegend – nicht kollinear sind,
so gibt es stets
eine Ähnlichkeitsabbildung   sowie
eine Raumbewegung   und schließlich
eine Parallelprojektion   ,
so dass die verkettete Abbildung   den Eckpunkt   auf den anderen Eckpunkt   und dabei   auf   abbildet.

Anmerkungen zur Historie des SatzesBearbeiten

Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis war außergewöhnlich kompliziert und blieb unveröffentlicht.[1] Hermann Amandus Schwarz, der ein Schüler Pohlkes war, publizierte den ersten vollständigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – und ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz[2] (englisch Pohlke-Schwarz theorem[3]).

KorollarBearbeiten

Aus dem Fundamentalsatz lässt sich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann:[2][3]

(PS') Jedes in einer Ebene   liegende vollständige Viereck   kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders  , welches einem gegebenen Tetraeder   ähnlich ist.[4]

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Heinrich Brauner schreibt allerdings in seinem Lehrbuch der konstruktiven Geometrie in einer Fußnote (Seite 51), dass Pohlke den Fundamentalsatz im Jahre 1860 sehr wohl veröffentlicht habe, wenn auch ohne Beweis.
  2. a b N. M. Beskin: Abbildungsverfahren. In: P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. 1969, S. 252
  3. a b Michiel Hazewinkel: Encyclopaedia of Mathematics. vol. 4. 1995, S. 439
  4. Die Encyclopaedia of Mathematics (S. 439) formuliert (PS') mit "Any complete plane quadrilateral ...". Gemeint sind jedoch jedenfalls vollständige Vierecke in einer Ebene des Raums. Die Encyclopaedia of Mathematics nennt als Quelle auch ausdrücklich die Abhandlung im Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik.