Der Satz von Moskovitz-Dines ist ein mathematischer Lehrsatz, der die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen topologischer Vektorräume behandelt. Er entstammt einer Arbeit der beiden Mathematiker David Moskovitz und Lloyd Lyne Dines aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Sätzen, die auf Stanisław Mazur bzw. auf Errett Bishop und Robert Ralph Phelps zurückgehen.[1]

Formulierung des Satzes

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Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt formulieren:[2]

Gegeben seien ein topologischer  -Vektorraum   sowie eine darin enthaltene abgeschlossene Teilmenge  , welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.
Weiterhin genüge   der Bedingung, dass die regulären Punkte von   eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge   bilden.
Dann gilt:
  ist eine konvexe Teilmenge von  .

Verwandte Sätze

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Der Satz von Moskovitz-Dines ist (für separable Banachräume) in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines Satzes von Stanisław Mazur aus dem Jahre 1933, der (in Anschluss an Marti) folgendermaßen darstellbar ist:[3]

Gegeben seien ein separabler  -Banachraum   und darin eine abgeschlossene konvexe Teilmenge  , welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.
Dann ist die Menge der regulären Punkte von   eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge  .

Damit erhält man folgendes Korollar:[4]

Ist   ein separabler Banachraum über   und   eine darin enthaltene abgeschlossene Umgebung des Nullpunktes, so ist   eine konvexe Teilmenge von   genau dann, wenn die Beziehung   gilt.

In diesem Zusammenhang ist ein Satz von Bishop und Phelps (englisch Bishop-Phelps support point theorem[5]) aus dem Jahre 1961[6] erwähnenswert, der (zumindest für den Fall der Banachräume) die Bedeutung der Stützpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet:[7]

Ist   eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines  -Banachraums  , so die Menge der Stützpunkte von   eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge  .

Erläuterungen und Anmerkungen

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  • Ein Stützpunkt   ist genau dann ein regulärer Punkt von  , wenn jedes seiner zugehörigen Stützfunktionale immer nur als positives Vielfaches eines jeden anderen seiner zugehörigen Stützfunktionale vorkommt.[8]
  • Die Menge der regulären Punkte von   ist also eine Teilmenge des Randes   von   und wird mit   bezeichnet.[8]
  • Moskovitz und Dines haben ihren Satz ursprünglich nur für reelle Hilberträume bewiesen. Wie Marti jedoch ausführt, lässt sich der Beweis ohne große Modifikationen auf beliebige topologische  -Vektorräume ausdehnen.[9]
  • Der obige Satz von Bishop und Phelps ist verwandt, wenngleich nicht identisch mit demjenigen Resultat, welches in der englischsprachigen Fachliteratur als Bishop-Phelps theorem oder als Bishop-Phelps subreflexivity theorem bekannt ist und demzufolge jeder Banachraum ein subreflexiver Raum ist. Das Konzept des subreflexiven Raums geht auf Phelps zurück und stellt eine Abschwächung des Konzepts der reflexiven Raums dar. Dabei wird ein normierter Raum   als subreflexiv bezeichnet, wenn in seinem Dualraum   die Menge derjenigen linearen Funktionale  , welche ihre Operatornorm   in einem Punkte der Einheitskugel   annehmen, dort eine dichte Teilmenge bilden.[10][11]

Literatur

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  • Errett Bishop, Robert R. Phelps: The support functionals of a convex set. In: Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington June 13–15, 1961 (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 7). American Mathematical Society, Providence R.I. 1963, S. 27–35, (MR0151352).
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser, Basel/ Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
  • Stanisław Mazur: Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen. In: Studia Mathematica. Band 4, 1933, S. 70–84, doi:10.4064/sm-4-1-70-84.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 183). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98431-3 (MR1650235 ).
  • David Moskovitz, Lloyd L. Dines: Convexity in a linear space with an inner product. In: Duke Mathematical Journal. Band 5, 1939, S. 520–534 (MR0000349).
  • Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston/ Basel/ Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).

Einzelnachweise

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  1. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 158–161.
  2. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 159.
  3. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 112, S. 160.
  4. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 160.
  5. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 275.
  6. Megginson nennt in An Introduction to Banach Space Theory (S. 275) das Jahr 1963, in dem der Band VII der Proceedings of Symposia in Pure Mathematics erschien. Die Tagung selbst fand im Jahre 1961 statt.
  7. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 70.
  8. a b Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 66, S. 108.
  9. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 158.
  10. Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 81.
  11. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 270–279.