Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Definition

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Sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang   und   sei eine beliebige Kurve, welche die Geodätengleichung   erfüllt. Mit   werde der Tangentialraum am Punkt   bezeichnet und für   werde mit

 

die Exponentialabbildung bezeichnet. Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis   von   erhält man einen Isomorphismus

 

welcher durch   definiert ist. Sei weiter   eine offene Umgebung von  , auf welcher die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus ist, und für welche   gilt. Dann erhält man eine Abbildung

 

Da   bzw.   auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw. Diffeomorphismus definiert, ist auch   ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.

Eigenschaften

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Sei   eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und   lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in   fest. Es gilt:

  • Für alle   hat die Geodäte  , welche in   mit dem Geschwindigkeitsvektor   beginnt, in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellung
 
solange   in   bleibt.
  • Die Koordinaten von   sind  .
  • Die Komponenten der riemannschen Metrik in   sind  .
  • Die Christoffelsymbole in   sind null.
  • Ist   der Levi-Civita-Zusammenhang (oder ein anderer metrischer Zusammenhang), dann gilt  

Physikalische Sicht

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Physikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt   das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt  . Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt. Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie. In Normalkoordinaten sind alle Geodäten durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit. Damit wird verständlich, was die Äquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet. Da nur die Geodäten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind, ist das Äquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gültig. Die krummen Geodäten, die nicht durch den Ursprung laufen, werden vom Beobachter durch Gezeitenkräfte erklärt.

In Normalkoordinaten   lässt sich der metrische Tensor in einem Punkt   der pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit als Reihenentwicklung in   angeben. Bis zur 5. Ordnung hat man somit:

 

dabei sind   die Komponenten der Minkowski-Metrik und   die Komponenten des riemannschen Krümmungstensors, wobei die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde. Mit zunehmendem Abstand des Punktes   vom Koordinatenursprung bei   weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab, wobei der (durch ein Christoffel-Symbol gegebene) Koeffizient erster Ordnung in diesen Koordinaten gerade verschwindet, und die erste nichtverschwindende Korrektur zur flachen Minkowski-Metrik somit erst in quadratischer Ordnung auftritt und durch den Riemanntensor gegeben ist. Die Koeffizienten in den höheren Ordnungen sind durch nicht-kommutative Tensorpolynome im Riemanntensor und seinen kovarianten Ableitungen gegeben, die hier mithilfe der Semikolon-Schreibweise kompakt dargestellt werden, d. h.  . Über Indizes in runden Klammern wird symmetrisiert und in senkrechten Strichen eingeschlossenen Indizes, sind von der Symmetrisierung ausgeschlossen.

Literatur

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  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.