Pseudoprimzahl

Eine Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte natürliche Zahl, die gewisse Eigenschaften mit Primzahlen gemeinsam hat, selbst aber keine Primzahl ist. Sie wird Pseudoprimzahl bezüglich dieser Eigenschaft genannt. Da es viele Möglichkeiten für solche Eigenschaften gibt, ist der Begriff Pseudoprimzahl ohne Angabe der Eigenschaft nicht sinnvoll.

Ein historisch bedeutendes Beispiel einer Pseudoprimzahl ist die Zahl . Sie ist eine Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis (und auch einigen anderen Basen).

HintergrundBearbeiten

Pseudoprimzahlen sind aus dem Bedürfnis entstanden, Algorithmen zu finden, die zuverlässig sagen können, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht (siehe Fermatscher Primzahltest, Lucas-Test, Solovay-Strassen-Test und Miller-Rabin-Test). Da diese Algorithmen nicht perfekt sind, bekommt man auch Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch, auf einen speziellen Algorithmus bezogen, wie Primzahlen verhalten. Um die Algorithmen zur Primzahlsuche zu optimieren, werden auch diese Pseudoprimzahlen genauer untersucht.

Eine bedeutende Klasse von Pseudoprimzahlen leitet sich vom kleinen Fermat-Satz ab. Die entsprechenden Zahlen werden deshalb auch Fermatsche Pseudoprimzahlen genannt.

Arten von PseudoprimzahlenBearbeiten

Fermatsche PseudoprimzahlenBearbeiten

Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt für jede Primzahl   für jede zu   teilerfremde Basis  , dass   ist.

Eine zusammengesetzte natürliche Zahl n wird Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis   genannt, wenn   und   teilerfremd zueinander sind und die gleiche Kongruenz wie bei einer Primzahl erfüllt ist:

 

Das erste Beispiel wurde 1819 von Sarrus gefunden: Die Zahl   ist durch   teilbar, obwohl   zusammengesetzt ist.

Verwandte der fermatschen PseudoprimzahlenBearbeiten

Zu den Fermatschen Pseudoprimzahlen gehören die Carmichael-Zahlen, Eulerschen Pseudoprimzahlen und die starken Pseudoprimzahlen.

  • Carmichael-Zahl:
    Eine Carmichael-Zahl ist eine fermatsche Pseudoprimzahl  , für die für jede zu   teilerfremde Basis   mit   gilt:
     
  • Eulersche Pseudoprimzahl:
    Eine ungerade zusammengesetzte natürliche Zahl   wird Eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a genannt, wenn   und   teilerfremd zueinander sind und
     
    gilt.
    Jede eulersche Pseudoprimzahl zur Basis   ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur gleichen Basis.
  • Starke Pseudoprimzahl:
    Eine ungerade zusammengesetzte natürliche Zahl   wird starke Pseudoprimzahl zur Basis   genannt, wenn
     
    oder
     
    für ein   mit   gilt.
    Jede starke Pseudoprimzahl zur Basis   ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur gleichen Basis.

Perrinsche PseudoprimzahlenBearbeiten

Die rekursiv definierte Perrin-Folge hat die Eigenschaft, dass für jede Primzahl   das  -te Folgenglied   durch   teilbar ist. Perrinsche Pseudoprimzahlen sind natürliche Zahlen  , für die das  -te Glied Pn durch   teilbar ist, obwohl   zusammengesetzt ist. Die kleinste Perrinsche Pseudoprimzahl ist  .

Weitere PseudoprimzahlenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Paul Erdős und Carl Pomerance: On the Number of False Witnesses for a Composite Number. Mathematics of Computation 46, 259–279, 1986.
  • Carl Pomerance: The Search for Prime Numbers. Scientific American 12/1982.
    Deutsche Übersetzung: Primzahlen im Schnelltest. Spektrum der Wissenschaft 02/1983. Mit Foto eines Nachbaus von Lehmers Fahrradkettencomputer von 1926.
  • Carl Pomerance: Computational Number Theory. In: Timothy Gowers (Hrsg.): The Princeton companion to mathematics. S. 348–362, Princeton University Press, 2008 (online; PDF; 249 kB).
  • Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, 1996.

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Pseudoprimzahlen – Lern- und Lehrmaterialien