Netz (Topologie)

in der Topologie die Verallgemeinerung einer Folge
(Weitergeleitet von Konvergentes Netz)

Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim H. Moore und Herman L. Smith zurück, die ihn 1922 einführten.[1] Mit sogenannten Cauchynetzen lässt sich der Begriff der Vollständigkeit metrischer Räume auf uniforme Räume verallgemeinern. Darüber hinaus kann man sie in der Integralrechnung zur Beschreibung der Riemann-Integrierbarkeit verwenden.

MotivationBearbeiten

Es soll vorab kurz erläutert werden, warum eine Verallgemeinerung von Folgen nötig ist. In einem metrischen Raum   lässt sich die Topologie vollständig mittels Folgenkonvergenz charakterisieren: Eine Teilmenge   ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede Folge   in   mit   gilt:  . Auch Eigenschaften wie Stetigkeit von Funktionen und Kompaktheit lassen sich über Folgen definieren (z. B. sind in metrischen Räumen Überdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent).

In topologischen Räumen ist eine Teilmenge   hingegen nicht mehr notwendigerweise abgeschlossen, wenn jede Folge einen Grenzwert in   besitzt (z. B. ist   nicht abgeschlossen in   mit der Ordnungstopologie, obwohl für jede konvergente Folge in   auch der Grenzwert in   liegt.).

Hier stellen Netze eine sinnvollere Verallgemeinerung dar: Eine Teilmenge   eines topologischen Raumes   ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes Netz in  , das in   konvergiert, einen Grenzwert in   besitzt. Auch Stetigkeit kann wie in metrischen Räumen definiert werden, wenn man „Folge“ durch „Netz“ ersetzt (siehe weiter unten; man beachte, dass es für Stetigkeit in topologischen Räumen keine äquivalente Definition mittels Folgen gibt).

Auch ist eine Menge kompakt genau dann, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt.

DefinitionenBearbeiten

Für eine gerichtete Menge   und eine Menge   ist ein Netz eine Abbildung  . Meist schreibt man analog zu Folgen  . Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

TeilnetzBearbeiten

  und   seien gerichtete Mengen,   ein Netz in   und   eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

 

(Eine solche Abbildung   heißt konfinal). Dann nennt man das Netz   ein Teilnetz des Netzes  .

Konvergentes NetzBearbeiten

Ist   ein topologischer Raum, so definiert man wie bei Folgen: Ein Netz   heißt konvergent gegen  , wenn gilt:

 ,

wobei   den Umgebungsfilter von   bezeichne. Man schreibt dann   oder   oder   Die formale Definition lässt sich so umschreiben: Für jede Umgebung von   gibt es einen Anfangsindex   in der gerichteten Menge  , so dass Glieder des Netzes mit Index   nach   in der vorgelegten Umgebung enthalten sind.

Der Konvergenzbegriff lässt sich auf die Konvergenz eines Filters zurückführen: Hierzu definiert man den Abschnittsfilter als den von der Filterbasis

 

erzeugten Filter. Das Netz konvergiert genau dann gegen einen Punkt  , wenn der zugehörige Abschnittsfilter gegen   konvergiert, d. h. den Umgebungsfilter von   enthält.

HäufungspunktBearbeiten

Ein Punkt   heißt genau dann Häufungspunkt eines Netzes   wenn gilt:

 ,

d. h. jede Umgebung von   wird an beliebig großen Positionen im Filter erreicht. Wiederum ist eine Charakterisierung über den Abschnittsfilter möglich:   ist genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn es Berührpunkt des Abschnittsfilters ist, d. h. wenn der Schnitt jeder Umgebung mit jedem Element des Filters nicht leer ist.

Eine weitere Charakterisierung ist über Teilnetze möglich:   ist genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn ein Teilnetz existiert, das gegen   konvergiert.

CauchynetzBearbeiten

Ist   ein uniformer Raum, so definiert man: Ein Netz   auf   heißt Cauchynetz, wenn zu jeder Nachbarschaft   ein Index   existiert, so dass alle Paare von Gliedern des Netzes mit späteren Indizes   von der Ordnung   benachbart sind, d. h., dass   gilt. In Formeln:

 

Zwei Cauchynetze   und   werden als äquivalent angesehen, in Zeichen  , wenn

 

Die Vervollständigung von   ist

 

mit   als der Menge aller Cauchy-Netze. In einem vollständigen Raum konvergieren alle Cauchynetze und äquivalente Cauchynetze haben denselben Grenzwert.

VollständigkeitBearbeiten

Ein uniformer Raum   ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf   konvergent ist.

Beispiel eines vollständigen uniformen Raumes sind die proendlichen Zahlen   eine Vervollständigung des uniformen Raumes der ganzen Zahlen  

AnwendungenBearbeiten

Definition der abgeschlossenen Hülle

Ist   eine Teilmenge des topologischen Raumes  , dann ist   genau dann ein Berührpunkt von   (d. h. in der abgeschlossenen Hülle von   enthalten), wenn es ein Netz   mit Gliedern   gibt, das gegen   konvergiert.

Lokale Definition der Stetigkeit
  • Seien   und   topologische Räume. Eine Abbildung   ist stetig im Punkt   genau dann, wenn für jedes Netz   in   gilt: Aus   folgt  .
Riemann-Integral

Die Menge   der Zerlegungen   des reellen Intervalls  ,  , wird durch die Inklusion zu einer gerichteten Menge:   :   enthält alle Punkte von  . Für eine reellwertige beschränkte Funktion auf   werden durch die Obersumme

 

und die Untersumme

 

zwei Netze definiert. Die Funktion   ist genau dann Riemann-integrierbar auf  , wenn beide Netze gegen die gleiche reelle Zahl   konvergieren. In dem Fall ist  .

Statt der Ober- und Untersummen lassen sich auch Riemann-Summen verwenden, um die Riemann-Integrierbarkeit zu charakterisieren. Hierfür wird eine kompliziertere gerichtete Menge   benötigt. Ein Element dieser Menge besteht also immer aus einer Zerlegung wie oben und einem zu der Zerlegung gehörenden Zwischenvektor   von Zwischenstellen. Die Ordnung auf   wird nun so definiert, dass ein Element   echt kleiner als   ist, wenn   eine echte Teilmenge von   ist.

Eine Funktion   ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn das Netz

 

konvergiert. Der Grenzwert ist dann das Riemann-Integral.

Dieser Zugang ist zwar komplizierter als der mit Ober- und Untersummen, dafür funktioniert er auch bei vektorwertigen Funktionen.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. E. H. Moore, H. L. Smith: A General Theory of Limits. In: American Journal of Mathematics. 44, Nr. 2, 1922, S. 102–121. doi:10.2307/2370388. ISSN 0002-9327