Grothendieck-Gruppe

Begriff aus der abstrakten Algebra

Die Grothendieck-Gruppe ist eine mathematische Konstruktion, die einer kommutativen Halbgruppe eine Gruppe zuordnet. Diese nach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion ist der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden und kann wie diese durch eine universelle Eigenschaft beschrieben werden.

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

 

Es gilt folgender Satz:

Ist   eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine kommutative Gruppe   und einen Halbgruppen-Homomorphismus   mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Gruppe   und jedem Halbgruppen-Homomorphismus   gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus   mit  .

Konstruktion Bearbeiten

Ein Beweis ergibt sich aus folgender Konstruktion, die der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden ist. Sei   eine kommutative Halbgruppe. Auf dem kartesischen Produkt   definiere man eine Äquivalenzrelation durch

 .

Man zeigt nun, dass dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation definiert, die Äquivalenzklasse von   wird mit   bezeichnet. Man setzt nun   und zeigt weiter, dass durch   eine Gruppenverknüpfung auf   definiert wird. Dabei ist   das neutrale Element (unabhängig von  ), die Inversenbildung ist durch die Formel   gegeben. Setzt man schließlich  , so kann man zeigen, dass   und   die Bedingung aus der universellen Eigenschaft erfüllen.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Wie üblich zeigt man mit Hilfe der universellen Eigenschaft, dass die Gruppe   bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt daher   die Grothendieck-Gruppe von  .
  • Der Halbgruppen-Homomorphismus   aus obiger universeller Eigenschaft ist genau dann injektiv, wenn die Halbgruppe die Kürzbarkeitseigenschaft hat.

Beispiele Bearbeiten

  • Für die Halbgruppe   fällt die Bildung der Grothendieck-Gruppe mit der üblichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen. Man hat daher  , wobei der Isomorphismus durch   gegeben ist. Identifiziert man die Grothendieck-Gruppe von   mit  , so ist   die Inklusion  . Dabei spielt es keine Rolle, ob man unter   die natürlichen Zahlen mit oder ohne Null versteht.
  • Ganz ähnliche Überlegungen zur multiplikativen Halbgruppe   führen zu  , und bei dieser Identifikation fällt   wieder mit der Inklusion   zusammen.
  • Bei der multiplikativen Halbgruppe   (der Index 0 signalisiere, dass die Null zu   gehört) liegt keine Kürzungseigenschaft vor. In diesem Fall sind je zwei Paare   und   äquivalent, denn es gilt  . Daher ist   und   für alle  .

Grothendieck-Gruppe als Funktor Bearbeiten

 

Die oben beschriebene Konstruktion ordnet jeder kommutativen Halbgruppe eine kommutative Gruppe zu. Ist   ein Halbgruppen-Homomorphismus in der Kategorie   der kommutativen Halbgruppen, so kann man wie folgt einen Gruppenhomomorphismus   konstruieren. Mittels   erhält man zunächst einen Halbgruppen-Homomorphismus   und daraus mittels der universellen Eigenschaft einen Gruppen-Homomorphismus   mit  .

Durch diese Definition wird   zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie   in die Kategorie   der abelschen Gruppen.

Betrachtet man eine abelsche Gruppe   nur als Halbgruppe, so kann man   bilden. Es stellt sich heraus, dass  , wobei der Isomorphismus durch   gegeben ist. In der Tat ist   linksadjungiert zum Vergissfunktor  .

Anwendung Bearbeiten

Neben der oben beschriebenen Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist die Bildung der K0-Gruppe eines Ringes eine wichtige Anwendung. Zu jedem Ring   betrachtet man die Menge (!)   der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver  -links-Moduln mit der direkten Summe als Halbgruppenverknüpfung. Die K0-Gruppe des Ringes   wird dann als Grothendieck-Gruppe von   definiert.

Literatur Bearbeiten