Eisenstein-Zahl

Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen

Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Sie sind nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein, einem Schüler von Gauß, benannt. Die gaußschen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring, also die Maximalordnung des quadratischen Zahlkörpers , der mit dem 3. Kreisteilungskörper übereinstimmt. Sie treten beispielsweise bei der Formulierung des kubischen Reziprozitätsgesetzes auf (→ siehe Kubisches Reziprozitätsgesetz in diesem Artikel).

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

DefinitionBearbeiten

Eine komplexe Zahl   ist eine Eisenstein-Zahl, wenn sie sich in der Form

  mit  

und ganzen Zahlen   und   darstellen lässt.   ist eine (primitive) dritte Einheitswurzel und erfüllt somit die Gleichung

 

Im Folgenden bezeichnet   immer genau die oben genannte primitive Einheitswurzel, nicht die zu   konjugiert komplexe zweite Nullstelle dieser quadratischen Gleichung.

Mit anderen Worten: Die Eisensteinzahlen bilden den Ring  , der aus dem Ring der ganzen Zahlen durch Adjunktion der primitiven 3. Einheitswurzel   entsteht. Der Ganzheitsring des Kreisteilungskörpers, der aus   durch Adjunktion einer primitiven 6. Einheitswurzel, zum Beispiel durch Adjunktion des Hauptwertes   entsteht,  , stimmt ebenfalls mit den Eisenstein-Zahlen überein.

Geometrische BedeutungBearbeiten

 
„Kleine“ Primelemente unter den Eisenstein-Zahlen in der komplexen Zahlenebene. Die Rotationssymmetrie um 60° folgt aus der Existenz von sechs Einheiten in  .

Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der gaußschen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.

ZahlentheorieBearbeiten

Auf den Eisenstein-Zahlen lässt sich Zahlentheorie betreiben: Die Einheiten sind genau die sechs komplexen Nullstellen der Gleichung  , die zyklische Einheitengruppe   wird also von jeder der beiden primitiven 6. Einheitswurzeln   bzw.   erzeugt. Zu jeder von   verschiedenen Eisensteinzahl   existieren genau sechs assoziierte Elemente, die in der multiplikativen Gruppe des Körpers   eine Nebenklasse   bilden.

Man kann Primelemente analog zu den Primzahlen in   definieren und zeigen, dass die Primfaktorzerlegung einer Eisenstein-Zahl – bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge der Primfaktoren – eindeutig ist. Die Eisensteinzahlen bilden also einen faktoriellen Integritätsbereich. Alle ganzen Zahlen der Form   sind in den Eisenstein-Zahlen zerlegbar.[1] Dort sind daher die Zahlen 3, 7, 13, 19, … keine Primelemente.

Genauer treten die folgenden drei Fälle auf:[2]

  • 3 ist ein Sonderfall:  . Dies ist die einzige Primzahl in  , die durch das Quadrat eines Primelementes in   teilbar ist. Man sagt in der algebraischen Zahlentheorie, diese Primzahl sei verzweigt.
  • Positive Primzahlen  , die die Kongruenz   erfüllen, bleiben auch in   prim. So eine Primzahl nennt man träge.
  • Positive Primzahlen  , die die Kongruenz   erfüllen, werden in   zu Produkten von zwei zueinander komplex konjugierten Primelementen. Man sagt, solche Primzahlen seien zerlegt.

Die trägen Primzahlen sind also   und eine Primfaktorisierung der ersten zerlegten Primzahlen lautet:

 

Die sechs mit einem Primelement assoziierten Elemente sind prim, ebenso das zu einem Primelement   komplex konjugierte Element  .

Da die Norm   eines Elementes von   stets in   liegt, bilden  , die trägen ganzen Primzahlen und die Primelemente, die als Faktoren bei der Zerlegung der zerlegten ganzen Primzahlen auftreten, zusammen mit ihren Assoziierten die Menge aller Primelemente in  .

Der Ring der Eisenstein-Zahlen ist euklidisch.

Kubischer Rest-CharakterBearbeiten

Im Ring der Eisensteinschen Zahlen gilt ein Satz, der analog zum kleinen fermatschen Satz der elementaren Zahlentheorie ist:[3]

Sind   und   ein Primelement, das   nicht teilt, dann gilt:

 

Wenn nun für die Norm von   gilt, dass   und also   ist, dann ist   eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten und es gilt:

  für eine eindeutig bestimmte 3. Einheitswurzel  

Man nennt diese Einheitswurzel den kubischen Rest-Charakter von   modulo   und schreibt dafür:[4]

 

Die Bezeichnung als Charakter ergibt sich daraus, dass die Abbildung bei festem Primelement   einen unitären Charakter auf der multiplikativen Gruppe des endlichen Körpers   bestimmt.

Die Kongruenz   ist in   genau dann lösbar, wenn   gilt. Ist die Kongruenz lösbar und  , dann nennt man   einen kubischen Rest modulo  ; ist die Kongruenz unlösbar, einen kubischen Nichtrest modulo  . Ebenso werden die Begriffe kubischer Rest und Nichtrest allgemeiner erklärt, wenn   zwar teilerfremd zu  , aber kein Primelement ist.

Der kubische Rest-Charakter hat für Primelemente  , die nicht zu   assoziiert sind, formale Eigenschaften, die den Eigenschaften des Legendre-Symbols ähneln:[5]

  1.  
  2.  , wobei der Überstrich für die komplexe Konjugation steht.
  3. Sind   und   assoziierte Primelemente, dann gilt  .
  4. Ist  , dann gilt  .

Der kubische Rest-Charakter kann im „Nenner“ multiplikativ auf zusammengesetzte Zahlen fortgesetzt werden, die teilerfremd zu 3 sind. Dabei wird dann ergänzend definiert, dass das so definierte kubische Restsymbol   den Wert 0 hat, falls die Zahlen   im Ring der Eisenstein-Zahlen nicht zueinander teilerfremd sind, aber   teilerfremd zu 3 ist. Diese Verallgemeinerung ist analog zu der Verallgemeinerung des Legendre-Symbols zum Jacobi-Symbol bis auf die Tatsache, dass für den Fall, dass   gilt oder gleichwertig, dass die Norm von   in   von 3 geteilt wird, kein Wert für das Symbol definiert wird. Manchmal wird im zuletzt genannten Fall das Symbol 0 gesetzt. Diese Variante ändert an den folgenden Aussagen nichts.

Ähnlich wie beim Jacobi-Symbol gelten für einen „Nenner“   des kubischen Restsymbols, der kein Primelement ist, folgende Aussagen:

  • Durch die multiplikative Fortsetzung gilt nach Definition:
  es eine Zerlegung   von   in paarweise verschiedene Primelemente   hat, von denen keines zu   assoziiert ist.
  • Ist der „Zähler“   ein kubischer Rest modulo   und  , dann nimmt das Symbol den Wert 1 an.
  • Nimmt das Symbol einen von 1 verschiedenen Wert an, dann ist der Zähler kein kubischer Rest modulo   oder   nicht teilerfremd zu 3.
  • Das Symbol kann den Wert 1 annehmen, auch wenn der Zähler ein kubischer Nichtrest modulo   ist.

Primäre ZahlenBearbeiten

Zur Formulierung eines kubischen Reziprozitätsgesetzes auf dem Ring der Eisenstein-Zahlen müssen aus den Assoziierten einer Eisensteinzahl bestimmte Vertreter ausgewählt werden. Eisenstein nennt eine Zahl   primär, wenn sie die Kongruenz   erfüllt. Man kann leicht nachweisen, dass für Zahlen, deren Norm (in  ) teilerfremd zu 3 ist, genau ein zu ihnen assoziiertes Element primär im Sinne dieser Definition ist. Ein Nachteil der Definition ist, dass das Produkt zweier primärer Zahlen immer die Gegenzahl einer primären Zahl ist.

Man definiert daher heute meistens:[6][7]

  • Eine Eisenstein-Zahl   ist primär, wenn sie zu 3 teilerfremd ist und modulo   zu einer gewöhnlichen ganzen Zahl kongruent ist.

Diese Definition ist gleichbedeutend damit, dass die Kongruenz   im Ring der Eisensteinzahlen gilt. Es gilt dann:

  1. Falls die Norm von   teilerfremd zu 3 ist, dann ist genau eine der Zahlen   primär.
  2. Das Produkt von zwei primären Zahlen ist primär.
  3. Mit jeder Zahl ist auch die zu ihr konjugiert komplexe Zahl primär.
  4. Eine im modernen Sinn primäre Zahl   ist entweder selbst primär im Sinn von Eisenstein oder   ist es.
  5. Unter den Assoziierten einer Zahl, die teilerfremd zu 3 ist, sind stets genau zwei primäre Zahlen  .

Da −1 immer ein kubischer Rest ist, reicht die Eindeutigkeit dieser Definition „bis auf das Vorzeichen“ für die Formulierung des Reziprozitätsgesetzes aus.

Kubisches ReziprozitätsgesetzBearbeiten

Für zwei primäre Zahlen   gilt:

 

Zu diesem kubischen Reziprozitätsgesetz gibt es Ergänzungssätze für die Einheiten und das Primelement  :[8]

Falls   primär ist und   gilt, dann gilt auch

 

Für primäre „Nenner“   mit   kann   durch das assoziierte primäre Element   ersetzt werden, ohne dass sich der Wert des Symbols ändert.

LiteraturBearbeiten

  • David A. Cox: Primes of the form x2+n y2. Fermat, class field theory and complex multiplication. Wiley, New York 1989, ISBN 0-471-50654-0.
  • Ferdinand Gotthold Eisenstein: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten Zahlen. In: August Leopold Crelle (Hrsg.): Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 27. Georg Reimer, Berlin 1844, S. 289–310.
  • Kenneth Ireland, Michael Rosen (Mathematiker): A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1990, ISBN 978-1-4419-3094-1.
  • Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Barcelona/Hong Kong/London/Milan/Paris/Singapore/Tokyo 2000, ISBN 3-540-66957-4.
  • Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/Singapur/Tokio/New York/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Mailand/Paris/Santa Clara 1996, ISBN 3-540-58791-8.

WeblinksBearbeiten

Commons: Eisenstein-Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Cox (1989)
  2. Ireland & Rosen Prop 9.1.4
  3. Ireland & Rosen. Prop 9.3.1
  4. Ireland & Rosen, S. 112
  5. Ireland & Rosen, Prop 9.3.3
  6. Ireland & Rosen, S. 206
  7. Lemmermeyer, Seite 361 nennt die im Eisensteinschen Sinn primären Zahlen „semi-primär“.
  8. Lemmermeyer, Th. 6.9