Beschränkte schwach-*-Topologie

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Die beschränkte schwach-*-Topologie, kurz bw*-Topologie (nach der englischen Bezeichnung "bounded weak* topology"), ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Topologie auf dem Dualraum eines normierten Raums. Sie ist eng mit der schwach-*-Topologie verbunden.

Definition

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Sei   ein normierter Raum und   sein Dualraum. Die bw*-Topologie ist die feinste Topologie auf  , deren Relativtopologie auf allen beschränkten Mengen mit der schwach-*-Topologie übereinstimmt.

Definiert man zu jeder beschränkten Menge   die Inklusion  , so ist die bw*-Topologie die Finaltopologie der Abbildungen  . Eine Menge   ist genau dann bw*-offen, wenn der Durchschnitt   für alle beschränkten Mengen   relativ schwach-*-offen ist.

Basis der bw*-Topologie

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Die hier beschriebene Basis der bw*-Topologie geht auf Jean Dieudonné zurück.[1] Ist   ein normierter Raum,   ein Element des Dualraums und   eine Nullfolge in  , so sei

 .

Diese Mengen bilden eine Umgebungsbasis offener Mengen von  . Da diese Mengen offenbar konvex sind, ist die bw*-Topologie eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie.[2] Ist   eine Nullfolge, so ist durch

 

eine Halbnorm auf   definiert und die bw*-Topologie ist genau die von diesen Halbnormen erzeugte lokalkonvexe Topologie.

Vollständigkeit

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Ist   ein normierter Raum, so ist der Dualraum mit der bw*-Topologie vollständig, das heißt jedes bw*-Cauchy-Netz konvergiert. Genauer bedeutet das: Ist   ein Netz in  , so dass es zu jeder Nullfolge   aus   einen Index   gibt, so dass   für alle  , so gibt es ein   mit   bzgl. der bw*-Topologie.

Insbesondere ergibt sich, dass die bw*-Topologie für unendlichdimensionale Räume echt feiner ist als die schwach-*-Topologie ist, denn letztere ist bekanntlich nicht vollständig.[3]

bw*-stetige lineare Funktionale

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Ist   ein Banachraum, so fallen die schwach-*-stetigen und die bw*-stetigen linearen Funktionale auf   zusammen. Daraus ergibt sich

  • Ein lineares Funktional auf   ist genau dann schwach-*-stetig, wenn die Einschränkung auf die Einheitskugel schwach-*-stetig ist.

Außerdem kann daraus sehr leicht der Satz von Krein-Šmulian über schwach-*-abgeschlossene, konvexe Mengen hergeleitet werden. Dies ist im unten angegebenen Lehrbuch[4] ausgeführt.

Kompakte Operatoren

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Mittels der bw*-Topologie können kompakte Operatoren charakterisiert werden. Ist   ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist der adjungierte Operator   bekanntlich stetig, wenn auf beiden Räumen die Normtopologie, die schwach-*-Topologie oder die bw*-Topologie betrachtet wird. Interessante Aussagen sind also erst zu erwarten, wenn man auf den Räumen unterschiedliche Topologien betrachtet. Es gilt folgender Satz[5]:

  • Ein stetiger linearer Operator   zwischen Banachräumen ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator   stetig ist bzgl. der bw*-Topologie auf   und der Normtopologie auf  .

bw-Topologie und cbw-Topologie

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In Analogie zur bw*-Topologie auf einem Dualraum kann man die bw-Topologie auf dem Ausgangsraum als feinste Topologie, die auf allen beschränkten Mengen mit der relativen schwachen Topologie übereinstimmt, definieren. Diese Topologie hat bei Weitem nicht die Bedeutung wie die bw*-Topologie, denn sie ist im Allgemeinen nicht lokalkonvex. 1974 hat R. F. Wheeler gezeigt, dass die bw-Topologie auf dem Folgenraum   nicht lokalkonvex ist,[6] und 1984 konnte J. Gómez Gil sogar zeigen, dass die bw-Topologie genau dann lokalkonvex ist, wenn der Raum reflexiv ist.[7] Für reflexive Räume   bringt die bw-Topologie aber nichts Neues, denn dann ist   selbst ein Dualraum, und die bw-Topologie stimmt mit der bw*-Topologie überein, wenn man   mit   identifiziert.

Um eine lokalkonvexe Topologie zu erhalten, definiert man auf   die cbw-Topologie, die von allen konvexen, offenen Mengen der bw-Topologie erzeugt wird. Diese ist lokalkonvex und stimmt mit der relativen bw*-Topologie von   überein, wenn man   bzgl. der kanonischen Einbettung als Unterraum von   auffasst.[8]

Einzelnachweise

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  1. J. Dieudonné: Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings American Mathematical Society (1950), Band 1, Seiten 54–59
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.2
  3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.6 mit Korollar 2.7.7
  4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 2.7.8 – 2.7.11
  5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.4.16
  6. R. F. Wheeler: The equicontinuous weak* topology and semi-reflexivity, Studia Mathematica (1972), Band 41, Seiten 243–256
  7. J. Gómez Gil: On local convexity of bounded weak topologies on Banach spaces, Pacific J. Math. (1984), Band 110, Nummer 1, Seiten 71–76
  8. J.G. Llavona: Approximation of Continuously Differentiable Functions, Elsevier Science Publishers (1986), ISBN 0-444-70128-1, Definition 4.2.2, Theorem 4.2.3