Satz von Krein-Šmulian

mathematischer Satz

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Bearbeiten

Ist   ein Banachraum, so sei   die abgeschlossene  -Kugel im Dualraum von  , wobei   sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also   eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen   schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen   auch die Umkehrung gilt:

  • Satz von Krein-Šmulian: Seien   ein Banachraum und   eine konvexe Menge. Wenn   für jedes   schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch   schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Bearbeiten

Ein Beispiel

Bearbeiten

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn   nicht konvex ist. Dazu seien    -dimensionale Teilräume mit   und   sei die Kugelfläche mit Radius   in  . Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz  . Setze  .

Dann ist   für jedes   endlich und daher schwach-*-abgeschlossen.   selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von  . Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form  , wobei   und  , ein Element aus   enthält. Wähle dazu   so groß, dass   und  . Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein   mit  . Wähle nun ein   mit  . Dann ist  , denn   für alle  .

Die bw*-Topologie

Bearbeiten

Man erkläre eine Menge   als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt   für jedes   schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

  • Seien   ein Banachraum und   eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von   überein.

Satz von Banach-Dieudonné

Bearbeiten
  • Seien   ein Banachraum und   ein Unterraum.   ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn   schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen   offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

  • M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487