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Mersenne-Primzahlen

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Die Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die ausschließlich mit der Binärziffer "1" geschrieben wird.
binär 11 111 11111 1111111 1111111111111 11111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111111111111111
potenz 22-1 23-1 25-1 27-1 213-1 217-1 219-1 231-1
dezimal 3 7 31 127 8191 131071 524287 2147483647
Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“

Die Mersennezahl   ist eine Binärzahl, die gerade aus   Einsen besteht (Zahlenpalindrom). Bei Mersenne-Primzahlen (Primzahlpalindrom) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl. Dies ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung!

Teilbarkeit von Repunits

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Repunits sind Zahlen, die nur mit der Ziffer Eins geschrieben werden. Jede Repunit deren Ziffernanzahl keine Primzahl ist, ist durch jede Repunit teilbar die soviel Ziffern enthält wie ein Teiler der Ziffernanzahl des Dividenden. Beispiel: Die Zahl 111111111111 ist eine Repunit und enthält 12 Ziffern. 12 ist teilbar durch 2, 3, 4 und durch 6, deswegen ist die Zahl teilbar durch die Repunits 11, 111, 1111 und auch durch 111111. Das Ergebnis einer solchen Division ist immer eine Palindromzahl, die nur aus den Ziffern Eins und Null besteht. Das Ergebnis sieht in jedem polyadischen Zahlensystem gleich aus, obwohl diese Zahlen ganz unterschiedliche Werte darstellen.


Repunit Basis durch Teilerrepunit Basis:

RepunitBasis TeilerrepunitBasis QuotientBasis Quotientdezimal
1111111111112 112 101010101012 1365dezimal
1111111111112 1112 10010010012 585dezimal
1111111111112 11112 1000100012 273dezimal
1111111111112 1111112 10000012 65dezimal

Verallgemeinerung:
Repunit b durch Teilerrepunit b
Wobei b Element der Ganzen Zahlen >1:

Repunitb Teilerrepunitb Quotientb
11 11 11 11 11 11b 11b 1 01 01 01 01 01b
111 111 111 111b 111b 1 001 001 001b
1111 1111 1111b 1111b 1 0001 0001b
111111 111111b 111111b 1 000001b

Fazit:
Jede als Repunit darstellbare Zahl ist teilbar (keine Primzahl), wenn die Anzahl ihrer Ziffern teilbar ist!

Repunits

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Repunits sind eine Teilmenge der Repdigits. Unter den Repdigits können nur bei den Repunits Primzahlen sein.

Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund keine Primzahlen sein können sind:

  1. 15 (1111 Basis 2)
  2. 40 (1111 Basis 3)
  3. 63 (111111 Basis 2)
  4. 85 (1111 Basis 4)
  5. 156 (1111 Basis 5)
  6. 255 (11111111 Basis 2)
  7. 259 (1111 Basis 6)
  8. 364 (111111 Basis 3)
  9. 400 (1111 Basis 7)
  10. 511 (111111111 Basis 2)

...

Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge A085104 in OEIS sind diese Art Primzahlen aufgeführt.

Pythonprogramm Lucas-Lehmer-Test

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Mit dem Lucas-Lehmer-Test läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten Pythonprogramm können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern. (Download: Portable Python 2.6.1)

#!/Lucas-Lehmer-Test für Python 2.6.1
print 'Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)'
p = int(raw_input ('Exponent p  von 2^p-1'))
m=2**p-1
print 'm = 2 ^',p,'- 1 =',m
s=4
for i in range (2,p):
    s=(s*s-2)%m
print 'ist',
if s==0:
    print 'eine',
else:
    print 'keine',
print 'Mersenne-Primzahl'

Exponenten p (2p-1) der ersten 20 Mersenne-Primzahlen

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  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 7
  5. 13
  6. 17
  7. 19
  8. 31
  9. 61
  10. 89
  11. 107
  12. 127
  13. 521
  14. 607
  15. 1279
  16. 2203
  17. 2281
  18. 3217
  19. 4253
  20. 4423


Repunits2, besondere Palindromzahlen

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Quadrate der Repunits mit b-1 Ziffern in der Basis b ergeben unvollständige Palindromzahlen der Form 123..(b-1)..321 in der entsprechenden Basis b.

Beispiel: 111112(6)=123454321(6)=15552(10)=2418025(10)

Die dezimalen Werte dieser Repunits sind in der Folge A060072 in OEIS aufgeführt.

Basis 2 Repunits2 (Mersennezahlen2)

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(2n-1)2 = 2(n+1)(2(n-1)-1)+1

Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen

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Unter den Dreieckszahlen sind besondere Palindromzahlen aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu indizieren die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in Stellenwertsystemen mit gerader Basis > 2 konstruieren.

(Folge A000217 in OEIS) und Liste der Dreieckszahlen

Repunit 11Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
114 334 5dezimal 15dezimal
116 446 7dezimal 28dezimal
118 558 9dezimal 45dezimal
1110 6610 11dezimal 66dezimal
1112 7712 13dezimal 91dezimal
1114 8814 15dezimal 120dezimal
... ... ... ...

Repunit 1111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
11114 - 85dezimal -
11116 4155146 259dezimal 33670dezimal
11118 5166158 585dezimal 171405dezimal
111110 61771610 1111dezimal 617716dezimal
111112 71881712 1885dezimal 1777555dezimal
111114 81991814 2955dezimal 4367490dezimal
... ... ... ...

Repunit 111111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
1111114 - 1365dezimal -
1111116 - 9331dezimal -
1111118 51627726158 37449dezimal 701232525dezimal
11111110 617288271610 111111dezimal 6172882716dezimal
11111112 718299281712 271453dezimal 36843501331dezimal
11111114 8192AA291814 579195dezimal 167733713610dezimal
... ... ... ...

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!


Die größten hexadezimalen palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

RepunitBasis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
111111111111hex 91A2B3C4D5EE5D4C3B2A19hex 18764998447377dezimal 176062583365039992818313753dezimal
11111111111111hex 91A2B3C4D5E6FF6E5D4C3B2A19hex 4803839602528529dezimal 11538437463410730145064930716185dezimal

Algorithmus

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Bildungsalgorithmus für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer geradezahligen Basis > 2.

  1. Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
  2. Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
  3. Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
  4. Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
  5. Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
  6. Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

Mehr zu Dreieckszahlen

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Zu: Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen

Von Quadraten zu den Dreieckszahlen

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Wird eine ungerade Zahl   quadriert, dann 1 subtrahiert und der Differenzwert durch 8 dividiert, dann ergibt es immer eine Dreieckszahl  .

  •  

Pascalsches Dreieck und Palindromzahlen

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Im Pascalschen Dreieck können die Zeilen als Palindromzahlen angesehen werden, wobei die einzelnen Zahlen dann als Symbole für die Ziffern in einem b-adischen Zahlensystem stehen. Die Quersumme dieser Ziffern in einer Zeile ergeben bekanntlich Zweierpotenzen. (Siehe auch: Binomialkoeffizient)

Pythonprogramm zur Berechnung von Zeilen des Pascalschen Dreiecks. (Download: Portable Python 2.6.1)

Hier von Zeile 0 bis 50

#!Pascalsches Dreieck (Zeilen 0 bis 50 als Palindromzahlen)
b=126410606437752+1 #! Basis b muss hinreichend gross sein
                    #! mindestens gr?sste "Ziffer" + 1
for p in range (0,51):
    c=(b+1)**p      #! entspricht: c=(b+1)^p
    print""
    while c>0:
        print c%b,  #! entspricht: print c-c//b*b oder (print c mod b)
        c=c//b      #! entspricht: c=int(c/b) oder c=c\b

Repunits, Euler-Dreieck, Fakultäten

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                                                0
                                             1     0    
                                          2     1     0
                                       3     4     2     0
                                    4    11    14     6     0
                                 5    26    64    66    24     0
                              6    57    244   456   384   120    0
                           7    120   846  2556  3744  2640   720    0
                        8    247  2778  12762 28944 34560 20880 5040    0

Folge A107893 in OEIS

  • Zweitletzte Spalte von links oben nach rechts unten n! (Fakultät)
  • Zweite Spalte von rechts oben nach links unten 2n-n-1 (Euler-Dreieck) oeis:A000295 und oeis:A125128
  • Drittletzte Spalte von links oben nach rechts unten (n(n+1)/2+1)(n-1)!
  • Viertletzte Spalte von links oben nach rechts unten oeis:A144335(n-2)!

Für die Zeilen gilt z.B.:

 4 | 4+11=15 |15+25=40 |40+45=85 |...
11 |11+14=25 |25+20=45 |45+26=71 |...
14 |14+ 6=20 |20+ 6=26 |26+ 6=32 |...
 6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 |...
 0 

Repunits zur Basis

4=11111 |15=11112 |40=11113 |85=11114 |...

Zweites Dreieck, Mersenne-Zahlen, Stirling-Zahlen, Fakultäten

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                                                0
                                             1     0    
                                          3     1     0
                                       7     6     2     0
                                   15    25    20     6     0
                                31    90    130   90    24     0
                             63    301   700   840   504   120    0
                          127   966  3402  6300  6384  3360   720    0
                       255  3025  15540 41706 63504 55440 25920 5040    0

Vollkommene Zahlen

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Eine Zahl ist eine Vollkommene Zahl, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler. Aus den Mersenne-Primzahlen lassen sich alle bekannten Vollkommenen Zahlen konstruieren. Die Verwandschaft läßt sich besonders leicht in der Binärdarstellung erkennen.
binär 110 11100 111110000 1111111000000 1111111111111000000000000 111111111111111110000000000000000 1111111111111111111000000000000000000
potenz (22-1)21 (23-1)22 (25-1)24 (27-1)26 (213-1)212 (217-1)216 (219-1)218
dezimal 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328
Der binäre Darstellung einer Vollkomenen Zahl besteht aus der Mersenne-Primzahl, gefolgt von Ziffern „0“ mit einer um eine Stelle verringerten Anzahl.

Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.
Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl

Formel:

  •   alternativ  

Vollkommene Zahlen (1. - 20.)

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Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:

  1. 6
  2. 28
  3. 496
  4. 8128
  5. 33550336
  6. 8589869056
  7. 137438691328
  8. 2305843008139952128
  9. 2658455991569831744654692615953842176
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
  11. 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
  12. 14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
  13. 23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
  14. 141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
  15. 54162526284365847412654465374391316140856490539031695784603920818387206994158534859198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827028395139475207769044924431494861729435113126280837904930462740681717960465867348720992572190569465545299629919823431031092624244463547789635441481391719816441605586788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553573937788923405146222324506715979193757372820860878214322052227584537552897476256179395176624426314480313446935085203657584798247536021172880403783048602873621259313789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212775603535764707952250173858305171028603021234896647851363949928904973292145107505979911456221519899345764984291328
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  20. 40767271711094423266286789500920409509472451956754173657558947684464681715260993357605734441071512726995067528227747339481802307406017975918463751821848507118336173625166416441051751909733833921511752076653991689253045435925355114303300112240094312492366309429025181937703076074631694330891971804062290637324463063370007444165676699382865548574698013900725344417715580901794517787294713626725247616431165717354475083506329812661542345174259067891050196093969424325393268526237129649381671501429508518532700654319135658688537822432173525578067619513381189044904675194018182193349875318307576479629202619084300084497552929130566459016664436323063518973396208264181441158994259766077215199598273505770807393645474832736784296681037040447804670653738245607704296033370069548245058222346937754342008266115596746009270472531585662215058309416971412450120373149200391305139626391147758497714062124945414219545021663761325651848979096956363445054874071200187004098334242171313866643279783121709224161095222080608666106221075196556669546036212033916214620015754946773858930331944632744676736422424630471770419404321630175578272380575860947613876452571102541656491464344575071152521057073596731123384560986412117728286743021819378916115542964437048959026512685144124956065485652281953670546881779736097894174076453897164963235414848542178185638376039787558515854327876892100291586150169593481653250617283841617035992495539326209286081463451168016943400175227907739209129141984002670216279803245614932227988255785347373220924269748847852670574748163344676257876208108900678912830541369572996543783984620215364954353893838464888672671453393130927672103268849597298792373028395452767031129100333696063046099180328138782391367566104347713165495897021159454503241952055937183814515589264894586591501363147676413662843302502175075791426238440513015405476007476498747783201892106205584698383524005031036187539925202274453467202350823213372999023061199920256689198899908817944610695281886646630824678765305845231339408011870948795735488385897157930791657525540518959449984465130248721166519809265271872913736358591494923276213116461018047328995621925367809697847697726183327599265650527446129800629718921404375627930737500435684546352140119118622625161732119556975036023320412126344181833754571377867747583783758174317957011000027824913530257131124993626863404596480086028834672069335493603141485087204213357254720762673897857837928958409382883536405344396217119883289266162616394049286804626796372654015917535645430198053751867174961912991147525380624081763689015391680510756697550659469557112900507657356152843089480485079285160832736274980123243426924630558985552020642912534528

Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras

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Die Länge der Sehne in einem Kreis läßt sich berechnen, wenn der Radius des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Radius r entspricht immer der Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:

 

Formel nach x umgestellt:

 

Sehne gleich 2x:

 

Annäherung an π mit dem Pythagoras

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Es gibt viele Brechnungsmethoden für die Kreiszahl π. Eine läßt sich über die Berechnung von Kreissehnen verwirklichen. Wie oben gezeigt, läßt sich die halbe Länge einer Sehne mit dem Pythagoras direkt berechnen. Werden viele halbe Sehnen zwischen Mittelpunkt und Radius berechnet, dann nähert sich der Mittelwert π/4 an, wenn der Radius 1 gewählt wird.

Besondere primitive pythagoreische Tripel

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Siehe auch: Pythagoreisches Tripel

  • Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ (Gegenkathete) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
  • Die Ankathete „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
  • Die Hypotenuse „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
  • Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade


Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.

a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
... ... ...

Tripel mit zwei Primzahlen

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Pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel beginnt dann wie folgt:

aprime b cprime
3 4 5
5 12 13
11 60 61
19 180 181
29 420 421
59 1740 1741
... ... ...

Für a, Folge A048161 in OEIS

Primzahl = a+b

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Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:

aprime b cprime a+b(prime)
3 4 5 7
5 12 13 17
11 60 61 71
19 180 181 199
29 420 421 449
71 2520 2521 2591
... ... ... ...

Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b)

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Wenn die Summe der größten Primfaktoren der Seiten (a+c+b)>prime eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:

aprime b cprime b>prime factor a+c+b>prime factor(prime)
29 420 421 7 457
199 19800 19801 11 20011
1091 595140 595141 109 596341
2711 3674760 3674761 271 3677743
3491 6093540 6093541 349 6097381
4691 11002740 11002741 67 11007499
... ... ... ... ...

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b>prime factor

Perfekte und Fast Perfekte Primzahlen (rechtsstutzbare Primzahlen)

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Seite hierzu: Truncatable prime

Weitere Seiten:Madbros/Perfekte Primzahl und Thogo/Fast Perfekte Primzahl

  • Primzahlen sollen dann Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind und das Anhängen jeder weiteren beliebigen Ziffer keine Primzahl mehr ergibt.
  • Primzahlen sollen dann Fast Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie eine einstellige Primzahl sind oder durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind. Die Perfekten Primzahlen sind somit eine Teilmenge der Fast Perfekten Primzahlen.

Die Fast Perfekten Primzahlen und die Perfekten Primzahlen sind abhängug vom verwendeten Stellenwertsystem. So gibt es im Binärsystem keine Fast Perfekten Primzahlen (und damit auch keine Perfekten Primzahlen) weil weder 0 noch 1 Primzahlen sind.

Basis 3 mit 4 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 3 Dezimal
1. 2 2
2. 21 7
3. 212 23
4. 2122 71

Es gibt eine Perfekte Primzahl zur Basis 3

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n Basis 3 Dezimal
1. 2122 71

Basis 4 mit 7 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 4 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 23 11
4. 31 13
5. 233 47
6. 311 53
7. 2333 191

Es gibt 2 Perfekte Primzahlen zur Basis 4

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n Basis 4 Dezimal
1. 311 53
2. 2333 191

Basis 5 mit 14 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 5 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 21 11
4. 23 13
5. 32 17
6. 34 19
7. 214 59
8. 232 67
9. 324 89
10. 342 97
11. 2322 337
12. 3244 449
13. 3422 487
14. 34222 2437

Es gibt 4 Perfekte Primzahlen zur Basis 5

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n Basis 5 Dezimal
1. 214 59
2. 2322 337
3. 3244 449
4. 34222 2437

Basis 6 mit 36 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 6 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 21 13
5. 25 17
6. 31 19
7. 35 23
8. 51 31
9. 211 79
10. 215 83
11. 251 103
12. 255 107
13. 351 139
14. 515 191
15. 2115 479
16. 2151 499
17. 2155 503
18. 2511 619
19. 2551 643
20. 2555 647
21. 3515 839
22. 5155 1151
23. 21155 2879
24. 21515 2999
25. 21551 3019
26. 21555 3023
27. 25115 3719
28. 25515 3863
29. 35155 5039
30. 51551 6907
31. 51555 6911
32. 215515 18119
33. 215555 18143
34. 515511 41443
35. 515551 41467
36. 2155555 108863

Es gibt 11 Perfekte Primzahlen zur Basis 6

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n Basis 6 Dezimal
1. 31 19
2. 2555 647
3. 21155 2879
4. 21515 2999
5. 25115 3719
6. 25515 3863
7. 35155 5039
8. 215515 18119
9. 515511 41443
10. 515551 41467
11. 2155555 108863

Basis 7 mit 19 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 7 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 23 17
5. 25 19
6. 32 23
7. 52 37
8. 56 41
9. 254 137
10. 256 139
11. 322 163
12. 326 167
13. 524 263
14. 566 293
15. 2564 977
16. 3262 1171
17. 5246 1847
18. 5662 2053
19. 25642 6841

Es gibt 7 Perfekte Primzahlen zur Basis 7

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n Basis 7 Dezimal
1. 23 17
2. 254 137
3. 322 163
4. 3262 1171
5. 5246 1847
6. 5662 2053
7. 25642 6841

Basis 8 mit 68 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 8 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. 21 17
6. 23 19
7. 27 23
8. 35 29
9. 37 31
10. 51 41
11. 53 43
12. 57 47
13. 73 59
14. 75 61
15. 211 137
16. 213 139
17. 235 157
18. 277 191
19. 351 233
20. 357 239
21. 373 251
22. 513 331
23. 533 347
24. 535 349
25. 573 379
26. 577 383
27. 737 479
28. 753 491
29. 2111 1097
30. 2117 1103
31. 2135 1117
32. 2353 1259
33. 2773 1531
34. 3513 1867
35. 3517 1871
36. 3571 1913
37. 3733 2011
38. 5331 2777
39. 5355 2797
40. 5735 3037
41. 5773 3067
42. 7371 3833
43. 7531 3929
44. 7533 3931
45. 21113 8779
46. 21117 8783
47. 21177 8831
48. 21355 8941
49. 23537 10079
50. 27733 12251
51. 27735 12253
52. 35133 14939
53. 35171 14969
54. 35713 15307
55. 37333 16091
56. 53555 22381
57. 73717 30671
58. 211135 70237
59. 211177 70271
60. 277331 98009
61. 277333 98011
62. 351331 119513
63. 351717 119759
64. 535553 179051
65. 2111771 562169
66. 3513313 956107
67. 5355533 1432411
68. 21117717 4497359

Es gibt 20 Perfekte Primzahlen zur Basis 8

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n Basis 8 Dezimal
1. 513 331
2. 5331 2777
3. 5735 3037
4. 5773 3067
5. 7531 3929
6. 7533 3931
7. 21177 8831
8. 21355 8941
9. 23537 10079
10. 27735 12253
11. 35713 15307
12. 37333 16091
13. 73717 30671
14. 211135 70237
15. 277331 98009
16. 277333 98011
17. 351717 119759
18. 3513313 956107
19. 5355533 1432411
20. 21117717 4497359

Basis 9 mit 68 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 9 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. 21 19
6. 25 23
7. 32 29
8. 34 31
9. 52 47
10. 58 53
11. 74 67
12. 78 71
13. 212 173
14. 218 179
15. 254 211
16. 322 263
17. 328 269
18. 342 281
19. 344 283
20. 528 431
21. 582 479
22. 744 607
23. 782 641
24. 784 643
25. 788 647
26. 2122 1559
27. 2182 1613
28. 2188 1619
29. 2542 1901
30. 2548 1907
31. 3224 2371
32. 3282 2423
33. 3422 2531
34. 3442 2549
35. 3444 2551
36. 5282 3881
37. 7448 5471
38. 7844 5791
39. 7884 5827
40. 21222 14033
41. 21822 14519
42. 25428 17117
43. 25484 17167
44. 32242 21341
45. 32248 21347
46. 34224 22783
47. 34228 22787
48. 34422 22943
49. 34442 22961
50. 34444 22963
51. 78442 52121
52. 78448 52127
53. 254284 154057
54. 254288 154061
55. 344222 206489
56. 344422 206651
57. 2542882 1386551
58. 2542888 1386557
59. 3442222 1858403
60. 3444224 1859863
61. 25428888 12479021
62. 34422222 16725629
63. 34442242 16738769
64. 254288882 112311191
65. 344422422 150648923
66. 2542888824 1010800723
67. 2542888828 1010800727
68. 3444224222 1355840309

Es gibt 23 Perfekte Primzahlen zur Basis 9

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n Basis 9 Dezimal
1. 582 479
2. 782 641
3. 2188 1619
4. 3282 2423
5. 5282 3881
6. 7448 5471
7. 7884 5827
8. 21222 14033
9. 21822 14519
10. 25484 17167
11. 32242 21341
12. 32248 21347
13. 34224 22783
14. 34228 22787
15. 34444 22963
16. 78442 52121
17. 78448 52127
18. 254284 154057
19. 2542882 1386551
20. 34422222 16725629
21. 2542888824 1010800723
22. 2542888828 1010800727
23. 3444224222 1355840309

Basis 10 mit 83 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 10 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. 23 23
6. 29 29
7. 31 31
8. 37 37
9. 53 53
10. 59 59
11. 71 71
12. 73 73
13. 79 79
14. 233 233
15. 239 239
16. 293 293
17. 311 311
18. 313 313
19. 317 317
20. 373 373
21. 379 379
22. 593 593
23. 599 599
24. 719 719
25. 733 733
26. 739 739
27. 797 797
28. 2333 2333
29. 2339 2339
30. 2393 2393
31. 2399 2399
32. 2939 2939
33. 3119 3119
34. 3137 3137
35. 3733 3733
36. 3739 3739
37. 3793 3793
38. 3797 3797
39. 5939 5939
40. 7193 7193
41. 7331 7331
42. 7333 7333
43. 7393 7393
44. 23333 23333
45. 23339 23339
46. 23399 23399
47. 23993 23993
48. 29399 29399
49. 31193 31193
50. 31379 31379
51. 37337 37337
52. 37339 37339
53. 37397 37397
54. 59393 59393
55. 59399 59399
56. 71933 71933
57. 73331 73331
58. 73939 73939
59. 233993 233993
60. 239933 239933
61. 293999 293999
62. 373379 373379
63. 373393 373393
64. 593933 593933
65. 593993 593993
66. 719333 719333
67. 739391 739391
68. 739393 739393
69. 739397 739397
70. 739399 739399
71. 2339933 2339933
72. 2399333 2399333
73. 2939999 2939999
74. 3733799 3733799
75. 5939333 5939333
76. 7393913 7393913
77. 7393931 7393931
78. 7393933 7393933
79. 23399339 23399339
80. 29399999 29399999
81. 37337999 37337999
82. 59393339 59393339
83. 73939133 73939133

Es gibt 27 Perfekte Primzahlen zur Basis 10

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n Basis 10 Dezimal
1. 53 53
2. 317 317
3. 599 599
4. 797 797
5. 2393 2393
6. 3793 3793
7. 3797 3797
8. 7331 7331
9. 23333 23333
10. 23339 23339
11. 31193 31193
12. 31379 31379
13. 37397 37397
14. 73331 73331
15. 373393 373393
16. 593993 593993
17. 719333 719333
18. 739397 739397
19. 739399 739399
20. 2399333 2399333
21. 7393931 7393931
22. 7393933 7393933
23. 23399339 23399339
24. 29399999 29399999
25. 37337999 37337999
26. 59393339 59393339
27. 73939133 73939133

Basis 11 mit 89 Fast Perfekten Primzahlen

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(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 11 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. 21 23
6. 27 29
7. 29 31
8. 34 37
9. 38 41
10. 3A 43
11. 54 59
12. 56 61
13. 72 79
14. 76 83
15. 214 257
16. 21A 263
17. 296 347
18. 298 349
19. 342 409
20. 386 457
21. 38A 461
22. 3A6 479
23. 544 653
24. 54A 659
25. 562 673
26. 566 677
27. 728 877
28. 766 919
29. 2146 2833
30. 214A 2837
31. 21A4 2897
32. 21AA 2903
33. 2964 3821
34. 2966 3823
35. 2988 3847
36. 3428 4507
37. 38A6 5077
38. 38AA 5081
39. 3A64 5273
40. 3A6A 5279
41. 5444 7187
42. 544A 7193
43. 54A4 7253
44. 5628 7411
45. 5664 7451
46. 566A 7457
47. 7282 9649
48. 7662 10111
49. 21A46 31873
50. 29668 42061
51. 29886 42323
52. 38A62 55849
53. 38AA6 55897
54. 38AAA 55901
55. 3A64A 58013
56. 3A6A4 58073
57. 54446 79063
58. 544AA 79133
59. 56286 81527
60. 56646 81967
61. 5664A 81971
62. 566A4 82031
63. 566AA 82037
64. 76626 111227
65. 76628 111229
66. 296682 462673
67. 296686 462677
68. 38AAA6 614917
69. 3A64A4 638147
70. 562866 896803
71. 566466 901643
72. 5664A6 901687
73. 566A46 902347
74. 566A4A 902351
75. 566AA6 902413
76. 766288 1223527
77. 2966828 5089411
78. 2966864 5089451
79. 5628666 9864839
80. 5664A66 9918563
81. 566A466 9925823
82. 7662882 13458799
83. 29668286 55983527
84. 2966864A 55983971
85. 56286664 108513233
86. 566A4664 109184057
87. 76628828 148046797
88. 29668286A 615818807
89. 29668286AA 6774006887

Es gibt 28 Perfekte Primzahlen zur Basis 11

Bearbeiten
n Basis 11 Dezimal
1. 27 29
2. 386 457
3. 2146 2833
4. 214A 2837
5. 21AA 2903
6. 2964 3821
7. 3428 4507
8. 54A4 7253
9. 7282 9649
10. 21A46 31873
11. 29886 42323
12. 38A62 55849
13. 38AA6 55897
14. 3A6A4 58073
15. 54446 79063
16. 544AA 79133
17. 76626 111227
18. 38AAA6 614917
19. 3A64A4 638147
20. 566466 901643
21. 566A4A 902351
22. 566AA6 902413
23. 5664A66 9918563
24. 2966864A 55983971
25. 56286664 108513233
26. 566A4664 109184057
27. 76628828 148046797
28. 29668286AA 6774006887

Basis 12 mit 179 Fast Perfekten Primzahlen

Bearbeiten

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 12 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. B 11
6. 25 29
7. 27 31
8. 31 37
9. 35 41
10. 37 43
11. 3B 47
12. 51 61
13. 57 67
14. 5B 71
15. 75 89
16. B5 137
17. B7 139
18. 251 349
19. 255 353
20. 25B 359
21. 271 373
22. 277 379
23. 27B 383
24. 315 449
25. 357 499
26. 35B 503
27. 375 521
28. 377 523
29. 3B5 569
30. 3B7 571
31. 511 733
32. 517 739
33. 51B 743
34. 575 809
35. 577 811
36. 5B1 853
37. 5B5 857
38. 5B7 859
39. 5BB 863
40. 751 1069
41. B71 1669
42. 2555 4241
43. 2557 4243
44. 2715 4481
45. 2717 4483
46. 2771 4549
47. 27B1 4597
48. 27B7 4603
49. 3155 5393
50. 315B 5399
51. 35B1 6037
52. 35B7 6043
53. 35BB 6047
54. 3755 6257
55. 375B 6263
56. 3771 6277
57. 377B 6287
58. 3B51 6829
59. 3B55 6833
60. 3B75 6857
61. 3B7B 6863
62. 5117 8803
63. 511B 8807
64. 51B7 8923
65. 575B 9719
66. 5771 9733
67. 5777 9739
68. 577B 9743
69. 5B17 10243
70. 5B1B 10247
71. 5B55 10289
72. 5B75 10313
73. 5BB1 10357
74. 7511 12829
75. B711 20029
76. 25551 50893
77. 25577 50923
78. 27151 53773
79. 27155 53777
80. 2715B 53783
81. 27B17 55171
82. 27B77 55243
83. 31551 64717
84. 315B5 64793
85. 375B5 75161
86. 375BB 75167
87. 37715 75329
88. 3B515 81953
89. 3B557 82003
90. 3B55B 82007
91. 3B7B5 82361
92. 511B7 105691
93. 51B71 107077
94. 575BB 116639
95. 57711 116797
96. 57717 116803
97. 577B7 116923
98. 577BB 116927
99. 5B175 122921
100. 5B1B7 122971
101. 5B55B 123479
102. 5B751 123757
103. 5BB17 124291
104. 75111 153949
105. 75115 153953
106. B7111 240349
107. B7115 240353
108. 255515 610721
109. 255775 611081
110. 271555 645329
111. 2715B1 645397
112. 27B177 662059
113. 27B17B 662063
114. 27B771 662917
115. 375B55 901937
116. 375BB5 902009
117. 377151 903949
118. 3B5155 983441
119. 3B5157 983443
120. 3B515B 983447
121. 3B5571 984037
122. 3B557B 984047
123. 3B55B7 984091
124. 3B7B5B 988343
125. 511B77 1268299
126. 51B717 1284931
127. 575BBB 1399679
128. 577117 1401571
129. 577175 1401641
130. 577B75 1403081
131. 5B55B1 1481749
132. 5B55BB 1481759
133. 5BB171 1491493
134. 751115 1847393
135. B71157 2884243
136. 2715551 7743949
137. 27B7715 7955009
138. 27B7717 7955011
139. 375B555 10823249
140. 375B557 10823251
141. 375BB5B 10824119
142. 3771515 10847393
143. 3B5155B 11801303
144. 3B5157B 11801327
145. 3B55715 11808449
146. 3B557B5 11808569
147. 3B557B7 11808571
148. 3B55B71 11809093
149. 3B55B77 11809099
150. 3B55B7B 11809103
151. 511B775 15219593
152. 5771171 16818853
153. 5771755 16819697
154. 5B55B1B 17780999
155. 5B55BB1 17781109
156. 5BB1711 17897917
157. 7511151 22168717
158. 7511157 22168723
159. 27B77151 95460109
160. 27B7715B 95460119
161. 27B77175 95460137
162. 375BB5B5 129889433
163. 3B5155BB 141615647
164. 3B5157B7 141615931
165. 3B557151 141701389
166. 3B557B75 141702857
167. 3B55B775 141709193
168. 3B55B7B5 141709241
169. 3B55B7BB 141709247
170. 511B7755 182635121
171. 5B55B1B5 213371993
172. 27B771511 1145521309
173. 27B771755 1145521649
174. 375BB5B51 1558673197
175. 375BB5B55 1558673201
176. 3B5571515 1700416673
177. 3B55B7755 1700510321
178. 3B55B7B57 1700510899
179. 375BB5B515 18704078369

Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis 12

Bearbeiten
n Basis 12 Dezimal
1. B5 137
2. 251 349
3. 25B 359
4. 357 499
5. 517 739
6. 2717 4483
7. 2771 4549
8. 35B1 6037
9. 35B7 6043
10. 35BB 6047
11. 3755 6257
12. 377B 6287
13. 3B75 6857
14. 5117 8803
15. 5777 9739
16. 27151 53773
17. 31551 64717
18. 315B5 64793
19. 577BB 116927
20. 5B175 122921
21. 5B1B7 122971
22. 5B751 123757
23. 75115 153953
24. B7111 240349
25. 255515 610721
26. 255775 611081
27. 2715B1 645397
28. 27B177 662059
29. 27B17B 662063
30. 3B515B 983447
31. 3B7B5B 988343
32. 51B717 1284931
33. 575BBB 1399679
34. 577B75 1403081
35. B71157 2884243
36. 2715551 7743949
37. 375B555 10823249
38. 375B557 10823251
39. 3771515 10847393
40. 3B557B5 11808569
41. 3B55B71 11809093
42. 5771171 16818853
43. 5771755 16819697
44. 5B55BB1 17781109
45. 5BB1711 17897917
46. 7511151 22168717
47. 7511157 22168723
48. 27B7715B 95460119
49. 3B5155BB 141615647
50. 3B5157B7 141615931
51. 3B557B75 141702857
52. 3B55B7BB 141709247
53. 511B7755 182635121
54. 5B55B1B5 213371993
55. 27B771511 1145521309
56. 27B771755 1145521649
57. 375BB5B55 1558673201
58. 3B5571515 1700416673
59. 3B55B7755 1700510321
60. 3B55B7B57 1700510899
61. 375BB5B515 18704078369

Basis 13 mit 176 Fast Perfekten Primzahlen

Bearbeiten

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n Basis 13 Dezimal
1. 2 2
2. 3 3
3. 5 5
4. 7 7
5. B 11
6. 23 29
7. 25 31
8. 2B 37
9. 32 41
10. 34 43
11. 38 47
12. 52 67
13. 56 71
14. 58 73
15. 76 97
16. 7A 101
17. 7C 103
18. B6 149
19. B8 151
20. 232 379
21. 236 383
22. 23C 389
23. 256 409
24. 2B6 487
25. 2BA 491
26. 328 541
27. 344 563
28. 34A 569
29. 34C 571
30. 382 613
31. 386 617
32. 388 619
33. 526 877
34. 52A 881
35. 52C 883
36. 566 929
37. 584 953
38. 7A6 1319
39. 7A8 1321
40. B6C 1949
41. B8A 1973
42. 2324 4931
43. 2326 4933
44. 232A 4937
45. 2368 4987
46. 23C2 5059
47. 2566 5323
48. 2B66 6337
49. 2B6C 6343
50. 2BA6 6389
51. 3286 7039
52. 328A 7043
53. 3442 7321
54. 344C 7331
55. 34CA 7433
56. 3886 8053
57. 388C 8059
58. 526A 11411
59. 52C4 11483
60. 52CA 11489
61. 52CC 11491
62. 5842 12391
63. 584C 12401
64. 7A6C 17159
65. 7A8A 17183
66. B6C2 25339
67. B6C6 25343
68. B6CC 25349
69. B8A8 25657
70. 23246 64109
71. 232A6 64187
72. 232A8 64189
73. 23C2A 65777
74. 25664 69203
75. 2B666 82387
76. 2B66C 82393
77. 2B6C4 82463
78. 2B6CA 82469
79. 2B6CC 82471
80. 2BA62 83059
81. 2BA66 83063
82. 32866 91513
83. 328AC 91571
84. 34424 95177
85. 344C8 95311
86. 38864 104693
87. 3886C 104701
88. 388C6 104773
89. 388CC 104779
90. 52C48 149287
91. 52CCA 149393
92. 58424 161087
93. 5842A 161093
94. 584C8 161221
95. 7A8A2 223381
96. B6C2C 329419
97. B6C6C 329471
98. 23246C 833429
99. 232A62 834433
100. 232A68 834439
101. 232A8C 834469
102. 2B66CC 1071121
103. 2B6CA6 1072103
104. 2B6CC6 1072129
105. 2B6CCA 1072133
106. 2BA62A 1079777
107. 2BA62C 1079779
108. 2BA662 1079821
109. 2BA66C 1079831
110. 328664 1189673
111. 328AC6 1190429
112. 344248 1237309
113. 388642 1361011
114. 38864C 1361021
115. 3886CA 1361123
116. 388C6A 1362059
117. 388CC4 1362131
118. 52CCA2 1942111
119. 52CCAC 1942121
120. 584248 2094139
121. 5842AC 2094221
122. 7A8A26 2903959
123. B6C2CA 4282457
124. B6C6C8 4283131
125. 23246CC 10834589
126. 232A624 10847633
127. 232A68C 10847719
128. 2B66CC4 13924577
129. 2B66CC6 13924579
130. 2B66CCA 13924583
131. 2B6CA6C 13937351
132. 2B6CC66 13937683
133. 2B6CC6A 13937687
134. 2B6CCAC 13937741
135. 2BA62AC 14037113
136. 2BA62CC 14037139
137. 2BA6626 14037679
138. 2BA66C6 14037809
139. 328664C 15465761
140. 3886424 17693147
141. 388C6A2 17706769
142. 52CCA26 25247449
143. 52CCAC8 25247581
144. 5842484 27223811
145. 7A8A266 37751473
146. 7A8A26C 37751479
147. B6C2CA6 55671947
148. B6C2CA8 55671949
149. 23246CC2 140849659
150. 2B66CC66 181019533
151. 2B6CC66C 181189891
152. 2B6CC6A2 181189933
153. 2BA62ACC 182482481
154. 2BA66266 182489833
155. 388C6A24 230188001
156. 388C6A26 230188003
157. 7A8A26C4 490769231
158. B6C2CA66 723735317
159. B6C2CA6C 723735323
160. B6C2CA8A 723735347
161. 2B66CC664 2353253933
162. 2B66CC66C 2353253941
163. 2B6CC6A2C 2355469141
164. 2BA66266A 2372367839
165. 2BA66266C 2372367841
166. 388C6A26C 2992444051
167. 7A8A26C46 6380000009
168. B6C2CA668 9408559129
169. B6C2CA66C 9408559133
170. B6C2CA6C2 9408559201
171. B6C2CA6C8 9408559207
172. B6C2CA8A8 9408559519
173. 388C6A26C6 38901772669
174. B6C2CA66C2 122311268731
175. B6C2CA66CC 122311268741
176. B6C2CA8A8A 122311273757

Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis 13

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n Basis 13 Dezimal
1. 76 97
2. 7C 103
3. 34A 569
4. 382 613
5. 386 617
6. 52A 881
7. 566 929
8. 2326 4933
9. 2368 4987
10. 34CA 7433
11. 526A 11411
12. 52CA 11489
13. 7A6C 17159
14. B6CC 25349
15. B8A8 25657
16. 23C2A 65777
17. 25664 69203
18. 2B666 82387
19. 2B6C4 82463
20. 344C8 95311
21. 52C48 149287
22. 584C8 161221
23. 232A8C 834469
24. 328AC6 1190429
25. 344248 1237309
26. 38864C 1361021
27. 3886CA 1361123
28. 388CC4 1362131
29. 5842AC 2094221
30. B6C6C8 4283131
31. 232A624 10847633
32. 232A68C 10847719
33. 2B66CC4 13924577
34. 2B66CCA 13924583
35. 2B6CA6C 13937351
36. 2B6CCAC 13937741
37. 2BA62CC 14037139
38. 2BA66C6 14037809
39. 328664C 15465761
40. 3886424 17693147
41. 52CCA26 25247449
42. 52CCAC8 25247581
43. 5842484 27223811
44. 7A8A266 37751473
45. 23246CC2 140849659
46. 2B6CC66C 181189891
47. 2BA62ACC 182482481
48. 388C6A24 230188001
49. 2B66CC664 2353253933
50. 2B66CC66C 2353253941
51. 2B6CC6A2C 2355469141
52. 2BA66266A 2372367839
53. 2BA66266C 2372367841
54. 7A8A26C46 6380000009
55. B6C2CA668 9408559129
56. B6C2CA6C2 9408559201
57. B6C2CA6C8 9408559207
58. 388C6A26C6 38901772669
59. B6C2CA66C2 122311268731
60. B6C2CA66CC 122311268741
61. B6C2CA8A8A 122311273757

Dreiecksberechnung

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Siehe auch: Dreieck

Umfang:  
Inkreisradius:  
Umkreisradius:  
Höhenformeln:  
 
 
Flächeninhalt:

 

 
  nach a umgestellt  
Heronsche Flächenformel:   wobei   ist
Vollständige Flächenformel:  
Flächenschwerpunkt:

 

 

Fakultät

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Die Fakultät ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Es gibt eine auffällige Beziehung zwischen einigen Quadratzahlen und Fakultäten.

  • 5^2-1 = 24 = 4!
  • 11^2-1 = 120 = 5!
  • 71^2-1 = 5040 = 7!

Fakultäten und Primzahlen

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Bis auf die Zahl 2 = 2! müssen alle größeren Fakultäten zusammengesetzte Zahlen sein, denn sie sind Produkte der natürlichen Zahlen. Wie sieht es aber mit den Fakultäten +1 aus?

  • 1!+1 = 2 = prim
  • 2!+1 = 3 = prim
  • 3!+1 = 7 = prim
  • 4! und 5! (siehe oben)
  • 6!+1 = 721 = 7*103
  • 7! (siehe oben)
  • 8!+1 = 40321 = 61*661
  • 9!+1 = 362881 = 19*71*269
  • 10!+1 = 3628801 = 11*329891
  • 11!+1 = 39916801 = prim
  • 12!+1 = 479001601 = 13^2*2834329
  • 13!+1 = 6227020801 = 83*75024347
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Downloads

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Portable Python 2.6.1


Kosmische Geschwindigkeiten

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Auszug aus der Disk zu Neutronenstern:

„Hier einmal die relevanten Werte und Formeln:
Radius Sonne

 

Masse Sonne

 

Gravitationskonstante

 

Fluchtgeschwindigkeit

 
 


Radius Sonne als Neutronenstern:

 

Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche des Neutronensterns

 
 


Sonnenmasse als Schwarzes Loch:
Lichtgeschwindigkeit

 

Schwarzschildradius

 
 

-- Zumthie 17:43, 1. Feb. 2012 (CET) “

Kreisbahngeschwindigkeit

 


Masse Erde:

 

Äquatordurchmesser:

 

Ellipsenkonstruktion

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Ellipsenkonstruktion nach Richard Feynman
Siehe auch: Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne

Hypotenusenvierecke

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Spezielle Sehnenvierecke


Goldener Schnitt im Hypotenusenquadrat

Goldener Schnitt fraktal